Реферат по предмету "Математика"


Высшая математика (шпаргалка)

1. Векторы. Действиянад векторами.
Вектором наз.упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерномпространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3.Геометрический вектор — направленный отрезок. |AB|=|a|- длинна.2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ныхпрямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ныхплоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеютодинак-ую длинну.
1.умножение на число:произведение вектора А на число l наз. такой вектор В,который обладает след. св-ми: а) А||В.б) l>0, то А­­В, lто А­¯В. в)l>1, то АВ, )lто А>В. 2. Разделитьвектор на число n значит умножить его на число, обратноеn:а/n=a*(1/n).
3.Суммой неск-ихвекторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнеговектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектора.

2.3. Декартовапрямоугольная система координат. Базис.
Базисом на плоскостиназывается совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов,проведенных к ней.
Базисом в пространственаз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарныхвекторов.

Любой вектор наплоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор впространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
 
ОС=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj.Числа х, уназ-ся координатами вектора ОС в данном базисе






4. Действия надвекторами.
а=х1i+y1j+z1k; b=х2i+y2j+z2k
l*a=l(х1i+y1j+z1k)= l(х1)i+l (y1)j+l(z1)k
a±b=(x1±x2)i+(y1±y2)j+(z1±z2)k
ab=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2
ii=1; ij=0; и т.д.
скалярное произведение2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа=x2+y2+z2=|a|2 a{x,y,z},aa=|a|*|a|, то a2=|a|2

ab=|a|*|b|*cosj

а)ав=0,а^в, x1x2+y1y2+z1z2=0
б)а||в — коллинеарны, если,x1/x2=y1/y2=z1/z2

5. Скалярноепроизведение векторов и его свойства.
-(“skala”-шкала)2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этихвекторов на cos угла между ними. (а, в)- скалярноепроизведение. а*в=|а|*|в|*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab=0. Равенство“0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие ихперпендикулярности (ортогональности).







6. Векторноепроизведение 2х векторов.

левая — правая
Тройка векторов а, в, сназ. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора скратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки.Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки — левая. Векторнымпроизведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с,который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sinj. 2. c^a иc^b.3. тройкаа, в, с-правая.

7. Смешанноепроизведение векторов и его свойства.
Смешаннымпроизведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом:a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где
a={ax,ay,az}
b={bx,by,bz}
c={cx,cy,cz}
Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:
a*b*c=-b*c*a
2. неменяется при перестановке циклических сомножителей:
a*b*c=c*a*b=b*c*a
3.а)(Геометрич. смысл)необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0
  б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах
если a*b*c>0,то тройка a,b,c — правая
если a*b*c


8. Уравнение линии иповерхности.
1. Уравнение сферы.Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемойцентром.

O(a,b,c)
|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 — уравнение сферы. x2+y2+z2=r2 — ур-е сферы с центромточке(0,0).
F(x,y,z)=0- ур-еповерхности — ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащейна поверхности.
2. Уравнениеокружности
|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 — ур-е окружности
а=b=0,то x2+y2=r2
F(x,y)=0- ур-елинии на плоскости.

9. Плоскость впространстве.
Ур-е в плоскости,проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.
 
N-векторнормали
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}



Для того, чтобы точка MÎP,необходимо и достаточно чтобы вектора N^M0M(т.е. N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 — ур-е плоскости,проходящей через данную точку ^вектору.












10. Общее уравнениеплоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0,то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)
Если A=0,то By+Сz+D=0
Если B=0,то Ax +Сz+D=0
Если C=0,то Ax+By+D=0
Если A=B=0,то Сz+D=0
Если A=C=0,то By+D=0
Если A=D=0,то By+Сz=0
Если B=D=0,то Ay+Сz=0

11.Взаимное расположение плоскостей.

N1,N2-нормальные векторыплоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
P^Q{A1,B1,C1}
Q^N2{A2,B2,C2}

1)Пусть P^QN1^N2
A1A2+B1B2+C1C2=0условиеперпендикулярности P^Q.
2)Пусть P^Q N1^N2

A1/A2=B1/B2=C1/C2 — Условиепараллельности 2х плоскостей.
A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2 — Условиесовпадения 2х плоскостей.

12. Каноническоеуравнение прямой в пространстве.

M0M{x-x0,y-y0,z-z0}





Чтобы точка МÎпрямой(илилежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M||S


13.Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.


      l        m    n
S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}



























14.прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющеговектора прямой.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0



­Общееур-е прямой в пространстве.
Для того, чтобыперейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку инаправляющий вектор:
1. Найдем начальнуюточку:
Z=0

M0(x0,y0,0), т.к. Z=0
2. Найдем направляющийвектор S-?
P^N1{A1,B1,C1}
Q^N1{A2,B2,C2}
S=N1*N2
 


16. Взаимноерасположение прямой на плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0^N1{A1,B1}
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0^N2{A2,B2}
а)

то
б)
­­q N1||N2, то A1/A2=B1/B2
в)
N1^N2, то A1A2+B1B2=0

17. Общееур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.
Сначала запишем ур-епрямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.
M0(x0,y0)

M0M{x-x0,y-y0}
n*M0M=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By-Ax0-By0=0
-Ax0-By0=C
Ax+By+C=0-общееуравнение прямой на плоскости.


























18.19. Каноническоеур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е сугловым коэффициентом.


y-y1=k1(x-x1)
y=k1x-k1x1+y1
y1-k1x1=b
y=k1x+b
ур-е прямой с угловымкоэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M1(x1,y1),M2(x2,y2) и x1¹x2, y1¹y2. Для составленияуравнения прямой М1М2 запишем уравнения пучка прямых,проходящих через точку М1: y-y1=k(x-x1).Т.к. М2лежитна данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М2в уравнение пучка М1: y-y1=k(x-x1)и найдемk:

Теперь вид искомойпрямой имеет вид:

- Ур-е прямой,проходящей ч/з 2

20,21.Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия ||и^.
а)
                                     
S1{l1,m1}S2{l2,m2},

или
p:y=k1x+b1, k1=tgj1
q:y=k2x+b2, k2=tgj2 =>tgj=tg(j2-j1)=
=(tgj2-tgj1)/(1+tgj1tgj2)=
=(k2-k1)/(1+k1k2).
б) p||q, tgj=0, k1=k2
в)p^q,то

22.Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.
1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0)


2.Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0








23.Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядкаописываются с помощью общего ур-я:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-еэллипса
  — Каноническое ур-еэллипса
Если a=b, тоx2+b2=a2 — ур-е окружности.
б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1

в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)
д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1

24. Парабола и еесвойства.
Множество точекплоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координатудовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у — текущиекоординаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах. вО(0,0), то ур-е примет вид
y2=2px-симметричноотн. оси ОХ
х2=2pу-симметричноотн. оси ОУ
Точка F(p/2,0)наз. фокусом параболы, а прямая  x=-p/2 — ее директриса.
Любой точке М(х, у),принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст.собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса иот директрисы y=ax2.

25.Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядканаз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2+Cy2=d
ур.-е
наз. канонич. ур.-емэллипса, где   При а=в представляетсобой ур-е окружности х2+y2=а2

Точки F1(-c,0) и F2(c,0) — наз. фокусамиэллипса а.
Отношение e=с/аназ. его эксцентриситетом (0
Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.
Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величинапостоянной, =2а.

26. Гипербола и еесв-ва.
Кривая 2го порядканаз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и Симеют противоположные знаки, т.е. А*С0
б) Если d>0, то каноническое ур-египерболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1,F1(c,o) иF2(-c,0) — фокусы ее, e>0, e=c/a- эксцентриситет.
Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусовесть величина постоянная = 2а.
б) если d=0,ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0,получаем 2перекрестные прямые х/а±у/b=0
в) если d
27. Понятие оповерхностях 2го порядка.
Алгебраическим ур-ем2ой степени наз. ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ey+F=0,где A,B,C,D,e,F — действительные числа
Линии, которые всистеме декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз.линиями 2го порядка.







28. Функции.Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарныефункции.
Функция — этозависимость одной величины от другой.
Если существуетвзаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменнойу другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).
Определение способазадания:
-аналитически (y=kx+b)
-графический(график)
-таблично
x
1
2
3
y
4
5
8
-алгоритмически(с помощью ЭВМ)
Классификация функций:
Элементарные: — функции, которыеполучаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий(+,-,*,/, введение в степень). Основные элементарные ф-ции:
1. y=xn -степенная
2. y=ax — показательная
3. y=logax — логарифмическая
4. y=sinx, y=cosx — тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]
Если ф-ция у зависитот промежуточного аргумента U, который зависит отнезависимой переменной х, то y=f[j(x)]называется сложным заданием х.

29. Определениепределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.
а) Пределпоследовательности:
y=f(Un), гдеU1,U2,...Un, а Un=n/(n2+1)
Предел: число аназывается пределом переменной


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Крестовые походы. Царствования Готфрида и Балдуина I
Реферат Механизм обеспечения финансовой безопасности коммерческого банка на примере ООО "Хоум Кредит энд Финанс Банк" (ООО "ХКФ Банк")
Реферат Душевная драма Катерины
Реферат Семейная государственная политика как основа преодоления институционального кризиса семьи
Реферат Оценка теплового состояния точек основного металла при однопроходной с полным проплавлением сварки двух листов в стык
Реферат Вторая Опиумная война
Реферат Особенности методики обучения прыжкам через скакалку детей старшего дошкольного возраста средствами
Реферат Криминогенное влияние факторов организационно-управленческого порядка на состояние законности
Реферат The Power Issu Essay Research Paper The
Реферат Византийская историография
Реферат Терроризм в России в начале XX века
Реферат Современная методология исследования политических феноменов
Реферат Парниковый эффект - глобальная экологическая проблема
Реферат Понятие и признаки легкого вреда здоровью
Реферат Социально-психологические факторы эффективности общения преподавателя и учащихся