Визначений інтеграл
Розглянемо функціюƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а;b]точками
/>
поділимо на nрівних за довжиною відрізків.
У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ1; ξ1/>[Х1-1; Х1].Тоді сума
ƒ(ξ1)/>ƒ(ξ1)/>ƒ(ξ1)/>,
де />= Х1-Хі-і, називається інтегральною сумою функції ƒ.
Очевидно, ця сума залежить і від того, як поділено відрізок [а; b], і від того, як взято точки ξ1.
Означення. Якщо границя
/>/>
/>існує і не залежить від вибору точок ξ1, то функція ƒ називається інтегрованою на відрізку [а; b], а границя називається визначеним інтегралом від функції ƒ на відрізку [а; b]; його позначають
/>/>ƒ(х) bx.
Це позначення читають “Інтеграл від а до bвід функції ƒ(х) bх“. Знак />називається знаком інтеграла, функція ƒ – підінтегральною функцією, змінна х – змінною інтегрування. Вираз ƒ(х) bх – підінтегральним виразом. Числа а і bназиваються межами інтегрування, відповідно нижньою і верхньою. Таким чином, за означенням
/>ƒ(х) bx= />
Зазначимо, що інтеграл не залежить від того, якою буквою позначено змінну інтегрування, тому, наприклад,
/>ƒ(х) bx= />ƒ(t) bt= />ƒ(u) bu.
Приклад безпосереднього обчислення визначених інтегралів (виходячи безпосередньо з означення) було дано в § 7 (див. приклади 1 і 2).