--PAGE_BREAK--
те стане ясно, що множник при синусі
є кусочно-безперервною функцією від t у проміжку . У цьому випадку по лемі цей інтеграл при прагне до нуля, так що й саме існування межі для часткової суми ряду Фур'є й величина цієї межі цілком визначається поводженням одного лише інтеграла
Але в цей інтеграл входять лише значення функції f(x), що відповідають зміні аргументу в проміжку від до . Цим міркуванням доводиться «принцип локалізації», що складає в наступному:
Поводження ряду Фур'є функції f(x) у деякій крапці залежить винятково від значень, прийнятих цією функцією в безпосередній близькості розглянутої крапки, тобто в як завгодно малій її околиці.
Таким чином, якщо взяти дві функції, значення яких у довільно малій околиці збігаються, то як би вони не розходилися поза цією околицею, що відповідають цим функціям ряди Фур'є поводяться в крапці однаково: або обоє сходяться, і притім до однієї й тій же сумі, або обоє розходяться.
4. Подання функцій рядів Фур'є
Накладемо на функцію f(x) більше важка вимога, а саме-припустимо її у проміжку .
Тоді має місце загальна теорема:
Теорема. Якщо функція f(x) з періодом кусочно-диференцуєма в проміжку , то її ряд Фур'є в кожній крапці сходиться й має суму
Ця сума, мабуть, дорівнює , якщо в крапці функція безперервна.
Доказ. Відзначимо, що рівність (14) має місце для кожної функції f(x), що задовольняє поставленим умовам. Якщо, зокрема, взяти, то , і з (14) одержимо, що
Множачи обидві частини рівності на постійне число й віднімаючи результат з (14), знайдемо
для нашої мети потрібно довести, що інтеграл праворуч при прагне до нуля.
Представимо його у вигляді
(15)
де покладено
(16)
якби нам удалося встановити що ця функція кусочно-безперервна, то з леми попереднього параграфа варто було б уже, що інтеграл (15) має межу нулю при . Але в проміжку функція g(x) взагалі безперервна, за винятком хіба лише кінцевого числа крапок, де вона може мати перегони-тому що така функція f(x). Залишається відкритим лише питання про поводження функції g(x) при .
Ми доведемо існування кінцевої межі
;
поклавши тоді g(0)=K, ми в крапці t=0 одержимо безперервність, і застосування леми виявиться виправданим. Але другий множник у правій частині рівності (16) явно має межею одиницю; звернемося до вираження квадратних дужках.
Нехай, для простати, спочатку крапка лежить усередині проміжку, де функція f(x) диференцуєма. Тоді , і кожне зі співвідношень
(17)
прагне до межі , а — до нуля. Якщо ж є «крапка стику», то при цьому вона може виявитися як крапкою безперервності, так і крапкою розриву. У першому випадку ми знову зштовхнемося з відношенням (17), але вони будуть прагнути цього разу до різних меж, відповідно-до похідній праворуч і до похідної ліворуч. До аналогічного результату прийдемо й у випадку розриву, але тут заміниться значеннями тих функцій, від склеювання яких вийшла дана, а межами відносин (17) будуть однобічні похідні згаданих функцій при .
Отже, наш висновок справедливо у всіх випадках.
5. Випадок неперіодичної функції
Вся побудована вище теорія виходила із припущення, що задана функція визначена для всіх речовинних значень x і притім має період . Тим часом найчастіше доводиться мати справа з неперіодичною функцією f(x), інший раз навіть заданої тільки в проміжку .
Що б мати право застосувати до такої функції викладену теорію, уведемо замість її допоміжну функцію певну в такий спосіб. У проміжку ми ототожнюємо з f(x):
(18)
потім думаємо
а на інші речовинні значення x поширюємо функцію за законом періодичності.
До побудованого в такий спосіб функції з періодом можна вже застосувати доведену теорему розкладання. Однак, якщо мова йде про крапку , що строго лежить між і , те, через (18), нас довелося б мати справа із заданою функцією . По тій же причині й коефіцієнти розкладання можна обчислити по формулах обчислення коефіцієнтів не переходячи до допоміжної функції. Коротше кажучи, все доведене вище безпосередньо переноситься на задану функцію , минаючи допоміжну функцію .
Особливої уваги, однак, вимагають кінці проміжку . При застосуванні до функції теореми попереднього параграфа, скажемо, у крапці , нам довелося б мати справа як зі значеннями допоміжної функції праворуч від , де вони збігаються вже зі значеннями праворуч від ю Тому для як значення належало б взяти
.
Таким чином, якщо задана функція навіть безперервна при , але не має періоду , так що , те-при дотриманні вимог сумою ряду Фур'є буде число
відмінне як від , так і від . Для такої функції розкладання має місце лише у відкритому проміжку .
Наступне зауваження так само заслуговує на особливу увагу. Якщо тригонометричний ряд
сходиться в проміжку до функції , то через те, що його члени мають період , він сходиться всюди, і сума його теж виявляється періодичною функцією з періодом . Але ця сума поза зазначеним проміжком взагалі вже не збігається з функцією .
6. Випадок довільного проміжку
Припустимо, що функція задана в проміжку довільної довжини в ньому. Якщо вдатися до підстановки
,
те вийде функція від у проміжку , теж кусочно-диференцуєма, до якої вже прикладемо розгляду попереднього параграфа. Як ми бачили, за винятком крапок розриву й кінців проміжку, можна розкласти її в ряд Фур'є:
коефіцієнти якого визначаються формулами Ейлера-Фур'є:
повернемося тепер до колишньої змінного , думаючи
.
Тоді одержимо розкладання заданої функції в тригонометричний ряд трохи зміненого виду:
(19)
Тут косинуси й синуси беруться від кутів, кратних не , а . Можна було б і формули для визначення коефіцієнтів розкладання перетворити тією же підстановкою до виду
(20)
Відносно кінців проміжку зберігають силу зауваження, зроблені в попередньому параграфі щодо крапок Звичайно, проміжок може бути замінений будь-яким іншим проміжком довгі зокрема, проміжком . В останньому випадку формули (20) повинні бути замінені формулами
(20a)
7. Випадок парних і непарних функцій
Якщо задана в проміжку функція буде непарної, то очевидно
У цьому легко переконається:
.
Таким же шляхом установлюється, що у випадку парної функції :
.
Нехай тепер буде кусочно-диференцуєма в проміжку парна функція. Тоді добуток виявиться непарною функцією, і по сказаному
Таким чином, ряд Фур'є парної функції містить одні лише косинусів:
(21)
Тому що в цьому випадку буде теж парною функцією, те, застосувавши сюди друге зі зроблених вище зауважень, можемо коефіцієнти розкладання написати у вигляді
(22)
Якщо ж функція буде непарної, то непарної буде й функція , так що
Ми доходимо висновку, що ряд Фур'є непарної функції містить одні лише синусів:
(23)
При цьому через парність добутку можна писати:
(24)
Відзначимо, що кожна функція , задана в проміжку , може бути представлена у вигляді суми парних і непарної тридцятимільйонних функцій:
,
Де
Очевидно, що ряд Фур'є функції саме й складеться з розкладання по косинусах функції й розкладання по синусах функції .
Припустимо, далі, що функція задана лише в проміжку . Бажаючи розкласти її в цьому проміжку в ряд Фур'є ми доповнимо визначення нашої функції для значень x у проміжку по сваволі, а потім застосуємо сказане в пункті «Випадок неперіодичної функції».
Можна використовувати сваволю у визначенні функції в проміжку так, що б одержати для розкладання тільки лише по косинусах або тільки по синусах. Дійсно, представимо семі, що для ми думаємо , так що в результаті виходить парна функція в проміжку . Її розкладання, як ми бачили, буде містити одні лише косинуси. Коефіцієнти розкладання можна обчислювати по формулах (22), куди входять лише значення спочатку заданої функції .
Аналогічно, якщо доповнити визначення функції за законом непарності, то вона стане непарної й у її розкладанні будуть одні лише синуси. Коефіцієнти її розкладання визначаються по формулах (24).
Таким чином, задану в проміжку функцію при дотриманні умов виявляється можливим розкладати як по косинусах, так і по одним лише синусах.
Особливого дослідження вимагають крапки й . Тут обоє розкладання поводяться по-різному. Припустимо, для простоти, що задана функція безперервна при й , і розглянемо спочатку розкладання по косинусах. Умова , насамперед, зберігає безперервність при , так що ряд (21) при буде сходитися саме к. Тому що, далі,
продолжение
--PAGE_BREAK--