Аналітична геометрія

Реферат

на тему:

Аналітична геометрія

в просторі
Аналітична геометрія в просторі
Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x;y;z) перпендикулярно до вектора />має вигляд

A(x-x)+B(y-y)+C(z-z) (2.7)

або

Ax+By+Cz=0 (2.8)

Спеціальними площинами є площини OXY(рівняння z=0), OXZ(рівняння y=0) та OYZ(рівняння x=0).

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x;y;z), (x1;y1;z1), (x2;y2;z2) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким:

/>(2.9)

Приклад. Записати рівняння площини, яка проходить через точки M(1;2;3), M1(2;1;2) та M3(3;3;1).

Маємо />,

звідки x+4y-4=0.

Рівняння площини у відрізках є таким:

/>. (2.10)

Ця площина проходить через точки (a;0;0), (o;b;0) та (0;0;c).

Приклад. Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача.

Нехай споживач на всі гроші купив xодиниць першого товару, yодиниць другого та zодиниць третього. Тоді виконується рівність

2x+3y+4z=120.

Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини.

Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120):

/>.

`Отже, споживач може купити або тільки 60 одиниць першого товару, або тільки 40 другого, або тільки 30 третього, а також може перебувати в довільній іншій точці площин />за умов x0; y0; z0 (рис .2.10).

/>z
/>Бюджетне обмеження –

 частина площини в просторі

30

/>
/>/>40

y

60

x

Рис. 2.10.

Якщо ж витрачають не всі гроші, то бюджетне обмеження буде тетраедром:

/>.

Розглянемо випадок, коли споживач зовсім не купує третього товару (z=0). Тоді бюджетне обмеження представлятиме собою відрізок прямої на площині

/>,

або множину точок всередині трикутника (рис. 2.11)

/>.

/>
y

/>Бюджетне обмеження -

/>40 відрізок прямої на площині
/>60 x

Рис. 2.11.

Рівняння прямої у тривимірному просторітакож записується багатьма способами.

Пряму як перетин двох площин задають системою лінійних рівнянь

/>. (2.11)

Симетричне (канонічне) рівняння прямої, що проходить через точку (x;y;z) паралельно до напрямного вектора />, має вигляд

/>. (2.12)

Параметричне рівняння прямої є таким:

/>. (2.13)

Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві точки (x1;y1;z1) та (x2;y2;z2), є подібним до рівняння прямої на площині:

/>. (2.14)

Приклад. Пряма в просторі проходить через дві точки: M1(1;2;3) та M2(4;6;8). Рівнянням цієї прямої згідно (2.14) є рівняння

/>.

Виконавши операції віднімання, отримуємо канонічне рівняння

/>.

Від останнього рівняння перейдемо до параметричного задання прямої (формула 2.13): />.

У тривимірному просторі справджуються такі формули для кутів:

кут між двома прямими />та />

обчислюється згідно з формулою />;

кут між прямою />та площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходиться за формулою />.