Вариант 6
Тема: Алгебра матриц
Задание: Выполнить действия над матрицами.
/>/>
1) С=3A-(A+2B)B
/>
/>
/>
/>
/>
2) D=A2+B2+4E2
/>
/>
/>
/>
Тема: Обращение матриц
Обратить матрицу по определению:
/>
Определитель матрицы:
/>
Далее находим матрицу алгебраических дополнений (союзную матрицу):
/>
Обратную матрицу находим:
/>
По определению обратной матрицы:
/>
Действительно:
/>
Тема: решение матричных уравнений
Задание 1: Решить матричное уравнение:
/>
Решение.
Нахождение столбца Х сводится к умножению матрицы на обратную:
/>
Матрица коэффициентов А:
/>
Найдем обратную матрицу A-1:
Определитель матрицы A:
/>
Алгебраические дополнения:
/>/>/>
/>/>/>
/>/>/>
Транспонированная матрица алгебраических дополнений:
/>
Запишем выражение для обратной матрицы:
/>
Итак, выполняем умножение матриц и находим матрицу X:
/>
Ответ:
/>
Задание 2: Решить систему уравнений матричным способом
/>
Решение
Матричная запись уравнения:
/>
Матрица коэффициентов А:
/>
Найдем обратную матрицу A-1:
Определитель матрицы A:
/>
Алгебраические дополнения:
/>/>/>
/>/>/>
/>/>/>
Транспонированная матрица алгебраических дополнений (союзная матрица):
/>
Запишем выражение для обратной матрицы:
/>
Вычислим столбец неизвестных:
/>
Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
Задание 1: Исследовать и решить систему по формулам Крамера:
/>
Найти решение системы уравнений по методу Крамера.
Согласно методу Крамера, если определитель матрицы системы ненулевой, то система из 4-х уравнении имеет одно решение, при этом значение корней:
/>,/>,/>,/>,
Где:
/>— определитель матрицы коэффициентов – ненулевой.
/>— определитель матрицы полученной путем замены первого столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.
/>— определитель матрицы полученной заменой второго столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.
/>— определитель матрицы полученной заменой третьего столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.
/>— определитель матрицы полученной заменой четвертого столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.
Итак:
/>
/>,
/>,
/>.
Задание 2: Решить эту систему по методу Гаусса.
/>
Метод Гаусса заключается в сведении системы к треугольному виду.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Видим, что решение системы по методу Гаусса совпадает с решением по методу Крамера.