/>Предисловие
В данной работе рассмотрен методкомплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачахэлементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность,перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».
Метод комплексных чисел виностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественнойлитературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельныефрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано вкниге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Намивыбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этимметодом.
Метод комплексных чисел позволяетрешать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выборэтих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этомсостоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным икоординатным методами, методом геометрических преобразований,конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительностии длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.
/> § 1 Параллельность,коллинеарность, перпендикулярность.
/>1.1.Коллинеарность векторов.
/> (1.2)
/>1.2. Коллинеарность трёх точек.
/> (1.3)
Это – критерий принадлежноститочек А, В, С одной прямой.
/> (1.5)
определяет прямую, содержащую хорду АВединичной окружности.
/>1.3.Перпендикулярность отрезков (векторов).
/> (1.7)
Уравнение касательной
/> (1.8)
/> (1.9)
/>
З а д а ч а 1. Доказать, чтоточки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными кописанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны. /> § 2 Углы и площади
/>/> 2.1. Угол между векторами.
(2.1)
/>
(2.2)
/>2.2. Площадь треугольника
/> (2.3)
/>
З а д а ч а 2. Основание D высотыCD треугольникаABC делит сторонуABв отношении 3:1. Угол ACD вдвое больше угла BCD. Вычислить углы треугольника ABC.
/>§3 Многоугольники
3.1. Подобные треугольники.
/> (3.1)
где />/> – комплексное число, /> – коэффициент подобия.
/> (3.2)
где />/> – комплексное число, /> – коэффициент подобия.
Если />,то треугольники /> и /> равны. Тогда соотношение(3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, асоотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированныхтреугольников.
/>3.2. Критерий правильного треугольника.
Треугольник ориентированположительно:
/> (3.4)
Треугольник ориентированотрицательно:
/> (3.5)
/>
3.3 Правильные многоугольники.
/>
где kпринимает значения />. Все nзначений />имеютодин и тот же модуль />
/>
/>
Корням уравнения
/>/>
соответствуют вершины />.
/> З а д а ч а 3. Точки /> симметричны точке Р,лежащей в плоскости треугольника ABC, относительно, соответственно, прямых AB, BC, CA. Точки /> – серединыотрезков /> Докажите, что треугольники/> и /> подобны и противоположноориентированы (рис. 5).
З а д а ч а 4. Насторонах /> и /> выпуклого четырёхугольника/> вне его построеныправильные треугольники /> и /> а на сторонах /> и /> построены правильныетреугольники /> и /> лежащие счетырёхугольником в одной полуплоскости относительно прямых /> и /> соответственно. Докажите,что /> –параллелограмм (рис. 6).
/>
З а д а ч а 5. Точка /> делит сторону /> правильного треугольника /> в отношении 3:2 считая отточки />. Точка /> делит сторону /> в отношении 3:14, считаяот точки />. Отрезки /> и /> пересекаются в точке/>. Докажите, что прямые /> и /> перпендикулярны.
/>
З а д а ч а 6. Через центрправильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратоврасстояний от вершин треугольника до прямой не зависит от выбора прямой.
/>
З а д а ч а 7. Пусть d – диаметр окружности, /> и
/> – стороны вписанного в неё иописанного около
неё правильных n-угольников. Докажите, что
/> (рис. 9).
/>§4 Прямая и окружность
/>4.1.Уравнение прямой.
/> (4.1)
/>
Пусть коэффициенты aиbне обращаются в нуль одновременно. Приходим куравнению: /> которое а) имеет единственноерешение при /> б) имеет бесконечноемножество решений при />
Отсюда и на основании предыдущихисследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при/> б) прямую при /> в) пустое множество при />
/>4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексныхкоординатах. Окружность с центром S(s) и радиусом R имеет уравнение
/> (4.2)
где z – координата переменной точки окружности.
/> (4.4)
Сравнивая уравнение (4.3) суравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задаютокружность тогда и только тогда, когда /> иab— c– действительное число. Отсюда />, а значит, с должнобыть действительным числом. Итак, уравнение
/> (4.5)
есть уравнение окружности с центром /> и радиусом />
/>4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам. Пусть окружность /> проходит через точки A, B, C. Тогда однородная линейная система
/>
относительно /> имеет ненулевое решение(так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому еёопределитель равен нулю:
/> (4.6)
Это уравнение представляет собойуравнение окружности по трём данным точкам.
/>4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружностиназываются ортогональными, если касательные к ним в их общей точкеперпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общейточке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности (A,R) и (B,r), заданные соответственно уравнениями: /> где /> и /> где /> Для того, чтобы эти окружности были ортогональны,необходимо и достаточно, чтобы /> или
/> (4.7)
или
/> (4.8)
/> З а д а ч а 7. В плоскости даныдва отрезка ABиCD. Найдите множество точек М,для каждой из которых площади треугольников MABиMDCравны (рис. 10).
З а д а ч а 9. На гипотенузе ABпрямоугольного треугольника ABCдана произвольная точкаP. Докажите, что окружности, описанные околотреугольников APC иBPC, ортогональны.
/>Д о к а з а т е л ь с т в о. Примемвершину С данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А,В, P соответствуют комплексные числа 1,b, p, а центрам окружностей РАС и РВС числа /> (рис. 11). По условию /> или />. Переходя к комплекснымчислам, получаем: /> откуда />.
Руководствуясь (4.6), составимуравнение окружности РВС:
/>
или
/>
После раскрытия определителяполучаем:
/> />
или
/>/>
откуда
/>
Из уравнения находим: />
Аналогично, для окружности РAС имеем:
/>
и
/>
отсюда />
Согласно критерию (4.8) для того,чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо идостаточно, чтобы /> Учитываяпредыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия:
/>
/>
Таким образом, окружности РАСи РВС являются ортогональными.