МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
студент 5 курса специальности математика
_________________________________
НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:
ассистент каф. алгебры и функционального анализа
_________________________________
профессор, доктор физико-математических наук
_________________________________
РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:
зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.
_________________________________
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..4
Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6
§ 1. *— алгебры……………………………………………………………………...6
1.1. Определение * — алгебры……………………………………………………….6
1.2. Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7
1.4. Простейшие свойства * — алгебр……………………………………………….9
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2. Представления ……………………………………………………………….13
2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15
2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26
3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31
1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2……………………………….31
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2…………………………………35
1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2…………………………...39
2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45
§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве …………………………………………………….52
2.1. Спектр оператора А = Р1+Р2 …………………………………………………52
2.2. Спектр линейной комбинации А = аР1 + bР2(0b) ……………………..53
Заключение………………………………………………………………………..55
Литература ………………………………………………………………………..56
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н– гильбертово пространство, L(Н)– множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество Ав L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А– операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).--PAGE_BREAK--
Теория унитарных представлений групп восходит к XIXвеку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XXвека. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава Iв краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе IIизучаются представления *-алгебры P2
P2= Сp1, p2| p12= p1* = p1, p22= p2* = p2>,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления πв унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2. Неприводимые *-представления P2одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;
π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И двумерные: />, />τ />(0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Нв ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Нприведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе IIIспектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2(0 ab).Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор Адля того чтобы А = Р1+Р2или А = аР1+bР2, 0 ab,(этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).
/>
Глава I. Основные понятия и определения
§ 1. />— алгебры
Определение />— алгебры.
Определение 1.1.Совокупность Аэлементов x, y,… называется алгеб-
рой, если:
А есть линейное пространство;
в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:
α(x y) = (αx) y,
x (αy) = α(x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x(y+ z) = xy+ xzдля любых x, y, z />Аи любых чисел α.
Два элемента x, yалгебры Аназываются перестановочными, если xy= yx. Алгебра Аназывается коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
продолжение
--PAGE_BREAK--становочны.
Определение 1.2.Пусть А– алгебра над полем Скомплексных чисел. Инволюцией в Аназывается такое отображение x→ x*алгебры Ав А, что
(x*)* = x;
(x + y)* = x* + y*;
(αx)* = />x*;
(xy)* = y*x* для любых x, y />С.
Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х*называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.
Из свойства (i)следует, что инволюция в Анеобходимо является биекцией Ана А.
1.2. Примеры
На А = Сотображение z→/>(комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая Св коммутативную *- алгебру.
Пусть Т– локально компактное пространство, А = С(Т)– алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0множество {t/>T: |f(t)| />ε} компактно, f(t) />А. Снабжая Аотображением f→/>получаем коммутативную *- алгебру. Если Тсводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
Пусть Н– гильбертово пространство. А = L(H)– алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А— *- алгебра.
Обозначим через К(Н)совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н)будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (А/>К(Н)). Алгебра К(Н)в случае бесконечного Несть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор Iпринадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S/>Hв себя. Значит Iне может быть компактным оператором.
Обозначим через Wсовокупность всех абсолютно сходящихся рядов />.
Алгебра Wесть *- алгебра, если положить />. (/>)
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра Аназывается алгеброй с единицей, если Асодержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе = хдля всех х/>А (1.1.)
Элемент еназывают единицей алгебры А.
Теорема 1.1.Алгебра Ане может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄— также единица в А, то
е΄х = хе΄ = х, для всех х/>А (1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ = е΄е = е΄и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2.Всякую алгебру Абез единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄с единицей.
/>Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, х/>А; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами: продолжение
--PAGE_BREAK--
β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1+ α2)е + (х1+ х2),
(α1 е + х1)(α2 е+ х2)=α1α2 е +α1 х2+α2 х1+ х1х2 (1.3.)
Каждый элемент х΄из А΄представляется единственным образом в виде
х΄ = αе + х, х/>А, так как по условию Ане содержит единицы. Поэтому А΄можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х/>А, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра Аполучится при α = 0.
/>Алгебру А΄можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х/>А, в которой основные операции определяются по формулам:
β (α, х) = (βα, βх), (α1,х1) + (α2, х2) = (α1+ α2, х1+ х2),
(α1,х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2+ α2х1+ х1х2), (1.4.)
аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру Аможно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х/>А и не делать различия между хи (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄равносильна первой.
Переход от Ак А΄называется присоединением единицы.
Определение 1.4.Элемент yназывается левым обратным элемента х, если xy= e. Элемент zназывается правым обратным элемента х, если xz= e.
Если элемент химеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента хсовпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx= eсправа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1элемента х.
1.4. Простейшие свойства />— алгебр
Определение 1.5.Элемент х*-алгебры Аназывается эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если хи yэрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xyэрмитов, если xи yперестановочны. Для каждого х/>А элементы хх*и х*хэрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z/>C/>, но если zдействительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде />.
Теорема 1.3.Всякий элемент х*-алгебры Аможно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1+iх2, где х1, х2– эрмитовы элементы. продолжение
--PAGE_BREAK--
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1+iх2, следовательно:
/>, />(1.5.)
Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1+iх2.
Эти элементы х1, х2называются эрмитовыми компонентами элемента х.
Заметим, что хх* = х12+ х22+ i(х2х1– х1х2),
хх* = х12+ х22 — i(х2х1 – х1х2)
так что хнормален тогда и только тогда, когда х1и х2перестановочны.
Так как е*е = е*есть эрмитов элемент, то е* = е, то есть единица эрмитов элемент.
Если А — *-алгебра без единицы, а А΄— алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив />при х/>А, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄станет *-алгеброй. Говорят, что А΄есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.
Теорема 1.4.Если х-1существует, то (х*)-1также существует и
(х*)-1 = (х-1)*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1х = хх-1= е,
получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.
Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.
Подалгебра А1алгебрыА называется *-подалгеброй, если из х/>А1следует, что х*/>А1.
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S/>А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5.Если В– максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х, и если х-1существует, то х-1/>В.
Доказательство. Так как хт х*перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности Вотсюда следует, что х-1/>В.
Определение 1.6.Элемент х/>А — *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если хобратим и х = (х*)-1.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.
Унитарные элементы Аобразуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если xи y– унитарные элементы *-алгебры А, то
((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,
поэтому xyунитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7.Пусть Аи В– две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) Ав Втакое отображение fмножества Ав В, что продолжение
--PAGE_BREAK--
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (αx) = α f (x),
f (xy) = f (x) f (y),
f (x*) = f (x)*
для любых х,y/>А, α/>С. Если отображение fбиективно, то fназывают изоморфизмом (*-изоморфизмом).
Определение 1.8.Совокупность Iэлементов алгебры Аназывается левым идеалом, если:
I≠ A;
Из х, y/>Iследует x+ y />I;
Из х/>I, аα/>А следует α х/>I.
Если I = А, то I называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I– двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из Аназовем эквивалентными относительно идеала I, если х-y/>I. Тогда вся алгебра Аразбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через Асовокупность всех этих классов. Введем в А1операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I– двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.
Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры Апо идеалу Iи обозначается A/I.
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9.Идеал I(левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х/>Iследует х*/>I.
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х*переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х*переводит Iв I, то Iесть одновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A/Iпо самосопряженному двустороннему идеалу Iможно определить инволюцию следующим образом. Если х-y/>I, то х*-y*/>I. Поэтому при переходе от хк х*каждый класс вычетов хпо идеалу Iпереходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/Iесть *-алгебра.
Если х → х΄есть *-гомоморфизм Ана А΄, то полный прообраз Iнуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I*-изоморфна *-алгебре А΄.
Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х/>А в содержащий его класс вычетов по Iесть *-гомоморфизм алгебра Ана A/I.
§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1.Пусть А— *-алгебра, Н– гильбертово пространство. Представлением Ав Нназывается *-гомоморфизм *-алгебры Ав *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).
Иначе говоря, представление *-алгебры Ав Несть такое отображение из Ав L(H), что
π (x+y) = π(x)+ π(y), π (α x)= απ(x), продолжение
--PAGE_BREAK--
π (xy) = π(x)π(y), π (x*)= π (x)*
для любых х, y/>А и α />С.
Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью πи обозначается dimπ. Пространство Нназывается пространством представления π.
Определение 2.2.Два представления π1и π2инволютивной алгебры Ав Н1и Н2соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х)в π2(х)для любого х/>А, то есть
U π1(х) = π2(х) U для всех х />А.
Определение 2.3.Представление πназывается циклическим, если в пространстве Нсуществует вектор fтакой, что множество всех векторов π(х)f(для всех х/>А) плотно в Н. Вектор fназывают циклическим (или тотализирующим) для представления π.
Определение 2.4.Подпространство Н1/>Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н1/>Н1.
Если Н1инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х/>А) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х)на Н1определяют подпредставления π1*-алгебры Ав Н1.
Теорема 2.1.Если Н1инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть fортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0для всех g/>Н1. Тогда для любого х/>А(π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) =, так как π(х*)g/>Н1. Следовательно, вектор π(х)fтакже ортогонален к Н1.
Обозначим через Р1оператор проектирования в Нна подпространство Н1/>Н1. продолжение
--PAGE_BREAK--
Теорема 2.2.Н1– инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1на Н1.
Доказательство. Пусть Н1– инвариантное подпространство и f/>Н1, но также π(х)f/>Н1. Отсюда для любого вектора f/>Н
π(х)Р1f/>Н1
следовательно, Р1π(х)Р1f= π(х)Р1f,
то есть Р1π(х)Р1= π(х)Р1.
Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х*вместо х, получаем, что также
Р1π(х)Р1= Р1π(х).
Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1и π(х) коммутируют.
Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f/>Н1
Р1π(х)f= π(х)Р1f= π(х)f ;
Следовательно, также π(х)f />Н1. Это означает, что Н1– инвариантное подпространство.
Теорема 2.3.Замкнутая линейная оболочка Кинвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент gиз Кесть предел конечных сумм вида
h= f1+ … + fn, где f1,…,fn– векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h= π(х)f1+…+ π(х)fnесть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.
2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I– произвольное множество. Пусть (πi)i/>I— семейство представлений *-алгебры Ав гильбертовом пространстве Нi(i/>I). Пусть
|| πi(х)||≤ сх
где сх– положительная константа, не зависящая от i.
Обозначим через Нпрямую сумму пространств Нi, то есть Н = />Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi(х) в каждом Нi. Тогда отображение х → π(х) есть представление Ав Н, называемое прямой суммой представлений πiи обозначаемое />πiили π1/>…../>πnв случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)i/>I– семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления />πiобозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π. продолжение
--PAGE_BREAK--
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Хвсякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Хверхнюю грань, то Хсодержит максимальный элемент.
Теорема 2.4.Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.
Доказательство. Пусть f≠ – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1– инвариантное подпространство, в котором fесть циклический вектор. Другими словами, Н1есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1= H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2ортогональное Н1.
Обозначим через Мсовокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность Мобразует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}/>Мбудет объединение этих систем. Поэтому в Мсуществует максимальная система {Нα}. Но тогда Н=/>Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(/>Нα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Ни мы получили бы систему {Нα}/>Н/>М, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5.Представление называется неприводимым, если в пространстве Нне существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5.Представление π в пространстве Ннеприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Несть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо. Приf/>Н, f≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f, х/>А, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство
{αf| α/>C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае fесть циклический вектор.
Обратно, если представление π приводимо и К– отличное от {0} и Нинвариантное подпространство в Н, то никакой вектор fиз Кне будет циклическим для представления π в Н.
Теорема 2.6.(И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H)сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному). продолжение
--PAGE_BREAK--
Доказательство. Пусть представление πнеприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х); в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0такое, что E(λ) =0 при λλ0. Отсюда
В=/>λ dE(λ) = λ01.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,
В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*
Поэтому эрмитовы операторы В1=/>, В2=/>также перестановочны со всеми операторами π(х)и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х)кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6Всякий линейный оператор Т: Н →Н΄такой, что Тπ(х)=π΄(х)Тдля любого х/>А, называется оператором сплетающим π и π΄.
Пусть Т: Н →Н΄— оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т*: Н΄ →Нявляется оператором, сплетающим π΄ иπ, так как
Т*π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*
Отсюда получаем, что
Т*Тπ(х)=Т*π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)
Поэтому |T|= (T*T)1/2перестановочен с π(А). Пусть Т= U|T|— полярное разложение Т. Тогда для любого х/>А
Uπ(х)|T|= U|T|π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T|(2.2.)
Если KerT={0}, то |T| (Н)всюду плотно в Ни из (2.2.) следует продолжение
--PAGE_BREAK--
Uπ(х) = π΄(х)U(2.3.)
Если, кроме того, />= Н΄, то есть если KerT*={0}, то Uявляется изоморфизмом НиН΄и (2.3.) доказывает что π и π΄эквивалентны.
Пусть π и π΄— неприводимые представления *-алгебры Ав гильбертовых пространствах НиН΄соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т: Н →Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Ти ТТ* — скалярны (≠0) и π, π΄эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7.Пусть π– конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1/>…../>πn, где πiнеприводимы.
Доказательство. Если dimπ= 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ= qи что наше предложение доказано при dimπq. Если πнеприводимо, то предложение снова доказано. В противном случаеπ= π΄ />π΄΄, причем dimπ΄q, dimπ΄΄q, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение π = π1/>…../>πnне единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1, ρ2– два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1и Н2. Пусть Р1и Р2– проекторы Нна Н1и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2на Н1есть оператор, сплетающий ρ1и ρ2. Следовательно, если Н1и Н2не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1и ρ2эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление πэквивалентно одному из πi. Итак, перегруп-
пировав πi, получаем, что π= ν1/>…../>νm, где каждоеνiесть кратноеρiνi΄неприводимого представления νi΄, и νi΄попарно эквивалентны. Если ρ– неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нiопределяется однозначно: Нi– это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение. продолжение
--PAGE_BREAK--
Теорема 2.8.В разложении π= ρ1ν1΄/>…../>ρmνm΄представления π, (где ν1΄,…, νm΄неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρiи классы представлений νi΄определяются единственным образом, как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений.Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7.Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством Вподмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т/>В, Ø/>В, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.
Определение 2.8.Пусть Т1, Т2– борелевские пространства. Отображение f:Т1→Т2называется борелевским, если полный прообраз относительно fлюбого множества в Т2есть борелевское множество в Т1.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.
Определение 2.9.μ– измеримое поле гильбертовых пространств на Тесть пара ε= ((H(t))t/>T, Г), где (H(t))t/>T– семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г– множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) Г– векторное подпространство />Н(t);
существует последовательность (х1, х2,…) элементов Гтаких, что для любого t/>Tэлементы хn(t)образуют последовательность H(t);
для любого х/>Гфункция t→||x(t)|| μ – измерима;
пусть х– векторное поле; если для любого y/>Гфункция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х/>Г.
Пусть ε= ((H(t))t/>T, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле хназывается полем с интегрируемым квадратом, если х/>Ги />||x(t)||2 dμ(t) ∞.
Если х, y– с интегрируемым квадратом, то х+yи λх (λ/>С) – тоже и функция t →(x(t), y(t))интегрируема; положим
(x, y)= />(x(t), y(t)) dμ(t)
Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t)и обозначаемое />x(t)dμ(t). продолжение
--PAGE_BREAK--
Определение 2.10.Пусть ε= ((H(t))t/>T, Г)– измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого t/>Tопределен оператор S(t)/>L(H(t)). Если для любого х/>Tполе t→S(t)x(t)измеримо, то t→S(t)называется измеримым операторным полем.
Пусть Т– борелевское пространство, μ — положительная мера на Т, t→Н(t)— μ — измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t/>Tзадано представление π(t)*-алгебры Ав Н(t): говорят, что t→π(t)есть поле представлений А.
Определение 2.11.Поле представлений t→π(t)называется измеримым, если для каждого х/>Аполе операторов t→π(t)хизмеримо.
Если поле представлений t→π(t)измеримо, то для каждого х/>Аможно образовать непрерывный оператор π(х)=/>π(t) (x) dμ(t)в гильбертовом прост-
ранстве Н=/>Н(t) dμ(t).
Теорема 2.9.Отображение х→π(х)есть представление Ав Н.
Доказательство. Для любых х, y/>Аимеем
π(х+y)= />π(t) (x+y) dμ(t) = />(π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =/>π(t) (x )dμ(t) +
+/>π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)
Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy)= π(х) π(y), π(х*)=π(х)*
Определение 2.12.В предыдущих обозначениях πназывается прямым интегралом π(t)и обозначается π=/>π(t) dμ(t). продолжение
--PAGE_BREAK--
Определение 2.13.Операторное поле t→φ(t)I(t)/>L(H(t))где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=/>Н(t)dμ(t).
Пусть ε= ((H(t))t/>T, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1– мера на Т, эквивалентная μ(то есть каждая из мер μ1, μабсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=/>. Тогда отображение, которое каждому х/>Н==/>Н(t)dμ(t)составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=/>Н(t) dμ1(t),
есть изометрический изоморфизм Нна Н1, называемый каноническим.
Действительно,
||/>ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = />||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = />||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2
Теорема 2.10.Пусть Т– борелевское пространство, μ– мера на Т, t→Н(t)– измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t)– измеримое поле представлений Ав Н(t),
Н=/>Н(t) dμ(t), π1==/>π(t )dμ(t),
Д– алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1– мера на Т, эквивалентная μ,
Н1=/>Н(t) dμ1(t), π1 =/>π(t) dμ1(t),
Д1– алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует πв π1и Дв Д1.
Доказательство. Пусть ρ(t)=/>. Канонический изоморфизм из Н в Н1есть изометрический изоморфизм, который переводит х =/>x(t) dμ(t)/>Нв
Ux= />ρ-1/2х(t) dμ1(t).
Пусть α/>А. Имеем продолжение
--PAGE_BREAK--
π1(α)Ux= />π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t)= U/>π(t)(α) х(t) dμ(t)= Uπ(α)x,
поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если S/>Д, то аналогично SUx= USx, для любого х/>Н.
Определение 2.14.Пусть Т, Т1– борелевские пространства; μ, μ1– меры на Ти Т1соответственно; ε= ((H(t))t/>T, Г), Z1= ((H1(t1))t1/>T1, Г), — μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1– борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1называется семейство (V(t))t/>T, обладающееследующими свойствами:
для любого t/>Tотображение V(t)является изоморфизмом Н(t)на Н1(η(t));
для того, чтобы поле векторов t→x(t)/>H(t)на Тбыло μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) />Н1(η(t))на Т1было μ1-измеримо.
Отображение, переводящее поле х/>Н =/>Н(t) dμ(t)в поле η(t))→V(t)х(t) />Н1= />Н1(t) dμ1(t), есть изоморфизм Нна Н1, обозначаемый />V(t) dμ(t).
Теорема 2.11.Пусть Т– борелевское пространство; μ– мера на Т, t→H(t)– μ— измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t)— μ— измеримое поле представлений Ав H(t),
Н=/>Н(t) dμ(t), π ==/>π(t) dμ(t), продолжение
--PAGE_BREAK--
Д– алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.
Предположим, что существует:
N, N1– борелевские подмножества Ти Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;
борелевский изоморфизм η: T\N→T\N1, преобразует μв μ1;
η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t/>Z\N) на поле t1→Н1(t1) (t1/>Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t)в π1(η(t))для каждого t.
Тогда V=/>V(t)dμ(t)преобразует Дв Д1и πв π1.
Доказательство. Обозначим через It, It1единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если f/>L∞(T, μ) и если f1– функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то Vпреобразует />f(t)Itdμ(t)в />f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому Vпреоб-
разует Дв Д1. С другой стороны, пусть α/>Аи х = />х(t) dμ(t)/>Н.
Тогда
Vπ(α)х = V/>π(t)(α) х(t) dμ(t)= />V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1)= />π1(t1)(α) V(η-1(t1))х(η-1(t1)) dμ1(t1)= π1 (α) Vх продолжение
--PAGE_BREAK--
Поэтому Vпреобразует πв π1.
Приведем примеры прямых интегралов.
Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств />и дискретная мера μна N, то есть μ(n)=1 для любого n/>N. Тогда
/>Н(n) dμ(n) = />Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.
Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке t/>Тсоответствует поле комплексных чисел С, и на Тзадана линейная мера Лебега dt. Тогда />С dt = L2 (0, 1).
Изоморфизм устанавливается отображением х = />х(t) dt →х(t)/>L2 (0, 1).
Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§ 3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть />— конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, />— некоторый ортонормированный базис в Нк.
Образуем формальное произведение
/>(3.1.)
α = (α1,…, αn) />/> (nраз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (/>) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нnи обозначается Н1/>,…, />Нn = />/>. Его векторы имеют вид:
f= /> (fα/>C), || f||2 =/>
Пусть g= />/>/>/>, тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой
(f, g) = /> (3.3.)
Пусть f(k)= />/>/>(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f= f(1)/>…/>f(n)= />(3.4.)
Коэффициенты fα= />разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит />/>, при этом
|| f || = /> (3.5.)
Функция Н1/>,…, />Нn/>> />/>/>/>/>линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка Lвекторов (3.4.) плотна в />/>— эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нnи обозначается α. />/>
Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса />в каждом сомножителе />. При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.
Пусть Н1и Н2– гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка Lформальных произведений f1/>f2, причем считается, что продолжение
--PAGE_BREAK--
(f1+ g1)/>f2= f1/>f2+ g1/>f2(3.6.)
f1/>(f2+ g2) = f1/>f2+ f1/>g2(3.7.)
(λf1)/>f2=λ(f1/>f2) (3.8.)
f1/>λ(f2) = λ(f1/>f2) (3.9.)
f1,g1/>Н1; f2,g2 />Н2; λ />С.
Иными словами, линейное пространство Lфакторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L.
(f1/>f2, g1/>g2) = (f1g1)(f2g2) (3.10.)
f1,g1/>Н1; f2,g2 />Н2,
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного Lбилинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1.Пусть />, />— две последовательности гильбер-
товых пространств, />— последовательность операторов Ак/>L(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1/>…/>Аn= />Акформулой
(/>/>) f= />/>(/>) = /> (3.11.)
(f />/>/>).
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в />/>и определяет оператор />/>/>L(/>/>, />/>), причем
|| />/>|| = />|| />|| (3.12.)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1/>,…, />Нn = (Н1/>,…, />Нn-1)/>Нnобщий случай получается по индукции.
Пусть />— некоторый ортонормированный базис в Gк(к = 1, 2) и пусть g= />/>G1/>G2. В качестве fвозьмем вектор из Н1/>Н2с конечным числом отличных от нуля координат fα. продолжение
--PAGE_BREAK--
Зафиксируем α2, β1 />Z+и обозначим через f(α2) />Н1вектор f(α2) = />и через g(β1)/>G2– вектор g(β1) =/>. Получим
/>= />=
= />≤ />=
= />≤ />=
= />
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1/>G2ряда />уже при произвольном c/>Н1/>Н2и оценка его нормы в G1/>G2сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1/>A2: Н1/>Н2→G1/>G2определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1/>A2) (f1/>f2)|| = ||A1f1||||A2f2|| (fк/>Нк, к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1, f2последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1/>A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак/>L(Hк, Gк), Вк/>L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения
(/>Вк) (/>Ак) = />(ВкАк) (3.13.)
(/>Ак)* = />Ак*(3.14)
(/>Ак) (f1/>…/>fn) = A1f1/>…/>Anfn(3.15.)
(fк/>Hк; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор />Ак.
Приведем пример. Пусть Hк = L2(/>(0,1), d (/>mк)) = L2
Действительно, вектору вида (3.1.) />/>/>/>поставим в соответствие функцию />/>L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между />/>и L2.
Глава II. Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2 продолжение
--PAGE_BREAK--
P2 = С р1, р2| р12= р1* = р1, р22 =р2* = р2 >
порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u= 2p1 – 1, v = 2p2– 1, тогда u, vсамосопряженные элементы.
u2= (2p1– 1)2 = 4p1– 4p1+ 1 = 1, v2= 1. Таким образом u, v– унитарные самосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:
P2 = С p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22= p2> = C u* = u, v* = v | u2 = 1, v2=1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2→L(H)— *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dimH= 1, то есть dimπ = 1.
P2 = С р1, р2| р12= р1* = р1, р22 =р2* = р2 >
Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк(к = 1, 2) и π — *-представление, то Рк2= Рк* = Рк(к =1, 2) – ортопроекторы в Нна подпространстве Нк = {y/>H | Ркy = y} к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
Н1= Н2= {0}; тогда Р1= 0, Р2 = 0.
Н1= Н (то есть dimH1 =1), Н2= {0}, тогда Р1= 1, Р2 = 0.
Н1 = {0}, Н2 = Н(то есть dimH2=1), тогда Р1= 0, Р2 = 1.
Н1 = Н2 = Н (dimH1 = dimH2=1), тогда Р1= 1, Р2 = 1.
Так как dimH=1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2. Обозначим через Нкобласть значений оператора Ркпри к = 1,2. Пусть Нк┴— ортогональное дополнение подпространства Нк(к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1/>Н1┴, Н=H2/>Н2┴
Введем дополнительные обозначения:
Н0,0= Н1┴∩Н2┴,Н0,1= Н1┴∩Н2, Н1,0= Н1∩Н2┴, Н1,1= Н1∩Н2. (1.1.)
Пусть dimH= 2. предположим, что существуют iи jтакие, что Hijнетривиально, то есть dimHij=1. Пусть, например, dimН1,0= 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в Hсуществует ненулевой вектор hтакой, что Н1,0= л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h= 0; следовательно Н1,0инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление πне может быть неприводимым. продолжение
--PAGE_BREAK--
Будем считать, что Hij={0} для любых i= 0, 1 и j=0, 1, (то есть Hijлинейно независимы) и dimH1 = dimH2=1. Тогда в Нможно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1и Р2имеют вид />. Найдем матрицу оператора Р2в базисе {e1, e2}.
/>Пустьg1= a11e1+ a12e2
/>g2= a21e1+ a22e2
e1= b11g1+ b12g2
e2= b21g1+ b22g2
Рассмотрим векторы h1= eite1и h2= eile2, тогда
|| h1 || = || eite1 || = || e1|| = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2|| = 1
(h1 ,h2) = (eite1, eile2) = ei(t-l)(e1, e2) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.
Р1h1=eitР1 e1 = h1, Р1h2=eilР1 e2 = 0.
Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1также имеет вид />. Тогда можно считать, что a11,a12> 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)
(e1, e2)= 0, значит a11a21 = a12a22= 0 или />, тогда существует такое комплексное число r, что
/>a22= — ra11
a21= ra12
Базис (e1, e2)ортонормированный; следовательно
/>a112+ a122= 1
|a22|2+ |a21|2= 0
тогда| r| = 1.
Р2 e1= Р2(b11g1+ b12g2) = b11g1= b11a11e1+ b11a12e2,
Р2 e2= Р2(b21g1+ b22g2) = b21g1= b21a11e1+ b21a12e2.
Найдем b11и b21:
e1= b11g1+ b12g2= b11(a11e1+ a12e2) + b12 (a21e1+ a22e2) = (b11a11+ b12a12)e1+ (b11a12+ b12a22)e2, продолжение
--PAGE_BREAK--
/>b11a11+ b12a12= 1
b11a12+ b12a22= 0 или
/>b11a11+ b12a12r = 1
b11a12— b12a11r= 0,
Тогдаb11= a11.
Аналогично
E2= b21g1+ b22g2= (b21a11+ b22a21)e1+ (b21a12+ b22a22)e2,
/>b21a11+ b22a21= 0
b21a12 + b22a22 = 1,
отсюда находим, что b21 = a12.
Тогда матрица оператора Р2в базисе {e1, e2} будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)
Р2= />, гдеa11>0, a12>0 иa112+ a122=1
А) Пустьa112= τ, тогдаa122=1 – τ, a11a12= />. Так как a11a12>0, то τ/>(0, 1).
Тогда Р2 = />.
В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφи Р2запишется следующим образом
Р2 = />.
Найдем коммутант π(P2). Пусть Т = />оператор перестановочный с Р1и Р2, тогда
ТР1 = />/> = />
Р1Т = />/> = />
Следовательно b = c = 0.
ТР2 = />/> = />
Р2Т= />/> = />
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление πнеприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ, ν/>(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1= Р1U, следовательно U= />, a, b />C
UР2 (τ) = />/> = />
Р2 (ν) U= />/> = />.
Тогда τ = ν, следовательно U= 0 и представления неэквивалентны. продолжение
--PAGE_BREAK--
Теорема 1.1.Пусть π: P2 →L(H)— *-представление *-алгебры P2 .
Тогда:
(i)Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;
(ii)Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1) />, π(p2) />τ/> (0, 1).
Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) = />φ/> (0, />).
1.4. n– мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i= 0,1 иj= 0,1, что Нi,j≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда πприводимо.
Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = nи Нi,j= {0} для любых i= 0,1 иj= 0,1, то есть Нi,jлинейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление πокажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1.Существует х ≠ 0, х/>Н1такой, что Р1Р2х= λх, где λ/>С.
Доказательство. Пусть />, />ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1и Р2имеют вид />, где I– единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями
/>/>/>/>
к = 1,…, nк = 1,…, n
Так как х/>Н1, то />, gk/>C, к = 1,…, n. Тогда
Р1Р2х= Р1Р2/>=Р1Р2/>/>= Р1/>/>=
= Р1/>/>/>= />/>/>= />(/>/>)/> = />
Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:
/>/>/>= />
j = 1,…, n
Подбирая λ/>Cтак, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму. продолжение
--PAGE_BREAK--
Лемма 1.2.Пусть элемент худовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Нотносительно Р1и Р2.
Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b />Симеем
Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a+ λb) х />L,
Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a+ b) Р2х />L
dimL= 2, так как Нi,j= {0} (для всех i, j= 0,1).
Действительно, если aх + bР2х= 0, где, например, а ≠ 0, то х = />Р2х, значит />= 0 или 1 и х />Н1,1; тогда Н1,1≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2.Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π*-алгебры P2, а также разложение пространства Нна инвариантные подпространства относительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема).Существует единственное разложе-
ние Нв ортогональную сумму инвариантных относительно Р1и Р2подпространств
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0/>Н1,1 /> (/>(С2/>Нк)), (1.1.)
где каждому подпространству Нксоответствует одно φк/>(0, />), φк ≠ φiпри к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j, Рφк: Н→ С2/>Нк– ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов
I = P0,0/>P0,1/>P1,0 />P1,1/>(/>Рφк), (1.2.)
P1= P1,0/>P1,1/>(/>(/>/>Iк)) (1.3)
Р2= P0,1 />P1,1 />(/>/>/>Iк)) (1.4)
где Iк– единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).
Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение продолжение
--PAGE_BREAK--
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1 />Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы Iможем написать разложение Н΄в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк/>(0, />):
Н΄ = />Нφк, (l = n — />)
Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм
Нφк/>…/>Нφк ≈ С2/>Нк, где Нφкnкэкземпляров, dim(Нφк/>…/>Нφк )=2nкdim(С2/>Нк) = dimС2 dimНк = 2nк. Следовательно, получаем разложение (1.1.)
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1 /> (/>(С2/>Нк))
Пусть πi,j– сужение πна Нi,j( i, j= 0,1), πк– сужение πна Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,jи πк— *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0π0,0/>n0,1π0,1/>n1,0π1,0/>n1,1π1,1/>(/>nкπк) (1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы Iразложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0/>P0,1/>P1,0 />P1,1 />(/>Рφк)
Тогда ортопроекторы Р1и Р2примут вид
P1= P1,0 />P1,1 />(/>(/>/>Iк))
Р2= P0,1 />P1,1 />(/>/>/>Iк))
Причемn1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы Iразложения I, Р1и Р2также определяются однозначно. продолжение
--PAGE_BREAK--
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1— Р1┴= 2Р1 – Iи В = Р2– Р2┴= 2Р2 – I. Тогда А2 = I, В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1или АU = U-1А (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и Uнеприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство Lотносительно операторов А и U. Тогда UL= АВL/>L, но тогда ВL/>АL/>L, то есть пара А, В – приводима.
Обратно, пусть А и Uнеприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть />L/>Н: АL/>Lи ВL/>L, то из включения АВL/>АL/>Lследует приводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2.Ортопроекторы Р1и Р2неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1и Р2приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство L/>Н такое, что Р1L/>L, Р2L/>L. Рассмотрим АL= (2Р1 – I)L/>L, ВL= (2Р2 – I)L/>L, то есть А и В приводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1и Р2также будут приводимы, так как Р1L = />L/>L, Р2L = />L/>L, для любого инвариантного относительно А и В подпространства Lв Н.
Лемма 2.3.Если eiφ/>/>(U), то e-iφ/>/>(U).
Доказательство.
1) Если eiφпринадлежит точечному спектру оператора U, то существует f/>Н: ||f|| = 1 и Uf = eiφf. Тогда по (2.1.) UАf= АU-1f = eiφАf, следовательно, Аfсобственный вектор оператора U, то есть e-iφпринадлежит спектру U.
2) Если eiφ/>/>(U), то существует последовательность единичных векторов />в Н || fn|| = 1 такая, что
||Ufn — eiφfn || = || UАfn — eiφ A fn || = || U-1Аfn — eiφ A fn || →0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
Тогда eiφ/>/>(U-1), следовательно e-iφ/>/>(U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения продолжение
--PAGE_BREAK--
А (U + U-1) = АU+ АU-1 = (U-1 +U)А
А(U — U-1) = А(U2– 2I + U-2) = (U2– 2I + U-2)А= (U — U-1)2А
Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)
А (U — U-1) = (U — U-1)2А (2.3.)
Пара А и Uнеприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы Iимеем
U + U-1 = cI
(U — U-1)2= d2I
где c, d />С. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ — e-iφ = ±d.
Если d= 0, то />(U)состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = Iили U = -I. Так как А, Uнеприводимая пара, то dimН=1 и А = +Iили А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство yоператора А: л.о. {(A+I)x}, х/>H.
Если d≠ 0, то />(U)дискретен и состоит из двух точек eiφ=/>и e-iφ=/>φ/>(0, π)
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ(или e-iφ), Нeiφ = {f/>H | Uf= eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы fи Afдля оператора U: Uf= eiφf, U(Аf)= eiφ Аfинвариантно относительно операторов Uи А. Uи А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов Uи А такие, что />(U) = {eiφ, e-iφ} φ/>(0, π) в базисе из собственных векторов оператора Uимеют вид:
А = />, U= />, В = />
Теорема 2.2.Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н– сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения).Паре ортопроекторов Р1и Р2в сепарабельном гильбертовом пространстве Нсоответствует разложение
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1/> (/>(С2/>L2((0,/>), dρк))) (2.4.)
где ρ1 > ρ2 >… ρкмеры на интервале (0, />), такое, что имеют место равенства
P1= P1,0 />P1,1 />(/>(/>/>Iк)) (2.5.) продолжение
--PAGE_BREAK--
Р2= P0,1 />P1,1/>(/>/>/>Iк))(2.6.)
Iк– единичный оператор в L2((0,/>), dρк)
Доказательство. Пространство Нможно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1 />Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу Fв *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF*-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НFможно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μFна Т.
Пусть каждому вектору ξ/>Нпоставим в соответствие подпространство Нξ/>Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х/>А. Ограничения операторов из π(А) на Нξявляется циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Тчерез μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ> μη(то есть μηабсолютно непрерывна по мере μξ).
Если η/>Нξ, то Нη/>Нξ, тогда πη– циклическое подпредставление πξ. Пусть Е/>Т и μξ(Е) = 0, тогда μη(Е) = 0, следовательно μξ> μη, а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = />Нηк. Пусть {ζi} – последовательность, в которой каждый из векторов ηiвстречается бесконечное число раз. Определим ξкиндуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
ξк+1– максимальный вектор в (/>Нξi)┴,
d(ζк, />Нξi) ≤ />.
Тогда разложение Н = />Нξктакое что ξк>ξк+1и μк>μк+1 .
Пусть представления πμв L2(Т, μ) и πν в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции gна Т v(g)=vπμ(g)f = πν (g)vf = πν (g)a= ga. Так как v– изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = />(С2/>L2(Т,μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы: продолжение
--PAGE_BREAK--
P1= P1,0 />P1,1 />(/>(/>/>Iк))
Р2= P0,1 />P1,1/>(/>/>/>Iк))
Iк– единичный оператор в L2((0,/>), dρк).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы).Паре ортопроекторов Р1и Р2в сепарабельном гильбертовом пространстве Нсоответствует разложение
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1/>/>С2/>Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)
в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2подпространств и определенное на Т = (0, />) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, />) в Н+ =/>С2/>Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство
P1= P1,0 />P1,1 />/>/>I+(2.8.)
Р2= P0,1 />P1,1/>/>/>/>dЕ(φ) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве />L2(R, dρк), где ρкзависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1.Пусть Н– гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то />(Р) = />р(Р) = {0, 1}, где />р(Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.
Доказательство. Рассмотрим выражение Рх— λх = y, х, y/>Н, λ/>С. Тогда (1 — λ) Рх= Рy. Если λ ≠ 1, то Рх = />Рy. Если х ≠ 1, то х = />(/>Рy — y), тогда />(Р) = {0, 1}.
Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1/>/>р(Р). Существует y≠ 0: (I— Р)y≠ 0, тогда Р(I— Р)y= 0 = 0 · (I— Р)y, то есть 0 />/>р(Р). Итак, />(Р) = />р(Р) = {0, 1}. продолжение
--PAGE_BREAK--
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1и Р2в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1+ Р2в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH=1. Пусть, как и выше, Нк– область значений оператора Ркк = 1,2. Обозначим через А = Р1+ Р2и найдем />(А).
1) Р1= Р2= 0, то для любого х/>Н Ах= 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 />/>(А).
2) Р1= 0, Р2 = I, то для любого х/>Н2= Н Ах = х, то есть 1 />/>(А).
3) Р1 = I, Р2= 0, то для любого х/>Н1= Н Ах = х.
4) Р1= Р2= I,то для любого х/>Н1= Н2= Н Ах= Р1х+ Р2х = 2х, то есть 2 />/>(А).
Таким образом, если dimH=1, то />(А) />{0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH=2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х/>Н0,0, тогда Ах= 0 и 0 />/>(А).
2) х/>Н0,1или х/>Н1,0, тогда Ах = хи 1 />/>(А).
3) х/>Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 />/>(А).
Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j≠ {0}, то существуют k,l= 0,1 такие, что Нi,j/>Нk,l = H. В этом случае />(А) />{0, 1, 2}.
Пусть теперь Нk,l= {0} для любых k,l= 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство Lотносительно Р1и Р2, тогда АL/>L. Пусть х/>L, тогда Рkх= λкх (k= 1, 2 ). Так как Рkортопроектор, то возможны случаи:
λ1= 0, λ2 = 0;
λ1= 0, λ2 = 1;
λ1= 1, λ2 = 0;
λ1= 1, λ2 = 1;
Но это означает, что />k,l= 0,1 такие, что Нk,l≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1 = />, Р2/>τ/> (0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 +bР2, aи b/>С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 +bР2 – λI) = 0. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
/>(1.1.)
Тогда />, /> (1.2)
Положим a= 1, b =1, ε = />, тогда λ1 = 1+ε, λ2 = 1-ε и 0τ
Тогда />(А) />{0, 1, 2}/>{1+ε, 1-ε}. Причем собственные значения 1+εи 1-ε входят в спектр А одновременно.
1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К/>L, где К, Lинвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х/>Нсуществует единственное разложение x = k +l, k/>K, l/>L. Пусть λ/>/>(А), тогда Ах= λх=λk+λl;, следовательно, если пространство Нразложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора Ана соответствующие инвариантные подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II, представим Нв виде ортогональной суммы подпространств Н= Н0,0, Н1=Н0,1/>Н1,0, Н2=Н1,1и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφкφк/>(0, />), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1и Р2неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εквходят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства
Нφк = Н1+εк/>Н1-εк, причем dimН1+εк=dimН1-εк= 1 (1.3)
Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi(так как εк = />=cosφк и φк/>(0, />)). Объединим все Нφк, у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk, то есть Нφксостоит из qkэкземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφк = Н1+εк/>Н1-εк, dimН1+εк=dimН1-εк= qk.
Теорема1.2.Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1и Р2тогда и только тогда, когда
/>(А) />{0, 1, 2}/>(/>{1+ε, 1-ε}), 0
причем dimН1+εк=dimН1-εкк = 1,…, m. продолжение
--PAGE_BREAK--
Доказательство. Пусть А = Р1и Р2, тогда его спектр был найден выше:
/>(А) />{0, 1, 2}/>(/>{1+ε, 1-ε}), где 0к = 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН1+εк=dimН1-εк. Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0)/>Н(1) />Н(2)/> (/>(С2/>Нк)) (1.4.)
(1.4.) можно записать иначе
Н = Н(0)/>Н(1) />Н(2)/> (/>(С2/>(Н1+εк/>Н1-εк))) (1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1и Р2следующим образом
P1= PН2/>(/>(/>/>Iк)) (1.6.)
Р2= PН1/>PН2/>(/>/>/>Iк)) (1.7.)
где PНк– ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is– единичный оператор в Hss=1,…, m. Но тогда
Р1 + Р2 = PН1/>PН2/> (/>/>/>Iк ))= А, при этом А = А*
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1+ λ2 = a+ b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a+ b– ε.
Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a — b)2 + 4abτ > 0.
Тогда ε = /> > />= 0, то есть ε = 0.
Допустим, что ε ≥ a, тогда
a≤ />
/>≤ b – a
(b — a)2+4abτ≤(b – a)2
abτ ≤0, но abτ > 0 и значит ε a
Итак,
/>λ1 = ε
λ2= a + b – ε. (1.8.)
0 a
Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3.Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 +bР2, 0abтогда и только тогда, когда продолжение
--PAGE_BREAK--
/>(А) />{0, a, b, a + b}/>(/>{εк, a + b — εк}), 0
dimНεк=dimНa+b-εк(Нεк,Нa+b-εк— собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.
Доказательство. Пусть А = aР1 +bР2, 0ab. Найдем />(А).
1) х/>Н0,0, то Ах= 0 и 0/>/>(А);
2) х/>Н0,1, то Ах = bxи b/>/>(А);
3) х/>Н1,0, то Ах = axи a/>/>(А);
4) х/>Н1,1, то Ах = (a+b)xи a+b/>/>(А).
Тогда />(А) />{0, a, b, a+ b}/>(/>{εк , a+ b— εк}), где 0к=1,…m. Причем числа εк, a+ b— εквходят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εктакже инвариантна относительно А и dimНεк=dimНa+b-εк= qk. (с учетом кратности εк)
Обратно. Существует единственное разложение Нв силу (1.4.)
Н = Н(0)/>Н(a) />Н(b)/>Н(a+b)/> (/>(С2/>Нк)) (1.9.)
Где Н(0)=Н0,0, Н(a) =Н1,0, Н(b)=Н0,1, Н(a+b)=Н1,1или
Н = Н(0)/>Н(a) />Н(b)/>Н(a+b)/> (/>(Нεк/>Нa+b-εк) (1.10.)
Положим
P1= Pa/>Pa+b />(/>(/>/>Iк)) (1.11.) продолжение
--PAGE_BREAK--
Р2= Pb />Pa+b />(/>/>/>Iк)) (1.12.)
Но тогда
aР1+bР2= aPa/>bPb />(а+b)Pa+b />(a/>(/>/>Iк))/>
/>(b/>/>Iк)) = A.
Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a+ b}/>(/>{εк , a+ b— εк}), (0к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1+ Р2в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 2.1.Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1+ Р2тогда и только тогда, когда />(А) = [0, 2] и пространство Нможно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств
Н = Н/>Н1/>Н2 />(/>(С2/>L2((0,/>), dρк))) (2.1.)
и меры ρкинвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1 +Р2. Н=Н0,0, Н1=Н1,0/>Н0,1, Н2=Н1,1
Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ/>(0, />). Тогда, как было найдено выше, спектр />(А) />[0, 2] и Нможно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)
Н = Н/>Н1/>Н2 />(/>(С2/>L2((0,2), dρк)))
Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε, 1-ε, 0ρк(к= 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.
Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и />(А) />[0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами
Р1΄ = P1/>P2/>(/>(/>/>Iк ))
Р2΄ = P2 /> (/>/>/>Iк ))
где Pi: Н→Нi (i= 0, 1, 2) ортопроектор, Ik– единичный оператор в L2((0,2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄— самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к= 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства. продолжение
--PAGE_BREAK--
2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 +bР2 (0ab). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 +bР2 (0ab).
Теорема 2.2.Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 +bР2, 0abтогда и только тогда, когда />(А) /> [0, a] />[b, a+b] и Нможно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств
Н = Н/>Нa/>Нb/>Нa+b/> (/>(С2/>L2([0, a] />[b, a+b], dρк)))) (2.2.)
и меры ρкинвариантны относительно преобразования х→a+b.
Доказательство. Пусть А = aР1 +bР2 (0ab). Пусть Н=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0, Нa+b=Н1,1. Так как />(А) />[0, a] />[b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Нодновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем
Н = Н/>Нa/>Нb/>Нa+b/> (/>(С2/>L2([0, a] />[b, a+b], dρк))))
где меры ρк(к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.
Обратно, пусть />(А) />[0, a] />[b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1и Р2следующим образом
P1= Pa/>Pa+b />(/>(/>/>Iк))
Р2= Pb />Pa+b (/>/>/>Iк))
где Рα: Н→Нα, α = a, b, a+b– ортопроекторы, Iк– единичный оператор в L2([0,a] />[b, a+b]). Тогда
А= aР1+bР2= aР1/>bР2/>(a+b)Pa+b />(/>(/>/>Iк)) />
/>(/>/>/>Iк ))
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . продолжение
--PAGE_BREAK--
P2 = С p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.
А именно: 4 одномерныхπ0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И двумерные: />, />τ/>(0, 1)
Изучен спектр операторов Р1+ Р2, aР1 +bР2 (0ab), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1+ Р2 и А = aР1 +bР2 (0ab).
ЛИТЕРАТУРА
Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.