Реферат по предмету "Математика"


*-Алгебры и их применение

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ  МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА  АЛГЕБРЫ  И  ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
 
 
студент 5 курса специальности математика
_________________________________
НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:
ассистент каф. алгебры и функционального анализа
_________________________________
профессор, доктор физико-математических наук
_________________________________
РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:
зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.
_________________________________
 
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..4
Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6
§ 1. *— алгебры……………………………………………………………………...6
1.1.Определение * — алгебры……………………………………………………….6
1.2.Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебрыс единицей…………………………………………………………….7
1.4.Простейшие свойства * — алгебр……………………………………………….9
1.5.Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2.Представления ……………………………………………………………….13
2.1.Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямаясумма представлений ………………………………………………..15
2.3.Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4.Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5.Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3.Тензорные произведения……………………………………………………26
3.1.Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2.Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31
§ 1. Дваортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31
1.1.Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2.Одномерные *-представления *-алгебры  P2……………………………….31
1.3.Двумерные *-представления *-алгебры  P2  ……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры  P2  …………………………………35
1.5.Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Дваортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39
2.1.Неприводимые *-представления *-алгебры  P2  …………………………...39
2.2.Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45
§ 1.Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45
1.1. Спектрортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2.Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр водномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр вдвумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр вn-мерномпространстве……………………………………………..47
1.6. Линейнаякомбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2.Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовомпространстве …………………………………………………….52
2.1. Спектроператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52
2.2. Спектрлинейной комбинации А = аР1 + bР2(0b) ……………………..53
Заключение………………………………………………………………………..55
Литература………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ
 
Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н.Рассмотрим подмножество А в L(Н),сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. ТогдаА – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, тоодна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А вL(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (сточностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура,В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физикетеория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебрбыла разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А.Кирилловым и др. в 60-70-х годах XXвека. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр,заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных ибесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимыедля дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В§1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия:неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование идезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведенияпространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8],[9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P2
P2= С p1, p2| p12= p1* = p1,   p22= p2* = p2>,
порожденнойдвумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например,[12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказанысоответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны всенеприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2. Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:
4одномерных:   π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;
π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
Идвумерные:     /> ,     />  τ /> (0, 1).
Доказанаспектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную суммуинвариантных относительно π подпространствН, а также получено разложение π нанеприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическомуфольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов всепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всехнеприводимых представлений, доказана спектральная теорема. 
В Главе III спектральная теорема для парыпроекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2,аР1+bР2 (0 ab). Полученынеобходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для тогочтобы А = Р1+Р2или А = аР1+bР2, 0 ab, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) оспектре суммы пары самосопряженных операторов).
/>
Глава I. Основные понятия и определения
§ 1. /> — алгебры
1.1.    Определение/> — алгебры.
Определение 1.1.  Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:
1)        А есть линейное пространство;
2)        в Авведена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:
α(x y) = (αx) y,
x (αy) = α(x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x(y+ z) = xy+ xz  для любых x, y, z /> А и любых чисел α.
Два элемента x, y алгебры Аназываются перестановочными, если xy= yx.Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексныхчисел. Инволюцией в А называется такое отображение x→ x* алгебры А в А, что
(i)        (x*)*= x;
(ii)      (x+ y)* = x* + y*;
(iii)     (αx)* = /> x*;
(iv)     (xy)* = y*x*   для любых x, y /> С.
Алгебра над С,снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй.Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А,сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.
Из свойства (i) следует, чтоинволюция в А необходимо является биекцией А на А.
 
1.2. Примеры
1)        На А = Сотображение z→/> (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая Св коммутативную *- алгебру.
2)        Пусть Т –локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (тоесть для любого ε > 0 множество {t/>T: |f(t)| /> ε}компактно, f(t) /> А. Снабжая А отображением f→/> получаем коммутативную *- алгебру.Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
3)        Пусть Н –гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н.Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А — *-алгебра.
4)        Обозначим через К(Н)совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н;операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующиедействия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввестиинволюцию А→А* (А/>К(Н)).Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы.Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытыйединичный шар S/> H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
5)        Обозначим через W совокупность всех абсолютносходящихся рядов />.
Алгебра W есть *- алгебра, если положить />.   (/>)
 
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если Асодержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе =х   для всех х/>А                                                                            (1.1.)
Элемент еназывают единицей алгебры А.
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ — также единица в А,то
е΄х =хе΄ = х, длявсех х/>А                                                                           (1.2.)
Полагая в(1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ =е΄е = е΄ и  е΄е = ее΄ =е,  следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать какподалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
/>Доказательство. Искомая алгебрадолжна содержать все суммы х΄=αе + х, х/>А; с другой стороны,совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которойосновные операции определяются формулами:
β(αе+ х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е+ х2) = (α1 + α2)е + (х1+ х2),
(α1е + х1)(α2 е+ х2 )=α1α2 е +α1 х2 +α2 х1+ х1 х2                                                                       (1.3.)
Каждыйэлемент х΄ из А΄  представляется единственным образом ввиде
х΄ =αе + х, х/>А, так как по условию А не содержит единицы.Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄= αе + х, х/>А, вкоторой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра Аполучится при α = 0.
/>Алгебру А΄ можно такжереализовать как совокупность всех пар (α, х), х/>А, в которойосновные операции определяются по формулам:
β(α, х) = (βα, βх),     (α1,х1)+ (α2, х2) = (α1 + α2,х1 + х2),
(α1,х1)(α2, х2) = (α1α2,α1х2 + α2 х1 + х1х2),                                                           (1.4.)
аналогичнотому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогдарассматривать как совокупность всех пар (0, х), х/>Аи не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х),мы получим:
(α,х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так чтовторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.
Определение 1.4. Элемент yназывается левым обратным элемента х, если xy= e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz= e.
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые иправые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе частиравенства yx= e справа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1элемента х.
1.4. Простейшие свойства />-алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым илисамосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х.Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называетсяидемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов естьвещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и yперестановочны. Для каждого х/>Аэлементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитовэлемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта1.2. Действительно, для любого z/>C  />, но если z действительно отрицательное число, то его нельзяпредставить в виде />.
Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить,и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2– эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1+iх2, следовательно:
/>,       />                                                                           (1.5.)
Такимобразом, это представление единственно. Обратно, элементы х1,х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1+iх2.
Эти элементы х1, х2 называютсяэрмитовыми компонентами элемента х.
Заметим, что               хх* = х12 + х22+ i(х2х1 – х1х2),
хх* = х12+ х22 — i(х2х1– х1х2)
так что хнормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.
Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то  е* = е, то естьединица эрмитов элемент.
Если А — *-алгебра без единицы, а А΄ — алгебра,полученная из А присоединением единицы, то, положив /> при х/>А, мы определиминволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Такчто А΄  станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть*-алгебра, полученная из А присоединением единицы.
Теорема 1.4. Если х-1  существует, то (х*)-1также существует и
(х*)-1= (х-1)*Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1х = хх-1  =е,
получим х*(х-1)*=(х*)-1х*=е.
Но этоозначает, что (х-1)* есть обратный к х*.
Подалгебра А1алгебрыА называется*-подалгеброй, если из х/>А1 следует, что х*/>А1.
Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности,пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S/> А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной,если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра,содержащая нормальный элемент х, и если х-1существует,то х-1/>В.
Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всемиэлементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1= (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1/>В.
Определение 1.6. Элемент х/>А- *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря,если х обратим и х = (х*)-1.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем,равным 1.
Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарнуюгруппу А. Действительно, если x и y– унитарные элементы *-алгебры А, то
((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1(y*)-1 = xy,
поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1=((х*)-1)-1 = х-1, то х-1унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовемгомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что
f(x + y) = f (x) + f (y),
f(αx) = α f (x),
f(xy) = f (x) f (y),
f(x*) = f (x)*
для любых х,y/>А, α/>С.Если отображение f биективно,то f называют изоморфизмом(*-изоморфизмом).
Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:
(i)        I≠ A;
(ii)      Из х, y/>I следует x+ y />I;
(iii)     Из х/>I,  а  α/>А  следует  α х/>I.
Если I = А, то I называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно илевым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I –двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентнымиотносительно идеала I,если х-y/>I. Тогда вся алгебра А разбивается на классыэквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всехэтих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения начисло и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операцийне зависит от выбора этих представителей.
Следовательно, А1  становится алгеброй. Эта алгебраназывается фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемыхсамосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9. Идеал I(левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х/>Iследует х*/>I.
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно,отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал влевый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то Iестьодновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A/Iпо самосопряженному двустороннемуидеалу Iможно определить инволюцию следующимобразом. Если х-y/>I, то х*-y*/>I. Поэтому при переходе от х к х*каждый класс вычетов  х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2.выполнены; следовательно, A/Iесть *-алгебра.
Если х → х΄ есть  *-гомоморфизм А на А΄,то полный прообраз Iнуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двустороннийидеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.
Обратно, отображение х → [х]  каждого элемента х/>А в содержащийего класс вычетов по Iесть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1. Пусть А — *-алгебра, Н – гильбертовопространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм*-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).
Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такоеотображение из А в L(H), что
π (x+y) = π (x)+ π (y),     π (α x) = α π(x),
π (xy) = π (x) π (y),    π (x*) = π (x)*
для любых х,y/> А   и α  /> С.Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ.Пространство Н называется пространством представления π.
Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1и Н2соответственно, эквивалентны (или унитарноэквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого х/>А,то есть
U π1(х) =π2(х)U     для всех х /> А.Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех х/>А)плотно в Н. Вектор f называют циклическим (илитотализирующим) для представления π.
Определение 2.4. Подпространство Н1/>Н называется инвариантным, относительно представления π, если        π (А)Н1/>Н1.
Если Н1инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х/>А)можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1.
Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н,то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть fортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех g/>Н1. Тогда для любого х/>А    (π(х)f, g) = (f,π(х)*g) = (f, π(х*)g)=, так как π(х*)g/>Н1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.
Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н наподпространство Н1/>Н1.
Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда итолько тогда, когда все операторы представления перестановочны с операторомпроектирования Р1 на Н1.
Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространствои f/>Н1, но также π(х)f />Н1. Отсюда для любого вектора f/>Н
π(х)Р1f />Н1
следовательно,Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,
то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.
Применяяоперацию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х*вместо х, получаем, что также
Р1π(х)Р1 = Р1π(х).
Следовательно,Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.
Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f/>Н1
Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;
Следовательно,также π(х)f />Н1.Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.
Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида
h = f1+ … + fn, где f1,…,fn – векторы исходных подпространств. Сдругой стороны, π(х)h= π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеетсвоим пределом π(х)g.
 
2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)i/>I   — семейство представлений *-алгебры А вгильбертовом пространстве Нi (i/>I). Пусть
|| πi(х)|| ≤ сх
где сх– положительная константа, не зависящая от i.
Обозначимчерез Н прямую сумму пространств Нi,то есть Н = />Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывныйлинейный оператор π(х)в Н, который индуцирует πi (х)в каждом Нi. Тогдаотображение х → π(х)есть представление А в Н, называемое прямой суммой представленийπi    и обозначаемое />πi   или π1/>…../>πnв случае конечного семейства представлений (π1…..πn).Если (πi)i/>I – семейство представлений *-алгебры А,совпадающих с представлением π,и если CardI = c,то представления />πi обозначается через сπ. Всякое представление,эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякоелинейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Хсодержит максимальный элемент.
Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличныхпредставлений.
Доказательство. Пусть f≠– какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторовπ(х)f, где х пробегает всю *-алгебру А.Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1– инвариантное подпространство, в котором  f  есть циклический вектор. Другимисловами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1есть отличное от {0} инвариантноеподпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическоеподпространство Н2 ортогональное Н1.
Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональныхциклических подпространств представления; одной из таких систем являетсяпостроенная выше система {Н1, Н2}.Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образуетчастично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно,верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}/>Мбудет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальнаясистема {Нα}. Но тогда Н=/>Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(/>Нα) существовало бы отличное от {0}циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}/>Н0/>М, содержащуюмаксимальную систему {Нα}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Нне существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякийоператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления,равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5. Представление π впространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличныйот нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этогопредставления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо.При f/>Н, f≠ 0,подпространство, натянутое на векторы π(х)f, х/>А, естьинвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадаетс {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерноепространство
{α f | α />C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.
Обратно, еслипредставление π приводимои К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н,то никакой вектор f из К не будетциклическим для представления πв Н.
Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимотогда и только тогда, когда коммутант π (А)в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратнымединичному).
Доказательство.Пусть представление πнеприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В –эрмитов оператор; обозначим через E(λ)спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х); в видунеприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает привозрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0такое,что E(λ) =0 при λλ0. Отсюда
В=/>λdE(λ) = λ01.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор,переста-
новочный со всеми операторами π(х).Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,
В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*
Поэтомуэрмитовы операторы В1=/>, В2=/> также перестановочны совсеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и операторВ = В1+iВ2кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всемиоператорами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий операторпроектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может бытькратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно,представление неприводимо.
Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т: Н → Н΄такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого х/>А,называется оператором сплетающим π иπ΄.
Пусть Т: Н→ Н΄ — оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т*: Н΄ → Нявляется оператором, сплетающим π΄иπ, таккак
Т*π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*
Отсюдаполучаем, что
                                       Т*Тπ(х)=Т*π΄(х)Т= π(х)Т*Т                                    (2.1.)
Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| — полярное разложение Т. Тогда для любого х/>А
              Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T|                        (2.2.)
Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.)следует
                                       Uπ(х) = π΄(х)U                                                    (2.3.)
Если, кроме того, />= Н΄,то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н иН΄  и (2.3.) доказывает что π иπ΄ эквивалентны.
Пусть π и π΄ — неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах НиН΄  соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающийоператор Т: Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6.следует, что Т*Т и ТТ* — скалярны (≠0) и π,  π΄ эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление*-алгебры А. Тогда π = π1/>…../>πn, где πi  неприводимы.
Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = qи что наше предложение доказано при dimπq. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ /> π΄΄, причем dimπ΄q, dimπ΄΄q, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение π = π1/>…../>πn  не единственно. Тем не менее, мыполучим некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1, ρ2 – дванеприводимых подпредставления π. Имотвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2.Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1и Н2. Они коммутируют с π(А).Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающийρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1и Н2не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любоенеприводимое подпредставление πэквивалентно одному из πi. Итак, перегруп-
пировав πi, получаем, что π = ν1/>…../>νm, где каждое  νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ– неприводимое представление π, топредыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантноеподпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н,порожденное пространствами подпредставлений π,эквивалентных νi΄. Таким образом, доказанопредложение.
Теорема 2.8. В разложении π= ρ1ν1΄/>…../>ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целыечисла ρi и классы представлений νi΄  определяются единственным образом,как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т,снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующимисвойствами: Т/>В, Ø/>В, В инвариантноотносительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода кдополнению.
Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 –борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2есть борелевское множество в Т1.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительнаямера на Т.
Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Тесть пара ε = ((H(t))t/>T, Г), где (H(t))t/>T – семейство гильбертовыхпространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множествовекторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i)      Г – векторноеподпространство    />Н(t);
(ii)       существуетпоследовательность (х1, х2,…) элементов Гтаких, что для любого t/>T элементы хn(t) образуют последовательность H(t);
(iii)      для любого х/>Г функция t→||x(t)||  μ – измерима;
(iv)      пусть х– векторное поле; если для любого y/>Г функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х/>Г.Пусть ε = ((H(t))t/>T, Г) μ – измеримое полегильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полемс интегрируемым квадратом, если х/>Ги />||x(t)||2 dμ(t) ∞.
Если х, y– с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ/>С) – тоже ифункция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим
(x,y) = />(x(t), y(t)) dμ(t)
Тогдавекторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н,называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое />x(t)dμ(t).
Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))t/>T, Г) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого t/>T определен оператор S(t)/>L(H(t)). Если для любого х/>T поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.
Пусть Т – борелевское пространство, μ  — положительнаямера на Т, t→Н(t) — μ  — измеримое поле гильбертовыхпространств на Т. Пусть для каждого t/>T задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.
Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х/>А полеоператоров t→π(t)х измеримо.
Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х/>А можнообразовать непрерывный оператор π(х)=/>π(t) (x) dμ(t)    в гильбертовом прост-
ранстве Н =/>Н(t) dμ(t).
Теорема 2.9. Отображение х→π(х)есть представление А в Н.
Доказательство. Для любых х, y/>А имеем
π(х+y) = />π(t) (x+y) dμ(t) = />(π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =/>π(t) (x )dμ(t) +
+/>π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)
Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*
Определение 2.12. В предыдущих обозначениях  π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π=/>π(t) dμ(t).
Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)/>L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=/>Н(t)dμ(t).Пусть ε = ((H(t))t/>T, Г) – μ-измеримое полегильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т,эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μабсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=/>. Тогда отображение,которое каждому х/>Н==/>Н(t)dμ(t) составляетполе t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=/>Н(t) dμ1(t),
естьизометрический изоморфизм Н на Н1, называемыйканоническим.
Действительно,
||/>ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = />||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = />||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2
Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ –мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т,t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),
Н=/>Н(t) dμ(t), π1==/>π(t )dμ(t),
Д– алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 –мера на Т, эквивалентная μ,
Н1 =/>Н(t) dμ1(t), π1 =/>π(t) dμ1(t),
Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1.Тогда канонический изоморфизм преобразует πв π1 и Д в Д1.
Доказательство. Пусть ρ(t)=/>. Канонический изоморфизм из Нв Н1есть изометрический изоморфизм, который переводит х=/>x(t) dμ(t)/>Н       в
Ux= />ρ-1/2х(t) dμ1(t).
Пусть α />А. Имеем
π1(α)Ux = />π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = U/>π(t)(α)х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,
поэтому ипреобразуем π в π1. Тогдаесли S/>Д, то аналогично SUx = USx, для любого х/>Н.
Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевскиепространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1соответственно; ε = ((H(t))t/>T, Г), Z1 = ((H1(t1))t1/>T1, Г), — μ-измеримое и μ1-измеримоеполя гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1– борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1;η-изоморфизм εна ε1 называется семейство (V(t))t/>T, обладающееследующимисвойствами:
(i)        для любого  t/>T отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));
(ii)       для того, чтобыполе векторов t→x(t)/>H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо идостаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) />Н1(η(t)) на Т1было μ1-измеримо.Отображение, переводящее поле х/>Н=/>Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t)  />Н1= />Н1(t) dμ1(t), есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый />V(t) dμ(t).
Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ –мера на Т, t→H(t) – μ — измеримое поле гильбертовыхпространств на Т, t→ π(t) — μ — измеримое поле представлений Ав H(t),
Н=/>Н(t) dμ(t),    π ==/>π(t) dμ(t),
Д– алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1,  t1→H1(t1),  t1→ π1(t1), Н1,  π1, Д1.
Предположим, что существует:
1.  N, N1 – борелевские подмножества Ти Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;
2.  борелевскийизоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;
3.  η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t/>Z\N) на поле t1→Н1(t1) (t1/>Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.Тогда V =/>V(t)dμ(t) преобразует Дв Д1 и πв π1.
Доказательство. Обозначим через It, It1 единичныеоператоры в Н(t)и Н1(t1). Если f/>L∞(T, μ)  и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует />f(t)Itdμ(t)  в  />f1(t1) It1 dμ1(t1),  поэтому Vпреоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α/>А и х = />х(t) dμ(t)/>Н.
Тогда 
Vπ(α)х = V/>π(t)(α)х(t) dμ(t) = />V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1))dμ1(t1) = />π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1))dμ1(t1) = π1 (α) Vх
Поэтому V преобразует π в π1.
Приведем примеры прямых интегралов.
1.  Пусть имеетсяпоследовательность гильбертовых пространств /> идискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любогоn/>N. Тогда
/>Н(n) dμ(n) = />Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.
2.  Пусть Т=[0,1] и в каждой точке t/>Т соответствует поле комплексных чисел С, и  на Тзадана линейная мера Лебега dt.Тогда />С dt = L2 (0, 1).Изоморфизм устанавливается отображением х = />х(t) dt →х(t)/>L2 (0, 1).
Разложения представления на неприводимыепредставления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть/> - конечнаяпоследовательность сепарабельных гильбертовых пространств, /> - некоторыйортонормированный базис в Нк.
Образуем формальноепроизведение
/>                                                                                       (3.1.)
α = (α1,…,αn) />/> (nраз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (/>  ) и наформальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что ониобразуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называетсятензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1/>,…, />Нn = />/>. Его векторы имеют вид:
f= /> (fα/>C),     || f||2=/>
Пусть g= />/>/>/>,тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой
(f, g) = />                                                                                        (3.3.)
Пусть f(k)= />/>/>(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f = f(1)/>…/> f(n)= />                                                           (3.4.)
Коэффициенты fα= /> разложения (3.4.)удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит />/>,при этом
|| f || = />                                                                                        (3.5.)
Функция Н1/>,…, />Нn />> />/>/> />/> линейнапо каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в  />/> - эта линейная оболочканазывается алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…,Нn и обозначается      α. />/>
Приведенное определение тензорного произведениязависит от выбора ортогонального базиса />вкаждом сомножителе />. При изменениибазисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своейструктуры исходному произведению.
Пусть Н1 и Н2 –гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорногопроизведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1/> f2, причем считается, что
(f1 + g1)/> f2 = f1/> f2 + g1/> f2                     (3.6.)
f1/> (f2 + g2) = f1/> f2 + f1/> g2                     (3.7.)
(λ f1)/> f2=λ (f1/> f2)                                      (3.8.)
f1/> λ (f2) = λ (f1/> f2)                                    (3.9.)
f1,g1/>Н1;  f2,g2/>Н2;λ />С.
Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству,натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми илевыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L.
(f1/> f2,g1/> g2) = (f1 g1)(f2 g2)                                                             (3.10.)
f1,g1/>Н1;  f2,g2/>Н2,
а затем распространяется надругие элементы из факторизованного L билинейнымобразом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определимтензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1. Пусть />, /> - две последовательностигильбер-
товых пространств, /> -последовательность операторов Ак/>L(Нк,Gк). Определим тензорное произведение А1/> …/>Аn = />Ак формулой
(/>/>) f = />/>(/>) = />        (3.11.)
(f />/>/>).
Утверждается, что ряд в правой части (3.11.)сходится слабо в />/>и определяет оператор />/>/> L (/>/>,  />/>),причем
                               || />/>||= />|| />||                                          (3.12.)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1/>,…, />Нn = (Н1/>,…,/>Нn-1)/>Нnобщий случай получаетсяпо индукции.
Пусть />-некоторый ортонормированный базис в Gк(к= 1, 2) и пусть g = /> />G1/> G2.В качестве  f  возьмемвектор из Н1/> Н2с конечным числом отличных от нуля координат fα.
Зафиксируем α2,β1 /> Z+ и обозначим через f(α2) />Н1вектор f(α2)= /> и через g(β1)/>G2 – вектор g(β1)=/>. Получим
/>= />=
= />≤ />=
= />≤ />=
= />
Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1/>G2ряда /> уже при произвольном  c />Н1/>Н2и оценкаего нормы в G1/>G2сверху через ||A1|| ||A2||  ||f||.Таким образом, оператор A1/> A2:Н1/> Н2→G1/>G2определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма непревосходит ||A1||  ||A2||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1/> A2)(f1/> f2)|| = ||A1 f1||||A2f2||  (fк/>Нк,к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты f1, f2последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1||  ||A2||,поэтому неравенство ||(A1/> A2)||≤ ||A1|| ||A2||не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для  Ак />L(Hк, Gк), Вк />L(Hк, Gк)  (к = 1,…, n)соотношения
(/>Вк)(/>Ак) = />(Вк Ак)                                                                  (3.13.)
(/>Ак)*= />Ак*                                                                                    (3.14)
(/>Ак)(f1/> …/> fn) = A1 f1/>…/> An fn                                         (3.15.)
(fк/>Hк; к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет оператор />Ак.
Приведем пример. Пусть Hк= L2(/>(0,1),d (/>mк)) = L2
Действительно, вектору вида (3.1.)  /> /> />/> поставимв соответствие функцию /> />L2.Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождаеттребуемый изоморфизм между />/>и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
1.1.    Постановказадачи. Пусть дана*-алгебра P2
P2  = Ср1, р2| р12= р1* = р1, р22=р2* = р2 >
порожденная двумяпроекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u = 2p1 –1, v = 2p2– 1, тогда u, vсамосопряженные элементы.
u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 –4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарныесамосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:
P2 = С p1*= p1, p2*=p2 | p12= p1, p22= p2> = Cu* = u, v* = v | u2 = 1, v2=1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумяунитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления*-алгебры P2, с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2. Пусть π: P2→L(H) — *-представление *-алгебры P2.Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.
P2 = Ср1, р2| р12= р1* = р1, р22=р2* = р2 >
Обозначим через Рк = π(рк),к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк(к = 1, 2) и π — *-представление, то Рк2 = Рк* =  Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк ={y/>H| Ркy = y } к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
1.   Н1= Н2= {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.
2.   Н1= Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1= 1, Р2 = 0.
3.   Н1= {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогдаР1 = 0, Р2 = 1.
4.   Н1= Н2 = Н (dim H1 = dim H2=1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.
Так как dim H =1, то мы можемполучить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2,причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2.  Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ — ортогональноедополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1/>Н1┴, Н=H2/>Н2┴ 
Введем дополнительные обозначения:
Н0,0= Н1┴ ∩Н2┴,Н0,1= Н1┴ ∩Н2,Н1,0= Н1 ∩Н2┴,Н1,1= Н1 ∩Н2.                      (1.1.)
Пусть dim H = 2. предположим, чтосуществуют i и jтакие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть,например, dim Н1,0= 1(остальные случаи аналогичны). Тогда в Hсуществует ненулевой вектор h такой, что Н1,0= л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0  инвариантноеподпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j=0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1= dim H2=1. Тогда в Н можно найтидва ортогональных базиса {e1, e2} и {g1,g2}, в которых матрицы операторовР1 и Р2 имеют вид />.Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1,e2}.
/>Пусть        g1 = a11e1 + a12e2
/>                  g2 = a21e1 + a22e2
                  e1= b11g1 + b12g2
                 e2= b21g1 + b22g2
Рассмотрим векторы h1= eite1 и h2 = eile2,тогда
|| h1 || =|| eite1 || = || e1 || = 1,             || h2|| = || eile2 ||= || e2 || = 1
(h1 ,h2) = (eite1, eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1,h2} – ортонормированныйбазис.
Р1h1=eit Р1  e1 = h1,    Р1h2=eilР1 e2 = 0.
Значит в базисе {h1,h2}  матрица оператора Р1также имеет вид />. Тогда можносчитать, что a11,a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1=|a11| h1)
(e1, e2)= 0, значит a11a21 = a12a22  = 0  или />, тогда существует такоекомплексное число r, что
/>a22  = — ra11
a21 = ra12
Базис (e1, e2) ортонормированный; следовательно
/>a112 + a122 = 1
|a22|2+ |a21|2 = 0
тогда | r | = 1.
Р2 e1 = Р2 (b11g1 + b12g2)= b11g1= b11a11e1+ b11a12e2,
Р2 e2 = Р2 (b21g1 + b22g2)= b21g1= b21a11e1+ b21a12e2.
Найдем b11и b21:
e1 = b11g1+ b12g2 = b11(a11e1 + a12 e2) + b12(a21e1 + a22e2) =(b11a11 + b12a12)e1+ (b11a12 + b12a22)e2,
/>b11a11 + b12a12= 1
b11a12 + b12a22 = 0        или
/>b11a11 + b12a12r = 1
b11a12 — b12a11 r = 0,
Тогда  b11 = a11.
Аналогично
E2 = b21g1+ b22g2 = (b21a11+ b22a21)e1 + (b21a12+ b22a22)e2,
/>b21a11 + b22a21=0
b21a12 + b22a22 = 1,
отсюда находим, что b21= a12.
Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2}будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)
Р2 = />, где a11>0, a12>0и a112 + a122 =1
А) Пустьa112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = />.Так как a11a12 >0, то τ/>(0, 1).
Тогда Р2 = />.
В) Положим a11 = cosφ,тогдаa12 = sinφи Р2 запишется следующим образом
Р2 = />.
Найдем коммутант π(P2).Пусть Т = /> оператор перестановочный сР1 и Р2, тогда
ТР1 = />/> = />
Р1Т = />/> = />
Следовательно b = c = 0.
ТР2 = />/> = />
Р2Т= />/> =/>
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6.глава I) представление π неприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ, ν/>(0, 1), τ ≠ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н,устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1= Р1U, следовательно U=/>, a,b />C
UР2(τ) = />/> = />
Р2 (ν)U = />/> =/>.
Тогда τ = ν, следовательно U= 0 и представления неэквивалентны.
Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) — *-представление *-алгебры P2 .
Тогда:
(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеютвид: π0,0(p1) = 0;  π0,0(p2)= 0;   π1,0(p1) = 1;  π1,0(p2)= 0;  π0,1(p1) = 0;  π0,1(p2)= 1;  π1,1(p1) = 1;  π1,1(p2)= 1;
(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентныепредставления имеют вид: π(p1) /> ,   π(p2) /> τ/> (0, 1).
Доказательство следует из сказанного выше и впункте (ii) можно положить π(p2) = /> φ/> (0, />).
1.4. n – мерные *-представления*-алгебры P2 .Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1,dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1                           (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 иj= 0,1, что Нi,j≠ {0},следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространствоотносительно *-представления π,но тогда πприводимо.
Пусть теперь dimН=2n,  n>1 натуральное.Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j= {0} длялюбых i = 0,1 иj= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы.Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представлениеπ окажетсяприводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х/>Н1такой, что Р1Р2х = λх, где λ/>С.
Доказательство. Пусть />,/> ортонормированный базисы вН, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид />, где I– единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е)и (g) связаны уравнениями
/>/>/>                                      />
к = 1,…, n                                         к = 1,…, n
Так как х/>Н1,то />, gk />C, к = 1,…, n.Тогда
Р1Р2х= Р1Р2/>= Р1Р2/>/>= Р1/>/>=
= Р1/>/>/>=/>/>/>=/>(/>/>)/> = />
Таким образом получаем систему линейных однородныхуравнений относительно q1,…, qn:
/>/>/>= />
j = 1,…, n
Подбирая λ/>C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль,получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.
Лемма 1.2. Пусть элемент худовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х,Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1и Р2.
Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b />Симеем
Р1 (aх + bР2х)= aх + λbх =(a + λb) х />L,
Р2 (aх + bР2х)= aР2х + bР2х= (a + b) Р2х />L
dimL= 2, так как Нi,j= {0} (длявсех i, j= 0,1).
Действительно, если aх +bР2х = 0, где, например, а≠ 0, то х = /> Р2х,значит />= 0 или 1 и х />Н1,1;тогда Н1,1≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2. Если dimН= n,  n>2,то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры  P2. Всенеприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пунктемы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного*-представления π*-алгебры P2,а также разложение пространства Н на инвариантные подпространстваотносительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема).Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2подпространств
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0/>Н1,1 /> (/>(С2/>Нк)),                                  (1.1.)
где каждому подпространствуНк соответствует одно φк/> (0, />), φк ≠φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m).Пусть  Рi,j:Н → Нi,j,    Рφк:Н → С2/>Нк– ортопроекторы к = 1,…, m. Тогдасуществуют единственные разложения операторов
I = P0,0/> P0,1/> P1,0 />P1,1/>(/>Рφк),                                                 (1.2.)
P1 = P1,0/>P1,1/>(/>(/>/>Iк))                                                        (1.3)
Р2= P0,1 />P1,1/> (/>/>/>Iк))               (1.4)
где Iк– единичный оператор на Нк  (к = 1,…, m).
Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j.Сразу можем записать разложение
Н = Н0,0/> Н0,1/> Н1,0 />Н1,1 /> Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. итеорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк/> (0, />):
Н΄ = />Нφк,   (l = n — />)
Собирая вместе все Нφк,у которых одно φк, получим изоморфизм
Нφк/>…/>Нφк≈ С2/>Нк, где Нφк nкэкземпляров, dim(Нφк/>…/>Нφк)=2nк dim(С2/>Нк) = dimС2 dimНк= 2nк. Следовательно, получаемразложение (1.1.)
Н = Н0,0/> Н0,1/> Н1,0 />Н1,1 /> (/>(С2/>Нк))
Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк–сужение π на Нφк(к = 1,…, m), то есть πi,j и πк — *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0π0,0/>n0,1π0,1/>n1,0π1,0/>n1,1π1,1/>(/>nкπк)             (1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы Iразложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0 /> P0,1/> P1,0 />P1,1 /> (/>Рφк)
Тогда ортопроекторы Р1 и Р2примут вид
P1 = P1,0 />P1,1/> (/>(/>/>Iк ))
Р2 = P0,1 />P1,1 /> (/> />/>Iк ))
Причем    n1,0π1,0(р1) = P1,0 ,    n0,1π0,1(p2) = P0,1 ,  n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0.В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяютсяоднозначно.
§ 2. Два ортопроектора всепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебрыP2. Пусть А = Р1 — Р1┴ = 2Р1– I и В = Р2 – Р2┴= 2Р2 – I. Тогда А2 = I, В2 = I. СледовательноА и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ,тогда U-1=ВА  и  А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1  или    АU = U-1А       (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогдаи только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы.Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство Lотносительно операторов А и U. Тогда UL= АВL/>L, нотогда ВL/>АL/>L, то есть пара А, В– приводима.
Обратно, пусть А и Uнеприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть />L/>Н: АL/>L и ВL/>L, то из включенияАВL/>АL/>L следуетприводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1 и Р2приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантноеподпространство L/>Нтакое, что Р1L/>L,Р2L/>L.Рассмотрим АL = (2Р1 – I)L/>L, ВL = (2Р2 – I)L/>L, то есть А и Вприводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1и Р2 также будут приводимы, так как Р1L= />L/>L, Р2L = />L/>L, для любогоинвариантного относительно А и В подпространства L в Н.
Лемма 2.3. Если eiφ/>/>(U), то e-iφ/>/>(U).
Доказательство.
1) Если eiφ принадлежит точечномуспектру оператора U, то существует f/>Н: ||f||= 1 и Uf = eiφf. Тогда по (2.1.)   UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφпринадлежит спектру U.
2) Если eiφ/>/>(U), то существуетпоследовательность единичных векторов />  вН    || fn || = 1 такая, что
||Ufn — eiφfn || = || UАfn — eiφA fn || = || U-1Аfn — eiφA fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
Тогда eiφ/>/>(U-1),следовательно e-iφ/>/>(U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и Всамосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U+ U-1) = АU + АU-1 =  (U-1 +U)А
А (U — U-1)=  А (U2 – 2I + U-2) =  (U2– 2I + U-2)А =  (U — U-1)2А
Таким образом             А (U+ U-1) =  (U-1+U)А             (2.2.)
                                      А (U — U-1) =  (U — U-1)2А             (2.3.)
Пара А и U неприводима(лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1= cI
(U — U-1)2 =d2I
где c,d />С. По теоремепреобразования спектров eiφ+e-iφ= c, eiφ — e-iφ= ±d.
1)        Если d = 0, то />(U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U= I или U = -I.Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1и А = +I или А = -I. Посколькусуществует одномерное инвариантное подпространство yоператора А: л.о. {(A+I)x}, х/>H.
2)        Если    d ≠0,   то />(U)  дискретен и состоит из двухточек    eiφ=/> и e-iφ=/>        φ/>(0, π)
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ(или e-iφ),Нeiφ = {f/>H |Uf= eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутоена собственные векторы f иAfдля оператора U: Uf= eiφf,U(Аf)= eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что />(U) = {eiφ, e-iφ}  φ/>(0,π)  в базисе изсобственных векторов оператора U имеют вид:
А = />,        U = />,       В = />
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1,Р2  ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н –сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в формеоператоров умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 всепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1/> (/>(С2/>L2((0,/>), dρк)))               (2.4.)
где ρ1 >ρ2 >… ρк   меры на интервале(0, />), такое, что имеют месторавенства
P1 = P1,0 />P1,1/> (/>(/>/>Iк ))                                                               (2.5.)
Р2 = P0,1 />P1,1/> (/>/>/>Iк ))                        (2.6.)
Iк– единичный оператор в L2((0,/>),dρк)
Доказательство. Пространство Н можнопредставить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0 /> Н0,1/> Н1,0 />Н1,1 /> Н΄, то естьотщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит изинвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2  отвечаетциклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF.При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций синтегрируемым квадратом по мере μF наТ.
Пусть каждому вектору ξ/>Н поставим всоответствие подпространство  Нξ/> Н,которое получается замыканием множества векторов вида  π(х)ξ,где х/>А.Ограничения операторов из π(А)на Нξ является циклическим представлением. Обозначим егочерез πξ, а соответствующую меру на Т черезμξ. Введем упорядочение в Н,полагая ξ>η, если μξ> μη(то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).
Если η/>Нξ, то Нη/>Нξ, тогда πη – циклическое подпредставлениеπξ. Пусть Е/> Ти μξ(Е)= 0, тогда μη(Е) = 0, следовательно μξ> μη,а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н.Пусть существует счетное разложение Н = />Нηк. Пусть{ζi} – последовательность, вкоторой каждый из векторов ηiвстречается бесконечное число раз. Определим ξкиндуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
1)   ξк+1 – максимальный вектор в (/>Нξi)┴,
2)   d (ζк, />Нξi) ≤ />.
Тогда разложение Н =/>Нξктакое что ξк>ξк+1и μк>μк+1.
Пусть представления πμ в L2(Т,μ) и πνв L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т,μ) →L2(Т, ν) устанавливающий ихэквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функцииg на Т v(g)=vπμ(g)f = πν(g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическоеотображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна помере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что νабсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значитсуществует разложение Н΄ = />(С2/>L2(Т,μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерампредставления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.).Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0 />P1,1/> (/>(/>/>Iк ))                                                             
Р2 = P0,1 />P1,1/> (/>/>/>Iк ))                    
Iк– единичный оператор в L2((0,/>),dρк).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в формеразложения единицы).  Паре ортопроекторов Р1 и Р2 всепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0/>Н0,1/>Н1,0 />Н1,1/> />С2/>Н(φ)dЕ(φ)                              (2.7.)
в прямой интегралинвариантных относительно Р1, Р2 подпространств иопределенное на Т = (0, />)разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0, />) в Н+ =/>С2/>Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство
P1 = P1,0 />P1,1/> />/>I+                                                                           (2.8.)
Р2 = P0,1 />P1,1/> />/>/>dЕ(φ)               (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А,действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимуюпеременную в пространстве />L2(R, dρк),где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогдадоказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следуетнепосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

ГлаваIII. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторовв унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертовопространство. Если Р – ортопроектор, то />(Р)= />р (Р) = {0, 1}, где />р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.
Доказательство. Рассмотрим выражение  Рх — λх = y,     х, y/> Н,  λ/> С. Тогда (1 — λ) Рх = Рy. Если λ ≠1, то Рх = />Рy. Если х ≠ 1, то х =  />(/>Рy —  y), тогда />(Р)= {0, 1}.
Так как Р ≠ 0 и Р ≠I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1/>/>р (Р). Существует y ≠ 0: (I- Р)y ≠ 0, тогдаР(I — Р)y =0 = 0 · (I — Р)y, тоесть 0 />/>р (Р). Итак,  />(Р) = />р (Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы дваортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н.Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. ПустьdimH =1. Пусть, как и выше, Нк– область значений оператора Рк  к = 1,2. Обозначим через А =Р1 + Р2 и найдем />(А).
1) Р1 = Р2= 0, то для любого х/> Н   Ах= 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 />/> (А).
2) Р1 = 0, Р2= I, то для любого х/> Н2 = Н   Ах= х, то есть 1 />/> (А).
3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х/> Н1 = Н   Ах= х.
4) Р1 =  Р2= I, то для любого х/> Н1 = Н2= Н   Ах = Р1х + Р2х = 2х,то есть 2  />/> (А).
Таким образом, если dimH=1, то />(А) />{0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х/> Н0,0,тогда Ах = 0 и 0 />/> (А).
2) х/> Н0,1 илих/> Н1,0 ,тогда Ах = х и 1 />/> (А).
3) х/> Н1,1, тогдаАх = 2х, то есть 2  />/> (А).
Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j/> Нk,l = H.  В этом случае />(А)/>{0, 1, 2}.
Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существуетодномерное инвариантное подпространство Lотносительно Р1 и Р2, тогда АL/>L. Пусть х/> L,тогда Рkх = λкх   (k = 1, 2 ). Так как Рk  ортопроектор, то возможныслучаи:
(i)        λ1 = 0, λ2 = 0;
(ii)      λ1 = 0, λ2 = 1;
(iii)     λ1 = 1, λ2 = 0;
(iv)     λ1 = 1, λ2 = 1;
Но это означает, что /> k,l =0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопрекипредположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мыможем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некоторомортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1 = />,  Р2  />     τ/> (0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 +bР2,a и b/> С. Для этого решимхарактеристическое уравнение det(aР1+bР2 – λI)= 0.
/>
/>                                                                             (1.1.)
Тогда />, />             (1.2)
Положим a = 1, b =1, ε = />, тогда λ1= 1+ε, λ2= 1-ε и 0τ
Тогда />(А) />{0, 1, 2}/>{1+ε, 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр Аодновременно.
1.5. Спектр в n-мерномпространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К/>L, где К, Lинвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х/> Н существуетединственное разложение x = k+l, k/> K,l/> L. Пусть λ/>/> (А),тогда Ах = λх =λk+λl;, следовательно, если пространство Нразложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектроператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А насоответствующие инвариантные подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II,представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0= Н0,0,  Н1=Н0,1/>Н1,0, Н2=Н1,1и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк  φк/> (0,/>), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Таккак А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеетместо разложение на собственные подпространства
Нφк = Н1+εк />Н1-εк  ,  причем dimН1+εк =dimН1-εк  =1                             (1.3)
Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (таккак εк =/>=cosφк и φк/> (0,/>)). Объединим все Нφк, у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, иобозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk,то есть Нφк состоит из qkэкземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк ,то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства,получим Нφк = Н1+εк />Н1-εк  ,  dimН1+εк =dimН1-εк  = qk.
Теорема 1.2. Самосопряженный оператор Апредставим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
/>(А)/>{0, 1, 2}/>(/>{1+ε, 1-ε}),  0
причем dimН1+εк =dimН1-εк  к = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2,тогда его спектр был найден выше:
/>(А)/>{0, 1, 2}/>(/>{1+ε, 1-ε}),  где 0к = 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А иизвестно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают,то есть
dimН1+εк =dimН1-εк . Существует единственное разложение Н вортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0)/> Н(1) />Н(2)/> (/>(С2/>Нк))                                                          (1.4.)
(1.4.) можно записатьиначе 
Н = Н(0)/> Н(1) />Н(2)/> (/>(С2/>(Н1+εк />Н1-εк  )))                                    (1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1 и Р2следующим образом 
P1 = PН2/>(/>(/>/>Iк))                                                                              (1.6.)
Р2 = PН1/>PН2/> (/> />/>Iк ))                         (1.7.)
где PНк – ортопроектор в Нна Н(к) (к = 1, 2), Is– единичный оператор в Hs s=1,…, m.Но тогда 
Р1 + Р2= PН1 />PН2 /> (/> />/>Iк)) = А, при этом А = А*
 
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пустьтеперь с. Из (1.2.) следует λ1 +  λ2 =  a + b.Пусть λ2 = ε,тогда λ1 =  a +b – ε.
Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a — b)2 +4abτ > 0.
Тогда ε = /> > />= 0, то есть ε = 0.
Допустим, что ε ≥ a, тогда
a ≤ />
/>≤ b– a
(b — a)2+4abτ≤ (b – a)2
abτ ≤ 0,но abτ > 0 и значит ε a
Итак,
/>λ1 =  ε
λ2 = a + b – ε.                                                                                 (1.8.)
0 a
Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3. Самосопряженный оператор Апредставим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1+bР2, 0ab тогда и толькотогда, когда
/>(А) />{0,a, b, a + b}/>(/>{εк, a + b — εк}),  0
dimНεк =dimНa+b-εк  (Нεк ,Нa+b-εк  — собственные подпространства оператора А, отвечающиеεк) к=1,…m.
Доказательство. Пусть А = aР1+bР2, 0ab. Найдем />(А).
1) х/> Н0,0, тоАх = 0 и 0/>/>(А);
2) х/> Н0,1,то Ах = bx и b/>/>(А);
3) х/> Н1,0,то Ах = ax и a/>/>(А);
4) х/> Н1,1,то Ах = (a+b)x и a+b/>/>(А).
Тогда />(А) />{0, a, b, a + b}/>(/>{εк, a + b — εк}), где0к=1,…m. Причем числа εк, a + b- εквходят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогдасумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк такжеинвариантна относительно А и dimНεк =dimНa+b-εк = qk.(с учетом кратности εк)
Обратно. Существует единственное разложение Нв силу (1.4.)
Н = Н(0)/> Н(a) />Н(b)/>Н(a+b)/> (/>(С2/>Нк))                                (1.9.)
Где Н(0)=Н0,0, Н(a) =Н1,0, Н(b)=Н0,1, Н(a+b)=Н1,1 или
Н = Н(0)/> Н(a) />Н(b)/>Н(a+b)/> (/>(Нεк/> Нa+b-εк)                                  (1.10.)
Положим
P1 = Pa/>Pa+b/>(/>(/>/>Iк ))                                                                 (1.11.)
Р2 = Pb />Pa+b /> (/> />/>Iк ))                       (1.12.)
Но тогда
aР1 +bР2= aPa/>bPb /> (а+b)Pa+b /> (a/>(/>/>Iк ))/>
/>(b/>/>Iк )) = A.
Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}/>(/>{εк, a + b — εк}), (0к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинацияортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторовв сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2.Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовомпространстве.
Теорема 2.1. Самосопряженный оператор Апредставим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2тогда и только тогда, когда />(А) =[0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную суммуинвариантных относительно А пространств
Н = Н0/> Н1/> Н2 />(/>(С2/>L2((0,/>), dρк)))                                         (2.1.)
и меры ρкинвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1 +Р2. Н0=Н0,0, Н1=Н1,0/>Н0,1, Н2=Н1,1 
Поставим в соответствие φ→ε cosφ,где φ/> (0, />). Тогда, как было найденовыше, спектр />(А) /> [0, 2] и Нможно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II)в ортогональную сумму (2.1.)
Н = Н0/> Н1/> Н2 />(/>(С2/>L2((0,2),dρк)))
Поскольку собственные подпространства,соответствующие собственным значениям А 1+ε, 1-ε,  0ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительнопреобразования 1 + х → 1- х.
Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и />(А) /> [0, 2]. Тогда зададимортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами
Р1΄= P1/>P2/>(/>(/>/>Iк))              
Р2΄ = P2 /> (/> />/>Iк))
где Pi:Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0,2), dρк)). Тогда А =Р1΄+ Р2΄  — самосопряженный оператор, спектр которогосодержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) являетсясуммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 +bР2(0ab).Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1+bР2 (0ab).
Теорема 2.2. Самосопряженный оператор Апредставим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 +bР2,0ab тогдаи только тогда, когда />(А) /> [0, a]/>[b,a+b] и Нможно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно Апространств
Н = Н0/> Нa />Нb/>Нa+b/> (/>(С2/>L2([0, a] />[b, a+b],dρк))))           (2.2.)
и меры ρкинвариантны относительно преобразования х→a+b.
Доказательство. Пусть А = aР1+bР2 (0ab). Пусть Н0=Н0,0,На=Н0,1, Нb=Н1,0, Нa+b=Н1,1. Так как />(А) /> [0,a] />[b, a+b]и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора Авходят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогичнотеореме 2.1. получаем
Н = Н0/> Нa />Нb/>Нa+b/> (/>(С2/>L2([0, a] />[b, a+b],dρк))))
где меры ρк(к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.
Обратно, пусть />(А)/> [0,a] />[b, a+b]и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом
P1 = Pa/>Pa+b/>(/>(/>/>Iк ))              
Р2 = Pb />Pa+b (/> />/>Iк ))
где Рα:Н→Нα, α = a,b, a+b – ортопроекторы, Iк– единичный оператор в L2([0,a]/>[b,a+b]). Тогда
А =aР1 +bР2 = aР1/> bР2/>(a+b)Pa+b />(/>(/>/>Iк )) />
/> (/> />/>Iк))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов всепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всехнеприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2.
P2  = Сp1, p2| pк2 = pк* =pк>.
А именно: 4одномерных  π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
Идвумерные:     /> ,     />    τ/> (0, 1)
Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 +bР2 (0ab), а также необходимые и достаточные условияпредставимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2  иА = aР1 +bР2 (0ab).

ЛИТЕРАТУРА
1.         Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовомпространстве, М., Наука, 1966.
2.         Березенский Ю.М.,Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
3.         Браттели У.,Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий.Разложение состояний., М., Мир, 1982.
4.         Диксмье Ж.С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
5.         Кириллов А.А.Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
6.         Кужель А.В.Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
7.         Ленг С. Алгебра.М., Мир, 1968.
8.         Мерфи Д.С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
9.         Наймарк М.А.Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
10.      Рудин У.Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
11.      NishioK,Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science PublishingCo., Inc., 1985.
12.      SamoilenkoY.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Налоговая система 11
Реферат Збереження національних культур в епоху глобалізації
Реферат Суверенные государства и несамоуправляющиеся территории
Реферат Українська культура ХХ ст
Реферат Native Americans Essay Research Paper The Indians
Реферат Управління кредитним ризиком банку на рівні окремої позики
Реферат Юзеф Пілсудський
Реферат Нотаріальне оформлення документів
Реферат Собственность в России
Реферат Идеалы научности и паранаука
Реферат Агафонова Татьяна Алексеевна Количество часов Всего час., в неделю час. Плановых контрольных урок
Реферат Себестоимость продукции растениеводства на примере предприятия СПК "Найтоповичский"
Реферат Государственная территория и другие пространства
Реферат Потенциальная опасность от извержений Авачинского вулкана
Реферат Психологічна діагностика особистості з девіаціями поведінки