Алгебры и их применение

--PAGE_BREAK--Н1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1Н1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и fН1, но также π(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН

π(х)Р1f Н1

следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,

то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1π(х)Р1 = Р1π(х).

Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН1

Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)iI — семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть

|| πi (х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое πi или π1…..πn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)iI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления πi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нα}. Но тогда Н=Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Нα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}Н0М, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При fН, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f, хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{α f | α C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х); в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λλ0. Отсюда

В=λ dE(λ) = λ0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2= также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т: Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т: Н → Н΄ — оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т*: Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как

Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| — полярное разложение Т. Тогда для любого хА

Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)

Если, кроме того, = Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ — неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т: Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* — скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1…..πn, где πi неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ π΄΄, причем dimπ΄

Разложение π = π1…..πn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi. Итак, перегруп- пировав πi, получаем, что π = ν1…..νm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄…..ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ШВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство Н(t);

существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

для любого хГ функция t→||x(t)|| μ – измерима;

пусть х – векторное поле; если для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то хГ.

Пусть ε = ((H(t))tT, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 dμ(t)

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ — положительная мера на Т, t→Н(t) — μ — измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост- ранстве Н =Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) +

+π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) dμ1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = ||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = ||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dμ(t), π1==π(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,

Н1 =Н(t) dμ1(t), π1 =π(t) dμ1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть ρ(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dμ(t)Н в

Ux = ρ-1/2х(t) dμ1(t).

Пусть α А. Имеем

π1(α)Ux = π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = Uπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))t    продолжение
--PAGE_BREAK--T, Г), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Г), — μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))tT, обладающее следующими свойствами:

для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));

для того, чтобы поле векторов t→x(t)H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н1 = Н1(t) dμ1(t), есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) — μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dμ(t), π ==π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.

Предположим, что существует:

N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;

борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;

η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t1→Н1(t1) (t1Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если fL∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)It dμ(t) в f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб- разует Д в Д1. С другой стороны, пусть αА и х = х(t) dμ(t)Н.

Тогда

Vπ(α)х = Vπ(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х

Поэтому V преобразует π в π1.

Приведем примеры прямых интегралов.

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств  и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть   — конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств,   — некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

 (3.1.)

α = (α1,…, αn)  (n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1,…, Нn = . Его векторы имеют вид:

f =  (fαC), || f ||2 =

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой

(f, g) =  (3.3.)

Пусть f(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)… f(n) =  (3.4.)

Коэффициенты fα =  разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =  (3.5.)

Функция Н1,…, Нn >   линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в   — эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что

(f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.)

f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.)

(λ f1) f2=λ (f1 f2) (3.8.)

f1 λ (f2) = λ (f1 f2) (3.9.)

f1, g1Н1; f2, g2 Н2; λ С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f1 f2, g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)

f1, g1Н1; f2, g2 Н2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть ,   — две последовательности гильбер- товых пространств,   — последовательность операторов АкL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 …Аn = Ак формулой

() f = () =  (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор  L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1,…, Нn = (Н1,…, Нn-1)Нn общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g =  G1 G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.

Зафиксируем α2, β1  Z+ и обозначим через f(α2) Н1 вектор f(α2) =  и через g(β1)G2 – вектор g(β1) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1G2 ряда  уже при произвольном c Н1Н2 и оценка его нормы в G1G2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 →G1G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк Нк, к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для Ак L(Hк, Gк), Вк L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения

(Вк) (Ак) = (Вк Ак) (3.13.)

(Ак)* = Ак* (3.14)

(Ак) (f1 … fn) = A1 f1… An fn (3.15.)

(fк Hк; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор Ак.

Приведем пример. Пусть Hк = L2((0,1), d (mк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.)    поставим в соответствие функцию  L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2 = С

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:

P2 = С = C

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2, с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2. Пусть π: P2 →L(H) — *-представление *-алгебры P2. Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P2 = С

Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π — *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {y    продолжение
--PAGE_BREAK--H | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2. Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ — ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1Н1┴, Н=H2Н2┴

Введем дополнительные обозначения:

Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.

Пусть g1 = a11e1 + a12 e2

 g2 = a21e1 + a22e2

e1 = b11g1 + b12g2

e2 = b21g1 + b22g2

Рассмотримвекторыh1 = eite1 иh2 = eile2, тогда

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1

(h1 ,h2 ) = (eite1, eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)

(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a22 = — ra11

a21 = ra12

Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно

a112 + a122 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда| r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,

Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдемb11 иb21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,

b11a11 + b12a12 = 1

b11a12 + b12a22 = 0 или

b11a11 + b12a12 r = 1

b11a12 — b12a11 r = 0,

Тогдаb11 = a11.

Аналогично

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,

b21a11 + b22a21= 0

b21a12 + b22a22 = 1,

отсюданаходим, чтоb21 = a12.

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)

Р2 = , гдеa11>0, a12>0 иa112 + a122 =1

А) Пустьa112 = τ, тогдаa122 =1 – τ, a11a12 = . Так как a11a12 >0, то τ(0, 1).

Тогда Р2 = .

В) Положим a11 = cosφ, тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом

Р2 = .

Найдем коммутант π(P2). Пусть Т =  оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда

ТР1 =  =

Р1Т =  =

Следовательно b = c = 0.

ТР2 =  =

Р2Т =  =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР1 = Р1U, следовательно U= , a, b C

UР2 (τ) =  =

Р2 (ν) U =  = .

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) — *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1)  , π(p2)  τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) =  φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2. Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН1 такой, что Р1Р2х = λх, где λС.

Доказательство. Пусть ,  ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

 

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как хН1, то , gk C, к = 1,…, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2= Р1Р2= Р1=

= Р1= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:

=

j = 1,…, n

Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х L

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =  Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2. Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1  ((С2Нк)), (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j, Рφк: Н → С2Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(Рφк), (1.2.)

P1 = P1,0P1,1((Iк)) (1.3)

Р2 = P0,1 P1,1  (Iк )) (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1  Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):

Н΄ = Нφк, (l = n — )

Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм

Нφк…Нφк ≈ С2Нк, где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк…Нφк )=2nк dim(С2Нк) = dimС2 dimНк = 2nк. Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0  Н0,1 Н1,0 Н1,1  ((С2Нк))

Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк — *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n0,0π0,0n0,1π0,1n1,0π1,0n1,1π1,1(nкπк) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0  P0,1 P1,0 P1,1  (Рφк)

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0 P1,1  ((Iк ))

Р2 = P0,1 P1,1  (Iк ))

Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0, n0,1π0,1(p2) = P0,1, n1,1π1,1(р1) = P1,1, n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2. Пусть А = Р1 — Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I, В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL    продолжение
--PAGE_BREAK--