Домашнее задание
по курсу «Статистические методы обработки информации» на тему:
"
Решение вариационной задачи путем сведения к задаче нелинейного программирования
"
Выполнила студентка
Преподаватель
Москва, 2006
Вариант №7.
Уравнение объекта имеет вид: />.
Модель объекта: />
Шум измерений принадлежит классу, удовлетворяющему условию:
/>.
Распределение />является нормальным распределением :
/>.
Распределение />тоже является нормальным распределением с произвольной дисперсией />:
/>.
Получить нормированную информационную матрицу, соответствующую данному объекту.
Допуская, что оптимальная на классе плотность распределения существует, разработать алгоритм определения оптимальной на классе плотности распределения />(функции потерь). Для определения оптимальной на классе плотности распределения используется N измерений «входов» и «выходов».
Записать рекуррентный алгоритм с использованием оптимальной на классе функции потерь.
В дальнейшем будем использовать запись объекта в виде:
/>.
Модель выглядит следующим образом:
/>,
где />, />.
Тогда:
/>
1. Определение нормированной информационной матрицы
Уравнение объекта: />.
Уравнение модели: />, />
Нормированной информационной матрицей называется матрица вида:
/>, где
/>.
/>
/>
Три последних слагаемых равны нулю, так как фигурирующие в них величины не коррелированны. Кроме того, матрицу вычисляем для стационарного процесса, значит, значения выхода в каждый момент времени одинаковы, поэтому индексы при у опустим. Следовательно, наша формула примет вид:
/>, откуда
/>.
Перейдем ко второй компоненте вектора параметров объекта:
/>.
Значит, для стационарного процесса />.
Заметим также, что
/>.
Тогда нормированная информационная матрица:
/>,
Обратная ей:
/>,
а след обратной матрицы вычисляется по формуле:
/>.
2. Поиск оптимальной на классе функции потерь
Теоретические сведения
Как правило, при неполной информации о помехе можно выделить тот или иной класс распределений, которому принадлежит распределение помехи />. При этом можно сформировать соответствующий класс функций потерь Q:
/>, где />.
При нахождении требуемой функции потерь используется игровой подход. Причем в качестве «платы» рассматривается АМКО.
В общем случае, искомая функция потерь, гарантирующая некоторую максимальную АМКО, является решением задачи:
/>, (1)
/>, (2)
/>, />. (3)
Данная задача является сложной вариационной задачей с ограничениями (3). В настоящее время не существует каких-либо разработанных методов решения поставленной задачи в явном виде. Можно представить только численное решение.
Существенное упрощение задачи достигается, если существует оптимальная функция потерь:
/>, />.
Определение. Функция потерь />, где />, существует и называется оптимальной на классе , если для нее выполняется условие:
/>,
/>;
для />, />.
Оптимальная на классе функция потерь обладает двумя свойствами.
Свойство 1. Оптимальная на классе плотность распределения />и соответствующая ей функция потерь />определяют седловую точку.
Свойство 2. Оптимальная на классе плотность распределения является наименее благоприятной плотностью распределения.
Таким образом, если заранее известно, что оптимальная функция потерь существует, то на основании свойства 1 можно записать:
/>,
где, на основании свойства 2,
/>.
Таким образом, задача (1) эквивалентна задаче:
/>;
/>, (4)
где
/>. (5)
Последнюю задачу можно упростить, если принять во внимание, что для целей идентификации важна не сама АМКО, а ее диагональные элементы. Учитывая это, рационально перейти к рассмотрению следа АМКО. Тогда задача (4) примет вид:
/>
или, подставляя выражение для />,
/>. (6)
Переходя от задачи максимизации к более привычной задаче минимизации, окончательно получим:
/>, />. (7)
Несмотря на существенное упрощение, задача (7) является сложной вариационной задачей с нелинейными ограничениями, которая имеет явное решение только в частных случаях. В общем виде эта задача может быть решена только численно путем сведения ее к многомерной задаче нелинейного математического программирования.
Преобразование задачи (7) к задаче нелинейного программирования осуществляется за счет аппроксимации непрерывной />кусочно-постоянной финитной функцией />.
/>(8)
Причем, так как /> — четная, то можно проводит аппроксимацию только для положительных />, при этом интегралы заменяются суммами, а производные – разностями.
Минимизируемая функция принимет вид:
/>,(9)
/>,
где ∆ — интервал разбиения.
Ограничения, накладываемые на />определяются классом />, обязательным же ограничением является условие:
/>,
которое является дискретным аналогом условия:
/>
Характерной особенностью задачи минимизации функции (7) является необходимость определения />на каждом шаге итерационного процесса минимизации.
Но можно преобразовать задачу (7) к задаче нелинейного программирования и за счет вариации неизвестных параметров. Так как плотность распределения должна удовлетворять требованию:
/>,
то в ходе поиска оптимальной на классе функции потерь будем минимизировать функцию />по />при соблюдении ограничения.
Приведем постановку задачи минимизации к общему виду.
Найти минимум функции: />/>/>
при ограничениях: />/>,
причем />, а
/>/>+ />/>.
Общая схема процесса нахождения оптимальной на классе плотности распределения (функции потерь) может быть представлена блок-схемой.
Минимизация критерия J1(f) решается одномерным методом «золотого» сечения. Критерий J1(f) содержит в себе исходный критерий и дополнительное слагаемое, которое обращается в нуль при выполнении ограничения:
/>
Рекуррентный алгоритм с использованием оптимальной на классе функции потерь
Так как пункт 2 был реализован в предположении, что оптимальная на классе функция потерь существует, то результатом работы описанных алгоритмов будет функция />, соответствующая оптимальной />.
Запишем для этой функции рекуррентный алгоритм.
Функция потерь: />.
/>при условии, что />;
/>.
Заключение
В данной работе проводилась разработка алгоритма определения оптимальной на классе плотности распределения (функции потерь) при допущении, что она существует.
В ходе выполнения работы была рассчитана нормированная информационная матрица для заданного вида объекта. Разработанный алгоритм основан на сведении вариационной задачи к задаче нелинейного программирования. Задача нелинейного программирования решалась методом «золотого» сечения.