Реферат по предмету "Математика"


Інтегральні характеристики векторних полів

інтегральні характеристики векторних полів

1.Диференціальні операції другого порядку
Нехай в області /> заданіскалярне поле /> і векторне поле />, причому функції /> мають вобласті /> неперервнічастинні похідні другого порядку. Тоді /> і /> є диференційовними векторнимиполями, а /> –диференційовним скалярним полем.
До векторних полів/> і /> можназастосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля /> – операціюобчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:
/>.
Операцію /> називаютьоператором Лапласа і позначають також символом />:
/>.
З допомогоюоператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді
/>.
Враховуючи, що
/>,
дістаємо
/>.
Функція />, яказадовольняє в деякій області рівняння Лапласа />, називається гармонічною в ційобласті. Наприклад, лінійна функція /> є гармонічною в довільнійобласті. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичноїфізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового зарядуабо поля тяжіння точкової маси, який має вигляд />, при /> задовольняє рівняння Лапласа:
/>
(потенціальневекторне поле /> є безвихровим) і
/>
(векторне поле /> єсоленоїдальним).
1. Дві іншіповторні операції /> і /> пов’язані співвідношенням
/>,                                             (1)

де />–вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласадо функцій />.
2. Розкладаннявекторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів
Довільненеперервно диференційовне векторне поле /> може бути зображено у вигляді
/>,                                              (2)
де /> – потенціальне поле, /> –соленоїдальне поле.
Дійсно, заозначенням потенціальне векторне поле /> є градієнтом деякого скалярногополя />: />. Тому длявектора /> ізрівності (2) маємо
/>.                                       (3)
Щоб векторне поле/> булосоленоїдальним, воно має задовольняти умову />, звідси, враховуючи рівність (3),знаходимо
/>.
Таким чином, дляскалярного потенціала поля /> отримуємо рівняння
/>,                                                 (4)
де /> – відома функція даногополя />.
Отже, якщофункція /> єрозв’язком рівняння (4), то, поклавши />, />, отримаємо зображення поля /> у вигляді (2),де /> –потенціальне поле, /> – соленоїдальне поле.
Рівняння (2) – неодноріднерівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівняннямПуассона:
/>.
Відзначимо, що церівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля /> у вигляді (2)не є єдиним.
2. Потік векторногополя
Розглянемовекторне поле />, визначене в просторовій області />, і деякукусково-гладку орієнтовну поверхню />. Нехай /> – полеодиничних нормалей на обраній стороні поверхні />.
Як буловідзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл
/>                                             (5)
називаєтьсяпотоком векторного поля /> через поверхню /> в сторону, якавизначається вектором /> (кажуть також «потік через обранусторону поверхні />»).
Якщо взяти іншусторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор /> змінить напрям на протилежний;тому скалярний добуток />, а отже, і потік (поверхневийінтеграл (5)) змінить знак.
Якщо /> – швидкістьрухомої рідини, то /> є кількістю (об’ємом) рідини, якапротікає через поверхню /> у напрямі нормалі /> за одиницю часу. Цявеличина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню />. Тому і увипадку довільного векторного поля /> інтеграл (5) називається потокомвекторного поля через поверхню />.
Розглянемоелектричне поле /> точкового заряду />, який міститься в точці/>. Знайдемопотік векторного поля /> через зовнішню сторону сфери /> радіуса /> з центром уточці />.Нехай /> (/>– точка насфері />);тоді />.Тому
/>,
де /> – діелектричнапроникність середовища, />.
Якщо в системікоординат /> />, а />, то вираз (5)для потоку векторного поля /> можна записати у вигляді

/>.          (6)
Кожен доданок управій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їхсума, тобто потік />, очевидно, не залежить від виборусистеми координат.
3. ФормулаОстроградського-Гаусса в векторній формі
Нехай в області /> визначеновекторне поле />; /> – замкнена поверхня, яка обмежуєобласть />; /> – одиничнийвектор зовнішньої нормалі до поверхні /> у точці />.
Нехай, далі, /> та їхнічастинні похідні /> неперервні в області />. Тодісправедлива формула Остроградського-Гаусса:
/>.         (7)
Підінтегральнафункція в потрійному інтегралі є />, а поверхневий інтеграл – потіквекторного поля /> через поверхню />. Тому формулу (7) можназаписати у векторній формі:
/>.                                        (8)

Фізичний зміст формулиОстроградського-Гаусса: потік векторного поля /> через замкнену поверхню в сторонузовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цієюповерхнею, від дивергенції векторного поля />. Щоб потік був відмінним віднуля, всередині області /> мають бути джерела (або стоки)поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді /> є відмінною від нуля.Таким чином, /> характеризує джерела поля. Самовекторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва«розбіжність» або «дивергенція».
4. Властивостісоленоїдального поля
Як відомо,векторне поле />, яке задовольняє в області /> умову />, називаєтьсясоленоїдальним в цій області. Нехай область /> є об’ємно однозв’язною. Цеозначає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня /> лежить в області />, то і область, якаобмежує поверхню />, цілком належить області />. Прикладамиоб’ємно однозв’язних областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор неє поверхнево однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами,не є об’ємно однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).
Із формулиОстроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язнійобласті має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільнузамкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.
Відзначимо, що,якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в ційобласті) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бутивідмінним від нуля. Так електричне поле /> точкового заряду, який міститьсяв точці />,є соленоїдальним в кулі з викинутим центром (/>при />).
Слово«соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливимзакон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.
Нехай /> –соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область,обмежену двома перерізами /> і /> та боковою поверхнею />, якаскладається із векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулуОстроградського-Гаусса (8). Оскільки всоленоїдальному полі />, то потік векторного поля /> через поверхнюобласті дорівнює нулю: /> (/>– одиничний вектор зовнішньоїнормалі). На боковій поверхні /> маємо />, тому />.
Отже,
/>.
/>
Рисунок 1 –Відрізок «векторної трубки»
Змінимо наперерізі /> напрямнормалі /> напротилежний (/>– внутрішня нормаль до />). Тодіотримаємо

/>,
де обидва потокичерез перерізи /> і /> обчислюються в напрямі векторнихліній.
Таким чином, усоленоїдальному (трубчастому) векторному полі /> потік через будь-який перерізвекторної трубки набуває одного й того самого значення. Це і є закон збереженняінтенсивності збереження векторної трубки.
 
5. Інваріантнеозначення дивергенції
Нехай в області />, обмеженійповерхнею />,визначено векторне поле />. Запишемо формулу (8) длявекторного поля /> в області />. Застосовуючи до лівоїчастини цієї формули теорему про середнє, отримаємо
/>
або
/>,
де /> – об’єм області />, а /> – деяка точкаобласті />.
Зафіксуємо точку /> істягуватимемо область /> до точки /> так, щоб /> залишалася внутрішньою точкоюобласті />.Тоді />, а /> прямуватиме до/>.Внаслідок неперервності /> значення /> прямуватиме до />. Таким чином, отримуємо
/>.                                        (9)
У праву частинуформули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат(потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) даєінваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторногополя залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системикоординат.
6. Циркуляціявекторного поля
Розглянемовекторне поле />, визначене в просторовій області />, і деякукусково-гладку криву />, на якій вказано напрям обходу(вибір напряму обходу називають також орієнтацією кривої). Нехай /> – одиничний дотичнийвектор до кривої /> у точці />, напрямлений в сторону обходукривої.
Криволінійнийінтеграл
/>                                        (10)
називаєтьсяциркуляцією векторного поля /> вздовж кривої /> у заданому напрямі.
Якщо взяти іншийнапрям обходу кривої (змінити орієнтацію), то вектор /> змінить напрям на протилежний,тому скалярний добуток />, а, отже, і циркуляція(криволінійний інтеграл (10)) змінить знак.
Якщо /> – силовевекторне поле, тобто /> – вектор сили, то циркуляція /> визначаєроботу силового векторного поля вздовж кривої /> в заданому напрямі.
Якщо впрямокутній системі координат /> />, а />, то вираз (10) для циркуляціївекторного поля /> можна записати в вигляді
/>.              (11)
Кожний доданок управій частині (11) залежить від вибору системи координат, проте їхня сума,тобто циркуляція />, очевидно, не залежить від виборусистеми координат.
Якщо ввестивектор />,то циркуляцію можна записати у вигляді /> (порівняйте з правою частиноюрівності (11)).
 
7. ФормулаСтокса у векторній формі
Нехай в області /> визначеновекторне поле />; /> – замкнений контур, який лежить вобласті />; /> – довільнаповерхня, межею якої є контур />; /> («поверхня /> натягнута на контур />»); /> – одиничнийвектор нормалі на обраній стороні поверхні />.
Нехай функції /> та їхнічастинні похідні першого порядку неперервні на поверхні />. Тоді справедливаформула Стокса
/>,
де орієнтаціяконтуру /> узгодженаз орієнтацією поверхні />. Ліва частина формули Стокса єциркуляцією векторного поля /> вздовж контура />, а права частина визначаєпотік через поверхню /> векторного поля з координатами />, тобто потік /> через поверхню/>. Томуформулу Стокса можна записати у векторній формі:
/>                                    (12)
або
/>.                                     (13)
Фізичний змістформули Стокса: циркуляція векторного поля /> вздовж замкненого контурудорівнює потоку ротора векторного поля /> через поверхню, натягнуту на цейконтур.

8. Властивостіпотенціального поля
Як відомо,векторне поле />, яке задовольняє в області /> умову />, називаєтьсяпотенціальним у цій області (/>– скалярний потенціал поля />). Якщо поле /> потенціальнев області />,то /> івираз /> єповним диференціалом функції /> в області />. Це означає, щовиконана умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування впросторі.
Таким чином,потенціальне в області /> поле має такі властивості.
1. Циркуляціяпотенціального поля /> вздовж довільного замкненогоконтуру /> дорівнюєнулю:
/>.
2. Для довільнихточок /> і /> області /> циркуляціяпотенціального поля /> вздовж кривої /> не залежить від виборукривої /> ідорівнює різниці значень потенціала /> в точках /> і />:
/>.
У випадкусилового потенціального поля ця властивість означає, що робота такого полявздовж кривої /> не залежить від вибору кривої, азалежить тільки від початкової і кінцевої точок /> і />.
3. Потенціальнеполе /> єбезвихровим, тобто />.
Нехай тепер дановекторне поле />, яке задовольняє в області /> умову />. Чи випливаєзвідси, що поле /> є потенціальним в області />? Відповідь наце запитання залежить від форми області />. Якщо область /> є поверхневооднозв’язною, то із умови /> випливає, що існує функція /> така, що
/>.
Отже, />, тобто поле /> єпотенціальним в області />.
Таким чином,умова /> єнеобхідною і достатньою умовою потенціальності поля /> у поверхнево однозв’язнійобласті.
Потенціал /> потенціальногополя /> уповерхнево однозв’язній області можна обчислити за формулою:
/>
/>.              (14)
Якщо область /> не єповерхнево однозв’язною, то умова /> не є достатньою дляпотенціальності поля /> в області />.

9. Інваріантнеозначення ротора
Нехай в області /> визначеновекторне поле />. Зафіксуємо точку /> і деяку площину, якапроходить через цю точку. Нехай /> – одиничний вектор нормалі доплощини, /> –замкнений контур, який лежить в площині і обмежує область /> таку, що /> – внутрішня точкаобласті />.Запишемо формулу (12) для векторного поля /> в області />. Застосовуючи до правоїчастини цієї формули теорему про середнє, отримуємо
/>,
диференціальневекторне поле формула соленоїдальне
звідки
/>,
де /> – площа області />, /> – деяка точкаобласті />.
Стягуватимемообласть /> доточки /> так,щоб /> залишаласявнутрішньою точкою області />. Тоді />, а /> прямуватимемо до />. Внаслідокнеперервності /> значення /> прямуватимемо до />. Таким чином, отримуємо
/>.

У праву частинуформули входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат(циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура і площа плоскої області).Тому дана формула дає інваріантне означення проекції /> в точці /> на напрям, який виражаєтьсязаданим вектором />.
Отже, проекціяротора векторного поля на довільний напрям, а отже, і сам /> залежить тільки відвекторного поля /> і не залежить від вибору системикоординат.
Для означеннявектора /> вищезазначенимспособом достатньо розглянути в заданій точці /> проекції /> на три довільних некомпланарнихнапрями. Такими трьома проекціями /> визначається однозначно.
Размещено на www.


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат People Do Not Accept Reality Essay Research
Реферат Alligator Essay Research Paper The American Crocodile
Реферат Аннотированный план. Июнь 2010 Бестселлеры июня Книги этого раздела сопровождаются рекламными материалами, а также продвижением в сми и в местах продаж. Серия «Имена». Дополнительный тираж
Реферат Драма «горячего сердца» в пьесе А.Н. Островского «Бесприданница»
Реферат А судьи кто Чацкий глазами Фамусова, Софьи и других героев комедии А. С. Грибоедова Горе от ума.
Реферат Прокатное производство. План и транспорт прокатных цехов
Реферат Система организации расчетов
Реферат Формування здорового способу життя в режимі дня школяра
Реферат What Is History Essay Research Paper What
Реферат Определение товарного качества квашеных образцов овощей
Реферат System Fits Essay Research Paper IntroductionThis paper
Реферат Крестовниковы
Реферат Двойственность мировоззрения Ф.М.Достоевского
Реферат Campaign Strategy Essay Research Paper Important Elements
Реферат Основы организации учёта производственных запасов