МІНІСТЕРСТВО ФІНАНСІВ УКРАЇНИ
БУКОВИНСЬКА ДЕРЖАВНАФІНАНСОВА АКАДЕМІЯ
Кафедра ВМКТІС
ІНДИВІДУАЛЬНЕНАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНЕ ЗАВДАННЯ
З ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА ДЛЯЕКОНОМІСТІВ»
на тему: «ІНТЕГРАЛЬНЕЧИСЛЕННЯ»
Виконав:
Студент І курсу
Групи ФК-15
фінансово-економічного
факультету
Воронюк В.М.
Науковий керівник:
Головач В.М.
Чернівці-2008
ЗМІСТ
Інтеграли, що «не беруться»
Наближені методи обчисленнявизначених інтегралів
Невласні інтеграли. Ознаки збіжностіневласних інтегралів
Ефективність реклами логістична крива
Список використаної літератури
1.Інтеграли, що«не беруться»
Яквидно було з диференціального числення, похідна від довільної елементарноїфункції є також функцією елементарною. Інакше кажучи, операція диференціюванняне виводить нас із класу елементарних функцій. Цього не можна сказати проінтегрування — операцію, обернену до диференціювання. Інтегрування елементарноїфункції не завжди знову приводить до елементарної функції. Подібнеспостерігається й для інших взаємно обернених операцій: сума довільнихнатуральних чисел є завжди число Натуральне, а різниця — ні; добуток двох цілихчисел завжди є цілим числом, а частка — ні i т. п. Строго доведено, що існуютьелементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Про такіінтеграли кажуть, що вони не обчислюються в скiнченному вигляді або не6еруться.
Наприклад,доведено, що «не беруться» такі інтеграли:
/> інтеграл Пуассона;
/> інтеграли Френгеля;
/> інтегральний логарифм;
/> інтегральний косинус;
/> інтегральний синус;
/> еліптичний інтеграл;
/> (α=0,1,2…) та ряд інших інтегралів.
/>/>/>/>/>/>Вказані інтеграли хоча йіснують, але не є елементарними функціями. В подібних випадках первісна являєсобою деяку нову, неелементарну функцію, тобто функцію, яка не виражаєтьсячерез скiнченне число арифметичних операцій i суперпозицій над основнимиелементарними функціями. Неелементарні (або так звані спецiальнi) функціїрозширюють множину елементарних функцій.
Зрозуміло, щоінтеграл, який не обчислювався в класі елементарних функцій, може виявитисьтаким, що обчислюється в розширеному класі функцій.
Таким чином,інтегрування в порiвняннi з диференціюванням — операція набагато складніша.Тому треба твердо володіти основними методами інтегрування i чітко знати видифункцій, інтеграли від яких цими методами знаходяться. Крім того, виявляється,що треба розрізняти також інтеграли, які «не беруться». Тому в iнженернiйпрактиці широко користуються довідниками, в яких мстяться докладні таблиціiнтегралiв, що виражаються через елементарні i неелементарні функції.
2.Наближеніметоди обчислення визначених інтегралів
Нехай требаобчислити визначений інтеграл />, де f(х) — неперервна на вiдрiзку [a; b] функція. Якщо можна знайти первісну F (х) від функції f (х), то цей інтеграл обчислюється заформулою Ньютона — Лейбнiца: I = F (b) — F (a). Якщо ж первісна не є елементарноюфункцією, або функція f (х) задана графіком чи таблицею, то формулою Ньютона — Лейбнiцаскористатись вже не можна. Тоді визначений інтеграл обчислюють наближено.Наближено обчислюють визначений інтеграл i тоді, коли первісна функція F (х) хоч i є елементарною, але точніїї значення F (а) і F (b) дістати не просто.
Наближені методиобчислення визначеного інтеграла здебільшого ґрунтуються на геометричномузмiстi визначеного інтеграла: якщо f(х)/>0, то інтеграл I дорівнює площі криволiнiйноїтрапеції, обмеженої кривою y = f (х) i прямими х = a, х = b, у = 0.
Ідея наближеногообчислення інтеграла полягає в тому, що задана крива y = f(х) замінюється новою лiнiєю, «близькою»до заданої. Тоді шукана площа наближено дорівнює площі фігури, обмеженої зверхуцією лiнiєю.
1. Формулипрямокутників. Нехай треба обчислити визначений інтеграл /> від неперервної на вiдрiзку [а;b] функції f(х).
Поділимо вiдрiзок[а; b] на n рівних частин точками
/>= a + />
/>
рис. 2.1 рис. 2.2
і знайдемо значенняфункції f (х) в цих точках:
f(/>.
Замінимо заданукриволiнiйну трапецію (рис. 2.1) ступінчатою фігурою, що складається з n прямокутників. Основи цих прямокутниківоднакові i дорівнюють />, а висоти збігаютьсяіз значеннями/> в початковихточках частинних iнтервалiв. Площа ступінчатої фігури i буде наближеним значеннямвизначеного інтеграла:
/>(1)
Якщо висоти прямокутниківє значення /> в кінцевих точках частиннихiнтервалiв (рис. 2.2), то
/> (2)
Можна довести, щопохибка наближеної формули зменшиться, якщо висотами прямокутників взятизначення функції в точках /> (серединивідрізків />, (рис. 2.3); тоді
/> (3)
Формули (1)-(3)називаються формулами прямокутників.
2. Формула трапецій.Замінимо криву f(х) неступінчатою лiнiєю, як у попередньому випадку, а ламаною (рис. 2.3), сполучившисусiднi точки (/>). Тодіплоща криволiнiйної трапеції наближено дорівнюватиме сумі площ прямокутних трапецій,обмежених вверху вiдрiзками цієї ламаної.
/>
рис. 2.3 рис. 2.4
Площа k-ї трапеції дорівнює /> , де />і /> —
основи трапеції,а /> — />= /> - її висота. Тому
/> (4)
Формула (4)називається формулою трапецій.
3. ФормулаСiмпсона. Під час виведення формули трапеції криву, яка є графіком функційу = f(х), замінювали ламаною лiнiєю.Щоб дістати точніший результат, замінимо цю криву іншою кривою, наприкладпараболою.
Покажемоспочатку, що через три рiзнi точки />, якіне лежать на одній прямій, можна провести лише одну параболу />.
Справді, підставляючив рівняння параболи координати заданих точок, дістанемо систему рівнянь:
/> (5)
визначник якої
/>,
оскільки числа /> за умовою рiзнi. Отже, цясистема має єдиний розв’язок, тобто коефiцiєнти a, b i c параболи визначаються однозначно.
Зокрема,розв’язуючи систему (5) для точок А (-h; />), В (0; />),С (h; />), дістанемо
/>
/>
рис. 2.5 рис. 2.6
Знайдемо площу S криволiнiйної трапеції, обмеженоїпараболою, яка проходить через точки А, В, С, і прямими х = -h, х = h, y =0 (рис. 2.5):
/>
Розглянемо теперкриволiнiйну трапецію />, обмежену кривоюу = f(х) (рис. 2.6). Якщо черезточки /> цієї кривої провестипараболу />, то за формулою (6)
/> (7)
Однак, якщовiдрiзок [a;b] досить значний, то формула (7)матиме велику похибку. Щоб збільшити точність, розіб’ємо вiдрiзок [a;b] на парне число 2n однакових частин, а криволiнiйнутрапецію — на n частинних криволiнiйнихтрапецій. Застосовуючи до кожної з цих трапецій формулу (7), дістанемо
/>
Додамо почленноці наближені рiвностi:
/>
Ця формуланазивається формулою парабол або формулою Сiмпсона. Формули (1), (2), (3), (4)i (8) називаються квадратурними.
Різницю між лівоюi правою частиною квадратурної формули називають її залишковим членом iпозначають через />. Абсолютна похибка />квадратурної формули,очевидно, залежить від числа n — кiлькостi частинних вiдрiзкiв, на які розбивається вiдрiзокінтегрування [а;b]. Наведемо формули, якідозволяють, по-перше, оцінювати абсолютні похибки квадратурних формул, якщозадано n, і, по-друге, визначати число n так, щоб обчислити заданий інтегралз наперед заданою точністю.
Якщо функція f (х) має на вiдрiзку [а; b] неперервну похідну /> i />, то абсолютна похибканаближених рівностей (1) — (4) оцінюється формулою
/>(9)
Для функцій f(x), які мають другу неперервну похідну і />,виконується нерівність
/> (10)
яка справедливадля формул прямокутників і трапецій.
Абсолютна похибкав наближеній рівності (8) оцінюється формулою
/> (11)
Якщо функція f(x) має на відрізку [a;b] четверту неперервну похідну і />то дляформули Сiмпсона справедлива оцінка:
/> (12)
Приклад:
1. Обчислитиінтеграл />.
Це інтеграл відбіноміального диференціала, який в елементарних функціях не обчислюється.Обчислимо його наближено. Розіб’ємо відрізок [0;1] на 10 рівних частин точками />.
Знайдемо значенняфункції /> в цих точках:
/>
За формулоюпрямокутників маємо
/>
Оскільки /> то залишковий член формулипрямокутників
/>
Отже, І=1,06990/>0,03536.
За формулоютрапецій (4) дістанемо
/>
Оскільки />, то залишковий членформули трапецій
/>
Отже, І=1,09061/>0,00236.
За формулоюСiмпсона (2n=10)
/>
Оскільки />то залишковий член формулиСiмпсона
/>
Таким чином, І=1,08949/>0,000012, тобто формулаСiмпсона значно точніша формули прямокутників і трапецій.
Невласніінтеграли. Ознаки збіжності невласних інтегралів
Раніше буловведено визначений інтеграл як границю інтегральних сум, передбачаючи прицьому, що вiдрiзок інтегрування скiнченний, а пiдiнтегральна функція на цьомувiдрiзку обмежена. Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то наведене вищеозначення визначеного інтеграла стає неприйнятним: у випадку нескінченногопроміжку інтегрування його не можна розбити на п частинних вiдрiзкiвскiнченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сума явно немає скiнченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла на цівипадки, приходимо до невласного інтеграла — інтеграла від функції нанеобмеженому проміжку або від необмеженої функції.
1. Невласніінтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першогороду).
Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a;/>) і інтегрована на будь-якому відрізку [a; b], де />.Тоді, якщо існує скінченна границя
/> (13),
її називаютьневласним інтегралом першого роду і позначають так:
/> (14)
Таким чином, заозначенням
/> (15)
У цьому випадкуінтеграл (14) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) – інтегрованою на проміжку (а;+/>).
Якщо ж границя(13) не існує або нескінченна, то інтеграл (14) називають також невласним алерозбіжним, а функція f(x) – неінтегровною на [a;/>).
Аналогічноінтегралу (15) означається невласний інтеграл на проміжку [/>; b):
/> (16)
Невласнийінтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю
/> (17)
де с –довільне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (17) існує або є збіжним лишетоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл,визначений формулою (17), не залежить від вибору числа с.
З наведенихозначень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а єграницею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.
Зауважимо, щоколи функція f(x) неперервна і невід’ємна на проміжку[a;/>) і коли інтеграл (16)збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис.3.1)
/>
рис. 3.1
Приклад:
Обчислитиневласний інтеграл або встановити його розбіжність
/>
а) За формулою(15) маємо
/>
Отже інтеграл а)збігається.
б) />
Оскільки цяграниця не існує, то інтеграл б) розбіжний.
У розглянутихприкладах обчислення невласного інтеграла ґрунтувалося на його означенні. Протеу деяких випадках немає необхiдностi обчислювати інтеграл, а достатньо знати,збіжний він чи ні.
Теорема 1. Якщона проміжку />функції f(x) і g(x)неперервні і задовольняютьумову />, то із збіжності інтеграла
/> (18)
випливаєзбіжність інтеграла
/>, (19)
а ізрозбіжності інтеграла (19) випливає розбіжність інтеграла (18).
Наведена теоремамає простий геометричний зміст (рис. 3.2); якщо площа більшої за розміраминеобмеженої області є скiнченне число, то площа меншої області є такожскiнченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, топлоща більшої області є також нескінченно велика величина.
/>
рис. 3.2
Приклад:
Дослідити назбіжність інтеграл />
оскільки />:
/>
і інтеграл /> збігається, то за теоремою1 заданий інтеграл також збігається.
Теорема 2. Якщоіснує границя />то інтеграли (18)і (19) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.
Ця ознака iнодiвиявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерiвностi />.
Приклад:
Дослідити назбіжність інтеграл
/>
оскільки інтеграл
/> збігається і />,
то заданийінтеграл також збігається.
В теоремах 1 і 2розглядались невласні інтеграли від невід’ємних функцій. У випадку, колипiдiнтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.
Теорема 3. Якщоінтеграл/> збігається, то збігаєтьсяй інтеграл />.
Приклад:
Дослідити назбіжність інтеграл />:
тутпідінтегральна функція знакозмінна; оскільки
/>,
то заданийінтеграл збігається.
Слід зауважити,що із збіжності інтеграла /> невипливає, взагалі кажучи збіжність інтеграла />.Ця обставина виправдовує такі означення.
Якщо разом зінтегралом /> збігається й інтеграл />, то інтеграл /> називають абсолютнозбіжним, а функцію /> - абсолютноінтегровною на проміжку />.
Якщо інтеграл /> збігається, а інтеграл /> розбігається, то інтеграл /> називають умовно (абонеабсолютно) збіжним.
Тепер теорему 3можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається.
Отже, длязнакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лишеабсолютну збiжнiсть інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, тозастосовують більш глибокі ознаки збiжностi.
2. Невласніінтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).
Нехай функція />визначена на проміжку />. Точку х=bназвемо особливою точкою функції />, якщо /> при /> (рис. 3.3)
/>
рис. 3.3
Нехай функція /> на відрізку /> при довільному />, такому, що />/> тоді існує скінченнаграниця
/>, (20)
її називаютьневласним інтегралом другого роду і позначають так:
/> (21)
Отже, заозначенням
/>=/> (22)
У цьому випадкукажуть, що інтеграл (21) існує або збігається. Якщо ж границя (20) нескінченнаабо не існує, то інтеграл (21) також називають невласним інтегралом, алерозбіжним.
Аналогічно якщо х=а — особлива точка (рис. 3.4), невласний інтеграл визначається так:
/>=/>
/>
рис. 3.4
Якщо /> необмежена в околіякої-небудь внутрішньої точки />, то заумови існування обох невласних інтегралів /> і/> за означенням покладають(рис. 3.5)
/>=/>+/>.
/>
рис. 3.5
Нарешті, якщо ата b — особливі точки, то заумови існування обох невласних iнтегралiв />і/> за означенням покладають
/>=/>+/>,
де с - довільнаточка інтервалу (a;b).
Приклад:
Обчислитиневласний інтеграл:
/>= />/>.
Отже інтегралзбіжний.
Сформулюємо теперознаки збiжностi для невласних iнтегралiв другого роду.
Теорема 4. Якщофункції /> і /> неперервні на проміжку[a;b), мають особливу точку х= bі задовольняють умову />, то із збіжності інтеграла/> випливає збіжністьінтеграла />, із розбіжності інтеграла /> випливає розбіжність />.
Приклад:
Дослідити назбіжність інтеграл />: заданийінтеграл збігається, бо /> ізбігається інтеграл />.
Теорема 5. Нехайфункції /> і /> на проміжку [a;b) неперервні, додатні і маютьособливість точці х= b, тоді якщо існує границя
/>,
то інтеграли /> і /> або одночасно збігаються,або одночасно розбігаються.
Приклад:
Дослідити назбіжність інтеграл />: функціїf(x)= /> та />=/> маютьособливість у точці х=0. Оскільки />=/>, і інтеграл /> розбігається, то заданийінтеграл також розбігається.
Теорема 6. Якщох=b– особлива точка функції /> і інтеграл /> збігається, то інтеграл /> також збігається.
Приклад:дослідити на збіжність інтеграл />.
Заданий інтегралзбігається, тому що /> і збігаєтьсяінтеграл />.
4.Ефективністьреклами. Логістичнакрива.
Розвиток багатьохпроцесів у економіці, в тому числі і на підприємствах, відображає логістичнакрива, яка характеризується часовою чи іншою залежністю параметрів об’єкта.Дану криву ще називають зигзагоподібною (S-подібною), оскільки вона нагадуєбукву S.