Анализобобщенных функций
Введение
Существуют многиефизические модели, которые в терминах обычных функций не могут быть описаны. Например,распределение зарядов вдоль прямой удобно задать плотностью этого распределения.Однако, если на прямой существуют точки, несущие заряды, то плотность такого распределенияне может быть описана «обычной» функцией. Другой пример связан с определениемпроизводной в точках разрыва функции, когда эта операция носит в выкладках промежуточныйхарактер.
Определение. Основноепространство Km состоит из действительных функций j (t), называемыми основными функциями,имеющими непрерывные производные до порядка m включительно, равными нулювместе со всеми производными вне конечного интервала. Пространство Km являетсялинейным.
Пример.Рассмотрим функцию
/>
графиккоторой приведен ниже
/>j
/>/>1
a (a+b)/2 b t
Эта функция принадлежитосновному пространству Ko, так как не существуют производные в точках t = a и t = b. Функция (график смотри ниже)
/>
принадлежитпространству Km.
/>j
/>/>/>1
/>
a (a+b)/2 b t
Если положитьm = ¥ для основного пространства Km, то полученное основное пространствообозначается К. Пусть
/>
тогда, как легкопроверить, j(t) Î K.
1.Обобщенныефункции
Определение. Обобщеннойфункцией f (t) (заданной на прямой (-¥
(f (t), j (t)), j (t) Î K (Km).Всякая интегрируемаяфункция f (t) порождает обобщенную функцию,так как скалярное произведение
/>
есть непрерывныйлинейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, остальные (которыене допускают такого представления) – сингулярными. Приведем пример сингулярной обобщеннойфункции. С этой целью рассмотрим последовательность функций
/>
Так как интегралПуассона
/> то /> (1)
При n®¥ функция dn(t) вытягивается до бесконечнойвысоты в точке t = 0, а вне ее становится равной нулю, сохраняя свойство (1). В обычномпонимании предел dn(t) при n®¥ не существует. Предел
lim dn(t) = d(t)
n®¥
можно рассматриватькак обобщенную функцию, то есть функцию, которая порождается скалярным произведением
/> (2)
где j (t) – основная функция. Скалярноепроизведение (2.) есть линейный непрерывный функционал на пространстве основныхфункций (j Î K). Функция d(t) называется дельта – функцией (обобщенная функция Дирака).
Определим произведениеобобщенной функции f на число l соотношением
(l f, j) = l (f, j) ( j Î K).
Сумма двух обобщенныхфункций f1, f2 определим следующим образом
(f1 + f2, j) = (f1, j) + (f2, j) ( j Î K).
Послеэтого множество обобщенных функций K' становится линейным пространством.
Определение. Двеобобщенные функции f (t),g (t) Î K' равны: f (t) = g (t), если для любой основнойфункции j(t)
(f, j) = (g, j) или (f – g, j) = 0.
Обобщенная функцияf (t) равна нулю: f = 0, если для любой основнойфункции j(t)
(f, j) = 0.
Примерыобобщенных функций.
1. Пусть j Î K. Определим обобщенную функциюf с помощью функционала
/>
Приведенная суммаконечна, так как основная функция j(t) равна нулю вне некоторогоконечного интервала.
2. Введенную ранеедельта-функцию d (t) определим следующим образом
(d (t), j(t)) = j(0).Исходяиз интегрального представления (2), имеем
/>
Если а(t) – непрерывная функция, то
(а(t) d(t), j(t)) = (d(t), а(t) j(t)) = a(o) j(o) ( j Î Ko).
Отметим, что функционалf, определенный на K соотношением
/>
не являетсяобобщенной функцией, так как, являясь непрерывным функционалом, он не линеен.
3. Обобщеннаяфункция Хевисайда
/>
для которой можнозаписать
/>
являетсярегулярной обобщенной функцией.
2.Действиянад обобщенными функциями
Введем в пространствеобобщенных функций K' операцию предельного перехода. Последовательность /> сходится к f, если для любого j Î K выполнено следующее соотношение
(fn, j)® (f, j)
n ®¥
Определим теперьдля обобщенных функций операцию дифференцирования и рассмотрим ее свойства. Производнаяf '(t) регулярной обобщенной функцииf (t) равна
/>
так как основнаяфункция обращается в нуль вне некоторого конечного интервала. Производная n – го порядка будет тогда определятьсяравенством
(f(n) (t), j(t) = (-1)n (f (t), j(n) (t)) (" n Î N, j Î K).
Это соотношениеопределяет производную n – го порядка обобщенных функций, включая и сингулярные функции.
Примеры:
1. Производнаяфункции Хевисайда равна
/>
2. Так как
/>
то
/>
Из определениядельта – функции следует
t d(t) = 0,
а значит
d(t)+ t d'(t) = 0,
2d'(t) + t d''(t) = 0,
---------------------
nd(n-1)(t) + t d(n)(t) = 0.Отсюдапоследовательным исключением получаем
tnd(n) (t) = (-1) n! d(t) n Î N.Методомматематической индукции можно показать, что
/>
Легко также показать,что если a(t) Î Cm, то
a(t)d(m) (t – to) = Coma (to) d(m) (t – to)- C1m a' (to) d(m-1) (t – to)–
- … – (-1)Cmm a(m) (to)d(t – to) .
Введем обобщенныефункции t + и t -:
/>
тогда
/>
Можно вычислитьпроизводные
(t+)' = q(t), (t-)' = -q(-t),
а также
n />
2.1 Сверткаобобщенных функций
Пусть f(t) и g(t) — интегрируемые на любомконечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением
/>
/>
если только интегралсуществует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двухинтегралов легко проверить, сделав замену z = x-t.
Если f(t), g(t) – регулярные обобщенныефункции и j(х) Î K, то можно записать
/>
/>
Произведение f(t) g(u) можно рассматривать какпрямое произведение f(t)х g(u), так что
/>
Это соотношениеопределяет свертку обощенных функций f(t), g(t) Î K', включая и сингулярные обобщенныефункции.
Сверткаобобщенных функций обладает следующими свойствами:
1) />
2) />
3) />/>
4) если /> то
/> (3)
Приведем доказательствопоследнего соотношения. Действительно, для j(х) Î K
/>
/>
или
/>
/> />
что и доказываетсоотношение (3).
Примеры:
1. />
2. />
3. ПреобразованиеФурье обобщенных функций
Пусть основноепространство K состоитиз бесконечно дифференцируемых комплексно-значных функций j(t) действительного переменногоt, равных нулю вне некоторогоконечного интервала. Преобразование Фурье функции j(t) определяется соотношением
/>
Если рассматриватьs как комплексную переменнуюs = u + iv, то
/>
и y(t) – бесконечно дифференцируемаяфункция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получаем
/>
В общемслучае можно записать
/>
Далее, если /> - дифференциальный полиномс постоянныим коэффициентами /> то
/>
Определение. ПреобразованиеФурье обобщенной функции f(t) называется обобщенная функция F[f(t)] = F(s), определяемая соотношением
(F[f(t)], F[j(t)]) = 2p(f(t), j(t)),
котороедля регулярных функций называется равенством Парсеваля.
Свойства преобразованияФурье
1) />
2) />
3) F-1[F[f(t)]] = f(t), где F-1 – оператор, обратный F, удовлетворяющий соотношению/>
4)F[F[f(t)]] = 2pf(-t);
5) />
Приведем преобразованиеФурье от некоторых обобщенных функций.
F[1(t)]= 2pd(u),
/>
F[d(t-a)] = e-iua,
/>
/>
4. ПреобразованиеЛапласа обобщенных функций
Определение. Комплекснозначнаяфункция f(t) действительного переменногоt называется оригиналом, если
1) f(t) = 0 для t
2) f(t) – кусочно дифференцируема;
3) />
Тогда функция/> называется преобразованиемЛапласа функции f(t).Функция L(p) бесконечно дифференцируемав полуплоскости Re p > a и для нее справедливо соотношение
/>
Если />то
/>
где f(+0) – скачок функции f(t) в начале координат. Обратноепреобразование Лапласа L-1 равно
/>
Приведемпреобразование Лапласа некоторых функций:
/>
/>
/>
/>
Определение. ПреобразованиеЛапласа обобщенной функции f(t) определяется соотношением
/>
Свойства.
1) />
2) />
3) />
Здесь производные нужно рассматривать как производные обобщенныхфункций.
Заметим, что
/>
/>
/>
/>
/>
4) />
тогда
/>
5) Найдем преобразованиеЛапласа свертки обобщенных функций f(t) и g(t):
/>
/>
Cледовательно
/>
Так как /> то
/>
Аналогично можнонаписать
/>
/>
Приведем преобразованиеЛапласа часто используемых обобщенных функций:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
где Io — функция Бесселя нулевогопорядка.
5.Дифференциальныеуравнения в обобщенных функциях
Рассмотрим уравнение
/>
Если f(t) – обычная функция, то егорешением является первообразная, то есть
/>
Пусть теперь f(t) – обобщенная функция.
Определение. Обобщеннаяфункция g(t) называется первообразнойобобщенной функцией f(t),если
(g'(t), j(t)) = (f (t), j(t)).
Если f(t) – сингулярная обобщеннаяфункция, то возможны случаи, когда ее первообразная – регулярная обобщенная функция.Например, первообразная d(t) является y(t) = q(t); первообразная q(t) является функция y(t) = t+, а решение уравнения
y''(t) = d(t)
можно записатьв виде
t(t)= t+ + C1t + C2 (C1, C2 =const).
Рассмотрим линейноеуравнение n-гопорядка с постоянными коэффициентами
/> (4)
где f(t) – обобщенная функция. Обозначим
/>
дифференциальныйполином n-гопорядка.
Определение. Обобщеннымрешением дифференциального уравнения (4) называется обобщенная функция y(t), для которой выполняетсясоотношение
/>
Если f(t) – непрерывная функция, тогдаединственным решением уравнения (4.) является классическое решение.
Определение. Фундаментальнымрешением уравнения (4) называется любая обобщенная функция e(t) такая, что
/>
Функция Грина– фундаментальное решение, удовлетворяющее данному граничному, начальному или асимптотическомуусловию.
Теорема. Решениеуравнения (4) существует и имеет вид
/> (5)
если только свертка определена.
Доказательство.Действительно,
/>
По свойству сверткиимеем
/>
В качестве примерарассмотрим уравнение
/> (6)
Нетрудно видеть, что фундаментальным решением этого уравненияявляется
/>
так как
/>
и
/>
Поэтому
/>
6. Пространствообобщенных функций />
Совокупность обобщенныхфункций, порождаемых основным пространством K, образует пространство K'. Рассмотрим подпространствообобщенных функций /> пространства K, состоящее их обобщенныхфункций, равных нулю вне некоторого конечного интервала принадлежащего [0, ¥]. Введем в этом пространствеоперацию умножения двух функций в виде свертки этих функций. Если f(t), g(t) Î /> то и /> Крометого свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицыв /> играет функция d(t), так как для />
/>
Пусть существует/> такая что
/>
тогда f-1(t) называется обратной обобщеннойфункцией f(t).
Пространство /> с введенной операцией умноженияобразует алгебру (коммутативную) со сверткой.
Рассмотрим алгебрусо сверткой /> . Обобщенная функция /> так как она равна нулю всюду,кроме точки ноль. Обобщенная функция />сосредоточенавначале координат, поэтому /> Далее,
/>
поэтому
/>
Теорема. Пустьдля /> существуют обратные функцииf — 1(t) и g-1(t). Тогда свертка /> имеет обратную функцию вида
/>
Действительно,
/>
Рассмотрим следующееопределенное в /> уравнение в свертках
/>
Свертка существуетдля любой обобщенной функции /> так как
/>
Следовательно,y(t) является фундаментальнымрешением уравнения (4). В частности, фундаментальное решение уравнения (6) с оператором/> принадлежит алгебре со сверткой/> Следовательно,
/>
Рассмотримоперационный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение
/>
где a(t) и b(t) Î/> Среди эффективных методов решения этого уравненияприведем метод преобразования Лапласа. Применив преобразование Лапласа к левой иправой части этого уравнения, имеем
/>
Отсюда следует
/>
Если для функцииL(p) существует оригинал, принадлежащий/> то он и является искомым решением.
В качестве примерарассмотрим уравнение
/>
Применив к немупреобразование Лапласа, получим (р2-w2) L[y(t)] = 1.
Следовательно,
/>
Откуданаходим решение
/>
7.Задача КошиРассмотрим линейное неоднородное уравнение
/> (7)
Задачей Коши дляэтого уравнения называется задача, заключающаяся в определении функции /> удовлетворяющей этому уравнениюи начальным условиям в точке t = to:
yo= y(to), y'o = y'(to),..., yo(n-1)= y(n-1)(to).
Задача Коши имеетединственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальнымусловиям.
/> (8)
t®+0
Запишем уравнение(8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевымзначением для t
/>
и соответствующиеобобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительнов точке t =0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок yo, тогда
/>
где y'(t) – производная в обычномсмысле.
Если у функцииеще и скачок производной равный y'o, то
/>
Производную порядкаp (p £ n-1) обобщенной функции /> можно записать в виде
/>
Введем обозначение
/>
Где
/>
Таким образом,дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение
/> (9)
Преимуществоэтого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировкезадачи участвуют обобщенные функции.
Уравнение в свертках,соответствующее уравнению (9), имеет вид
/>
Если e(t) – его фундаментальное решение,то с учетом последней формулы можно записать
/> (10)
С помощьювариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде
e(t)= q(t)yn(t) ,
где yn(t) — решение однородного уравнения
/>
с начальными условиями
/>
Тогда решениеуравнения (10) принимает вид
/>
Таким образом,решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид
/>
где предполагается,что f(t) – локально интегрируемаяфункция.
Пример. Рассмотримуравнение
y''(t) = 0, t ³ 0
с начальными условиями
lim y(t) = yo, lim y'(t) = y'o
t®+0t®+0
В этом уравненииа1 = а2 = 0 и b1 = yo, b2 = y'o, а функция y2(t) = t является решением однородногоуравнения, удовлетворяющая условиям
y2(0) = 0, y'(0) = 1.
Поэтому
y(t) = yo + y'o t, t ³ 0.
Можнотакже написать
/>