Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Московской области
Международный Университет природы
общества и человека «Дубна»
Филиал «Котельники»
Кафедра естественных и гуманитарных наук.
Курсова робота
"Исследование прочности на разрыв полосок ситца"
по дисциплине:
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Выполнила студентка
Второго курса 262 ЭТ группы
Проверила:
___________
2006 г.
Содержание
Введение
Целькурсовой работы
Постановказадачи
Исходныеданные
Распределениеслучайной величины на основе опытных данных
Построениеэмпирической функции распределения
Статистическиеоценки параметров распределения
Нормальный закон распределения случайной величины
Проверкагипотезы о нормальном распределении изучаемой величины
Вывод
Литература
Введение
Математическая статистика — наука которая занимаетсяразработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных с цельюизучения закономерностей массовых случайных явлений.
Математическая статистика опирается на методы и понятиятеории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализастатистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.
Задачи математической статистики:
нахождение функции распределения по опытным данным.
из теоретических соображений функция распределенияоказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестныепараметры определяются по опытным данным.
Статистическая проверка гипотез:
в общем виде известна функция распределения, определяют еёнеизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные собщим видом функции распределения.
Цель курсовой работы
Целью курсовой работы является закрепление теоретическихзнаний и приобретения навыков обработки статистической информации.Постановка задачи
В данной курсовой работе были поставлены следующие задачидля обработки статистических данных:
построение полигона частот и относительных частот
построение гистограммы частот и относительных частот
построение эмпирической функции распределения.
нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и
нахождение среднего выборочного квадратичного отклонения.
5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемойслучайной величины.Исходные данные
Вариант 14. Прочность на разрыв полосок ситца (в дан):
32313432312932343331313432313532
34333130303232343131353234333231
34323129323433313134323135323433
31303432312932343331303232313632
34333130323331283234333130323330
35323433323031333033323433313032
33303132343331303233303132333331
30323330313233303433313032333031
3233
Распределение случайной величины на основе опытныхданных
Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистическогоряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строкерезультаты наблюдений.
Если результаты наблюдений расположить в возрастающемпорядке, то получим вариационный ряд.
Результат измерения называется — варианта.
Число появления каждой варианты называется частотой.
Отношение частоты к объему выборки называется относительнойчастотой.
xi — варианта(значение, полученное в процессе измерения)
ni — частота (сколько разпоявилась каждая варианта)
Р*i — отношение частоты объёму выборки
xi 28 29 30 31 32 33 34 35 36
ni 1 3 18 29 32 24 18 4 1
ni
/>Pi* n
1
/>130
3
/>130
18
/>130
29
/>130
32
/>130
24
/>130
18
/>130
4
/>130
1
/>130
Существует вместо статистического ряда так называемаястатистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признакаразбиваются на группы равной длины.
xi (27; 29] (29; 31] (31; 33] (33; 35] (35; 37]
ni 4 47 56 22 1
Pi* 4/130 47/130 56/130 22/130 1/130
Размах колебания: хmin=28
хmax=36
R= 36-28=8
Статистическое распределение можно изобразить графически:
Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот ив виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.
Полигоном частот называется ломаная линия,соединяющая точки с абcциcсой (Ох)- варианта и ординатой (Оу) — частота.
Cтроим полигон частот.
/>
Полигоном относительных частот называется ломанаялиния, соединяющая точки с абсциссой (Ох) — варианта и ординатой (Оу)- относительная частота.
Строим полигон относительных частот.
Полигон относительных частот
/>
Гистограммой частот называется фигура, состоящая изпрямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численноравной частоте.
Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:
xi (27; 29] (29; 31] (31; 33] (33; 35] (35; 37]
ni 4 47 56 22 1
/>hi = ni
Δx 4/2 47/2 56/2 22/2 ½
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> /> Δx=2 hi 56⁄ 2 47⁄ 2 22⁄ 2 4/2 1/2 27 29 31 33 35 37 xi
Гистограммой относительных частот называется фигура,состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадьючисленно равной относительной частоте.
Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:
xi (27; 29] (29; 31] (31; 33] (33; 35] (35; 37]
Р*i 4/130 47/130 56/130 22/130 1/130
/>hi = P*i
Δx 4/260 47/260 56/260 22/260 1/260
Δx=2
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> h*i 56∕ 260 47⁄ 260 22⁄ 260 4∕ 260 1 ∕ 260 27 29 31 33 35 37 xi Построение эмпирической функции распределения
Статистическая функция распределения (эмпирическая) — это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессеизменения примет значение меньше некоторого фиксированного х
F*(х) = Р* = P* (X
Статистическая функция распределения (эмпирическая) являетсяразрывной функцией, точки разрыва совпадают с наблюдаемыми значениями случайнойвеличины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемогозначения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1.
9
Σ Pi* = 1
i=1
1) ∞
F* (x) =P* (X
2) 28
F* (x) =P* (X
3) 29
F* (x) =P* (X=28) + P*(X=29) =1/130+3/130=4/130
4) 30
F* (x) =P* (X
5) 31
F* (x) =P* (X
6) 32
F* (x) =P* (X
P* (X=32) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130
7) 33
F* (x) =P* (X
+P* (X=32) +P* (X=33)
=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130
8) 34
F* (x) =P* (X
+P* (X=32) +P* (X=33)P* (X=34) =
=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130
9) 35
F* (x) =P* (X
+P* (X=32) +P* (X=33)P* (X=34) + P* (X=35)
=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130
10) x>36
F* (x) =1
/> 0, -∞
1/130, -∞
4/130, 29
22/130, 30
F*(x) 51/130, 31
83/130, 32
107/130, 33
125/130, 34
129/130, 35
1, х>36
Статистическая функция распределения является разрывнойфункцией и её графиком является ступенчатая линия.
Построим систему координат:
на оси Ох=хi
на оси Оу=F* (x)
/> />
F* 1 129/130 125/130 107/130 83/130 51/130 22/130 4/130 1/130 xi 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Статистические оценки параметров распределения
Одной из задач статистики является оценка параметровраспределения случайной величины Х по данным выборки.
Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числанаблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать напрактике она должна удовлетворять следующим условиям:
1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическоеожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие невыполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра;
2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемогопараметра;
3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемогопараметра;
Из всех различных оценок выбираем ту которая имеетнаименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия являетсяминимальной из всех получившихся дисперсий.
Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка оцениваемогопараметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной иэффективной.
Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х.
Генеральной средней совокупностью называют среднее /> />
арифметическое наблюдаемых значений./> />
/>Если же значение признака х1, х2,…….хк имеют соответственно частоты N1,N2……. Nk, тосредняя генеральная вычисляется по формуле:/> />
Пусть для изучения генеральной совокупности относительнонекоторого количественного признака Х произведена выборка объема n./> />
Выборочной средней называют среднее арифметическое наблюдаемых значенийв данной выборке./> /> /> /> /> />
Если же значение признака х1, х2,…. хk имеет соответственно частоты /> />
n1,n2,…. nk, то выборочная средняя определяется по формуле:/> />
xi 28 29 30 32 32 33 34 35 36
ni 1 3 18 29 32 24 18 4 1
28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1
/>хв =
130
/>= 4158 = 31,98
130
Выборочной дисперсией называется среднееарифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней.Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:/> />
/>Если же значение признака х1, х2….xk имеет соответственно частоты n1,n2…. nk, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:/> />
(28-31,98) 2×1+ (29-31,98) 2×3+(30-31,98) 2×18+ (31-31,98) 2×29+
Dв= + (32-31,98) 2×32+ (33-31,98)2×24+ (34-31,98) 2×18+ (35-31,98) 2×
×4+ (36-31,98) 2×1 =
/>130
/>= 291,972 = 2,24
130
Среднее выборочное квадратичное отклонение — этовеличина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии./> />
__
σв = √ 2,24 = 1,5
Нормальный закон распределения случайной величины
/>
Говорят, что случайная величина распределена по нормальномузакону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:/> />
/>Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемойвеличины
Гипотезу Н0выдвигаем в качестве основной — пустьнаш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельногипотезе Н0выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемыйпризнак распределен не по нормальному закону.
Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределенияпроизводится с помощью специально подобранной величины называемой критериемсогласия.
Для исследования воспользуемся критерием χ2Пирсона.
Вычисляем χ2 для наблюдаемых значений.Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:
/>
_
хв =31,98
_
Dв=2,24
_
σв=1,5
Таблица отдельный файл
k (ni-ni*)2
/>χ2 набл.=Σ
i=1 ni
χ2 набл=13,8725515
Далее находим χ2 с помощью таблицы критическихточек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числустепеней свободы.
К=S-3
5-3=2
χ2крит. =6,0
χ2 набл=13,8725515 > χ2крит=6,0
Гипотеза не принимается.
Вывод
В данной работе был изучен статистический материал поисследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны иполучены соответствующие результаты.
Цель курсовой работы реализована через решение поставленныхзадач.
Наглядно представление о поведении случайной величиныпоказано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммычастот и гистограммы относительных частот.
Была составлена и построена эмпирическая функцияраспределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.
0ценили параметры распределения:
выборочную среднюю
выборочную дисперсию
выборочное среднее квадратичное отклонение.
После обработки имеющихся статистических данных быловыдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. Припроверке этой гипотезы оказалось, что случайная величина нераспределена понормальному закону.
Литература
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. — М.: Наука, 1988.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.
3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие. — М.: Изд-воун-та Дружбы народов, 1994.
4. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие. — М.:Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.
5. Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев,И.М. Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г. Шершнев. Общий курс высшей математики дляэкономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. — М.: ИНФАРМА-М, 2005. — 656с. — (Высшее образование).