Министерство образования и науки Украины
Днепропетровский Национальный Университет
Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем
Кафедра АСОИ
Расчётная задача №1
" Исследованиеопераций математической модели"
Выполнил:
Ст. группы РС-05
Куликов Евгений
Проверил:
Доцент кафедры АСОИ
Саликов В.А.
г. Днепропетровск
2007г.
Задача
Получениеграфического решения оптимального решения математической модели заданной задачии исследование модели на чувствительность.
Предприятиеэлектронной промышленности выпускает 2 модели радиоприёмников, причём каждаямодель производится на отдельной технологической линии.
Суточныйобъем производства первой линии – 60 изделий; второй линии – 75 изделий.
Нарадиоприёмник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронныхсхем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов.
Максимальныйсуточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыли от реализацииодного радиоприемника первой и второй моделей равны 30 и 20 у. е.соответственно.
Определитьоптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей. Исследовать модельна чувствительность.
Решение
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ
Статистическоеопределение: Переменная величина у считается линейной (или линейной функцией) взависимости от переменных.
Мнениео том, считается ли функция линейной или нет, может меняться в зависимости оттого контекста, в котором она применяется.
МОДЕЛЬ
1)совокупность логических, математических или иных соотношений, отображающих снеобходимым или возможным приближением к действительности определенныехарактеристики и параметры изучаемой системы;
2)логическое или математическое описание всех существенных свойств моделируемогообъекта. Изучают экономические процессы (ценообразование, механизмы управленияи др.), эксперимент. Используют для моделирования взаимосвязей между различнымипроцессами, которые трудно, невозможно или дорого воспроизвести др. средствамии методами.
ПАРАМЕТРЫ
Величины,описывающие систему переменные в процессе ее функционирования; в конкретных случаях(ситуациях) принимаются постоянными
Линейноепрограммирование — количественный анализ для оптимизации целевой функции, при данномряде ограничений. Название подразумевает, что функции должны быть линейными.
Проблемы,которые необходимо решить формулируются в задании. Ниже приведен контрольныйсписок вопросов для минимизации риска ошибок в формулировке задания.
1.Любое число в задании должно быть или использовано, или игнорировано.
2.Не забывайте начальных условий.
3.Каждая переменная в целевой функции должна быть перечислена где-нибудь вограничениях.
4.Необходимо перечислить любые ограничения.
Примоделировании проблем функциями, необходимо помнить, что в реальном мире естьизменение. Чувствительный анализ проводится для того, чтобы определитьчувствительность решения к изменениям в параметрах.
Примеромможет быть доход от деятельности предприятия, а планом действий в данном случаеможет быть производственная программа предприятия.
Сточки зрения математики производственную программу предприятия в первомприближении можно записать как набор чисел х1, х2,…, хn котором хi обозначаетзапланированный выпуск изделий i-го типа, n — количество типов изделий.
ЕслиCi — доход от произведенного изделия i-го типа и каждое произведенное изделиепокупается по одной и той же цене, то суммарный доход предприятия являетсяпростой суммой]
/>
х1– запланированный выпуск радиоприёмников первой модели
х2– запланированный выпуск радиоприёмников второй модели
Другимнеотьемлимым элементом экономической ситуации являются ограничения, налагаемыена возможные варианты планов производства.
Чащевсего это так называемые ресурсные ограничения, описывающие тот факт, что дляпроизводства товаров приходиться тратить ресурсы;
количестворесурсов, которое можно затратить на производство
товаров,ограничено.
Еслисчитать, что в нашем производстве используются ресурсы i=1,2,…,n, то в моделилинейного программирования эти два факта описываются с помощью коэффициентовaij, которые задают затраты i-го ресурса на производство единицы j –го продукта.
Еслизатраты ресурсов линейно возрастают в зависимости от роста объемовпроизводства, то для выпуска продукта j в количестве xj единиц aijxj i-горесурса. Выпуск всего плана x = (Х1, Х2,…, хn) потребует при этом
/>
единиц i-го ресурса.
Когдав наличии имеется не более bi единиц этого ресурса, то ясно, что любойреализуемый план производства x должен удовлетворять ограничению
/>
Ограниченияпо условию задачи:
1)10х1 + 8х2 ≤ 800
2)х1 ≤ 60
3)х2 ≤ 75
4)х1 >=0
5)х2 >=0
Целеваяфункция:
z=30х1 + 20х2
Вприведенном выше примере естественным экономическим требованием являетсямаксимизация дохода предприятия, что будет записываться как
/>
Максимумдохода достигается за счет оптимального выбора производственной программы.
Изэтих условий строим графически область допустимых решений (ОДР).
/>
/>
Повиду целевой функции определяем вектор нормали, относительно которого ищемоптимальный объём производства радиоприёмников.
Х1= 60 изделий.
Х2= (800 – 10*60)/8 = 25 изделий.
Общаяприбыль составляет
Р= 60*30 + 25*20 = 2300 у.е.
Исследование модели на чувствительность
Цельанализа чувствительности — оценить предельное возрастание дефицитного ресурса,ведущее к росту прибыли.
Если задача разрешима, то, кроме данного случая единственногорешения, задача может иметь бесконечное множество решений — альтернативныйоптимум. В этом случае прямая, соответствующая целевой функции, параллельнапрямой, соответствующей одному из связывающих ограничений. Ограничение называютсвязывающим, если прямая, его представляющая, проходит через оптимальную точку.
Посколькурешение связано с точкой Q, топроизведем исследование на чувствительность по прямым, пересекающихся в точке Q.
Сдвигаяв сторону точки W, второй моделирадиоприёмников будет уменьшаться, а количество радиоприёмников первой моделиостанется на том же уровне.
Рw = 60*30 + 0*20 = 1800 у.е.
Чтона 500 у.е. меньше оптимального.
Придальнейшем исследовании модели на чувствительность начнём её перемещение поотрезку QR в сторону увеличения числа радиоприёмниковвторого типа и уменьшения числа первого.
Рe = 56*30 + 30*20 = 2280 у.е.
Чтоменьше оптимума на 20 у.е..
Придальнейшем продвижении по отрезку мы придём в точку R. В точку с максимально большим количеством радиоприёмников1-й модели.
Рr = 20*30+75*20 = 2100 у.е.
Чтона 100 у.е. меньше оптимального.
Приустранении ограничения Х2=75, мы придём к точке E2 на прямой 0Х2, в которой прибыль будет равна Р =100*20=2000, что на 300 у.е. меньше найденного оптимального в т.Q
Приустранении ограничения Х1=60, мы придём к точке W2 на прямой 0Х1, в которой выпуск радиоприёмников второймодели равен нулю, а прибыль от производства будет:
Р= 80*30=2400, что на 100 у.е. больше оптимального в т.Q
Самоебольшое ограничение накладывается на максимальном запасе деталей:
Х1=60и Х2=75.
Р=60*30+75*20=3300у.е.
Т.е.при устранении мы приобретаем дополнительную прибыль – 1000 у.е.
На решение задачи имеют влияния ресурсы, а точнее их значение. Ресурсы можно разделить на дефицитные, которые при любом, даже незначительномуменьшении, влияют на решение задачи, и недефицитные, которые при уменьшении невлияют на решение задачи, пока они не переходят в категорию дефицитных (ОДР)
В данной задаче имеются 2 ресурса, охаратеризованные в уравнениях (1) и(2), оба они являются дефицитными, то есть их изменение приводит к перемещениюточки оптимального решения.
/>
1)Рассмотрим2 ограничение:
Увеличимего количество до 65
Ценность
/> /> />
Следовательно,при изменении количества ресурса 2 на единицy прибыль растёт на 5 y.e.
2)Рассмотрим1 ограничение:
Увеличимего количество до 850
Ценность
/> />
Следовательно,при изменении количества ресурса 1 на единицy прибыль растёт на 2.5 y.e.
Из этого делаем вывод, что ценность ресурса (2) в двое превышает ценностьресурса (1), следовательно максимизировать его будет значительно выгодней дляполучения лучших результатов.
/>
3)Рассмотрим3 ограничение:
Уменьшимего количество до 25(недифицитный)-точка оптимума
Ценность
/> />
/>
3)Рассмотрим3 ограничение:
Уменьшимего количество до 15(недифицитный)-стал дефицитным
Ценность
/> />
Благодаряисследованию чувствительности модели, мы получили информацию о ценности ресурсаи оптимальном его использовании.