Кривые, заданные в полярных координатах
Р.Л.Ткачук
Вологда
Введение
Тема«Полярная система координат» позволяет познакомить учащихся с красивейшимирезультатами математической науки.
Полярнаясистема координат на плоскости определяется заданием точки O(полюс),луча Ох (полярная ось) и единичного отрезка т. Кроме того, должен быть указанповорот луча Ох, называемый положительным. Пусть это будет поворот внаправлении против движения часовой стрелки. Повороты луча, совершаемые внаправлении, противоположном положительному, будем называть отрицательными.
ПустьМ — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Обозначим через /> длину отрезка ОМ,а через />— величину угла,образованного лучами Ох и ОМ. Числа /> и />такие, чтор>0 и 0 /> ф называют первойполярной координатой, или полярным радиусом, число />— второйполярной координатой, или полярным углом (рис. 1) Если точка М совпадает сполюсом, то /> = 0, а полярныйутол /> считаем равнымнулю. Заметим, что при заданных нами условиях /> > 0, 0 ≤/>
Введениетаких координат очень естественно, ведь местонахождение любой точки на земнойповерхности для неподвижного наблюдателя удобно определять с помощью расстоянияот наблюдателя до этой точки и направления к точке от наблюдателя (в этомслучае точка, в которой находится наблюдатель, служит полюсом).
Школьникамможно напомнить, что в повести Р.Л.Стивенсона «Остров сокровищ» описано, какстарый пират Флинт определил местоположение закопанного клада: «Десять футов ксеверу от высокого дерева на склоне Подзорной Трубы» (рис. 2).
Построение кривых,заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности,которые мы проиллюстрируем на примерах. Как известно, математики Древней Индиизаменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая егокороткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгиеразъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.
Вдальнейшем, при построении кривых мы позволим углу /> принимать любыенеотрицательные значения, выделяя на рисунках жирной линией фрагменты кривых,получающиеся при ограниче-нии 0 ≤/>
Алгебраическиеспирали
Сначаларассмотрим так называемые алгебраические спирали, т.е. кривые, полярныеуравнения которых являются алгебраическими относительно /> и /> и имеют вид F(/>,/> ) = 0, /> ≥0, /> ≥ 0. Еслиперейти к прямоугольной системе координат, то эти уравнения уже не будуталгебраическими относительно х и у. Кривые, задаваемые такими уравнениями,принято называть трансцендентными.
Достаточногромоздкие декартовы уравнения упрощаются при переходе к полярной системе координат.Зависимость между полярными и декартовыми координатами весьма проста.
Пустьполюс Oсовпадаетс началом декартовой системы координат, полярная ось совмещена с положительным направлениемоси Ох; М(х; у) — произвольная точка декартовой плоскости. Легко убедиться, что
/>
И обратно:
x=/>
СпиральАрхимеда
/> = />.
Поместимточку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку вдоль секунднойстрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движениестрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиральюАрхимеда. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ееосновные свойства описал именно Архимед (ок. 287-212 гг. до н.э.). Архимеду, вчастности, было известно, что расстояние между двумя последовательными виткамиспирали является постоянной величиной и равно 2π (рис. 3).
Кстати,в силу этой особенности в расположении витков реальный образ спирали Архимедаможно видеть, например, наблюдая туго завернутый рулон бумаги с его торцевойстороны.
Навнеклассных занятиях полезно показать построение первого витка спиралиАрхимеда.
Начертимокружность. Разделим ее и радиус ОА на п равных частей.
Пустьn = 8. Проведем ко всем точкамделения лучи из центра О окружности и пронумеруем их (рис. 4). На луче 1отметим точку на расстоянии />=/>ОА отцентра окружности. На луче 2 отметим точку на расстоянии/> =/> ОА, налуче 3 — точку на расстоянии />=/>ОА ит.д. На луче 8 поставим точку на расстоянии /> =/>ОА.
Соединивпоследовательно плавной кривой полученные точки, мы увидим первый виток спиралиАрхимеда. Построение будет тем более точным, чем больше точек деления радиуса иокружности будет выбрано первоначально.
СпиральАрхимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить заданный угол налюбое количество равных частей. В некоторых готовальнях в старину в составрабочих инструментов входила металлическая пластинка с тщательновыгравированной на ней спиралью Архимеда. С помощью такого приспособления былонетрудно разделить угол на несколько равных частей. Например, для трисекцииугла ВАС достаточно приложить пластину ее ровной частью к одному из лучей угла(рис. 5) и поделить получившийся отрезок АВ на 3 равные части. На дуге спиралиследует сделать засечку радиусом АО = — АВ. Тогда угол САО будет равен однойтрети угла ВАС.
/>
Вобласти техники спираль Архимеда находит применение в так называемых кулачковыхмеханиз-мах, которые преобразуют вращательное движение шайбы в поступательноедвижение стержня. В некоторых механизмах (например, в часах) требуется, чтобыстержень двигался равномерно. Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренкипо спирали Архимеда.
Вкачестве второго объекта для применения спирали Архимеда в технике можнопривести самоцентрирующийся патрон (рис. 6), направляющие канавки которого выполненыпо спирали Архимеда. При одном повороте диска этого патрона кулачкиперемещаются на величину радиального расстояния смежных канавок.
Крометого, форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на грампластинке и одна издеталей швейных машин — механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку.
Логарифмическаяспираль
lg/> = />, /> = />. При /> = 0 получаем /> = 1. При /> →+∞видно, что /> →+∞и спираль развертывается против хода часовой стрелки (рис. 7)
/>
Логарифмическуюспираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постояннойскоростью (как в случае архимедовой спирали), а с возрастающей, причем этовозрастание пропорционально расстоянию от центра часов.
Логарифмическуюспираль можно построить с помощью так называемого золотого прямоугольника, т.е.такого, у которого отношение сторон равно золотому сечению: />.
Еслиот золотого прямоугольника АВСDотрезатьквадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получимзолотой прямоугольник ЕFСD,номеньших размеров. Если продолжить этот процесс далее, а затем соединить плавнойкривой вершины квадратов, как это сделано на рис. 8, то получим логарифмическуюспираль.
Логарифмическаяспираль обладает рядом интересных свойств:
•расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;
•последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом,также составляет геометрическую прогрессию;
•образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами,подобны друг другу.
Логарифмическаяспираль часто встречается в природе и связана с определенными видами роста. Уочень многих моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а всеболее и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщиныпоследовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя саму раковинумоллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один изпростейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит кобразованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Вомногих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение междурезультатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмическойспирали (рис. 9). В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам,близким, как показывают соответствующие измерения, к дугам логарифмическойспирали. В связи с подобными фактами некоторые ученые считают логарифмическуюспираль кривой, являющейся одним из выражений законов органического роста.
Применениялогарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекатьвсе свои радиус-векторы под одним и тем же углом2. На этом свойствеоснованы применения логарифмической спирали в технике. Так, вращающиеся ножи вразличных режущих машинах (рис. 10) имеют профиль, очерченный по дуге спирали,благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и направлением егоскорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа, чтообеспечивает меньший его износ.
Труба,подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеетпрофиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечитьминимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно,напор воды используется с максимальной производительностью.
Вистории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638 г.Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длиныдуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.
Логарифмическаяспираль — кривая с «твердым» характером. Она не изменяет своей природы примногих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать илиразжать эту спираль относительно ее полюса — то же самое, что повернуть ее наопределенный угол. Это свойство логарифмической спирали было открыто ЯкобомБернулли, называвшим ее spiramirablis— дивнаяспираль. Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставатьсянеизменной при различных преобразованиях настолько поразили ученого, что он былсклонен придать им мистический смысл. Якоб Бернулли завещал высечьлогарифмическую спираль на своем надгробном камне, сопроводив изображениелатинской фразой «Eademmutate resurgo»— «Измененная,возрождаюсь прежней».
Далеерассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержаттригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам,где /> принимаетзначения от 0 до 2π.
Семействороз Гранди
/>=sink/> ,
гдеk — положительнаяпостоянная.
ВXVIII в. итальянский геометрГвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Нет, вовсе не те прекрас-ные цветы, окоторых вы, наверное, подумали. Розы Гранди радуют нас правильными и плавнымилиниями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специальноподобранными математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказанысамой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляетсобой кривую, симметричную относительно оси.
Семействороз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как
|sin(k/> | ≤1,
товся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичноститригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричныхотносительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.
/>
Наиболеекрасивые «цветы» получаются при k= 2 (четырехлепестковая роза) и при k= 3(трехлепестковая роза, хотя читателю, обратившему внимание на рис. 11, б, можетпоказаться, что эта кривая больше напоминает пропеллер).
Покажем,как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим,что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3/>≥0, решаякоторое находим область допустимых углов: 0≤/> , />
Всилу периодичности функции sin3/> (ее периодравен />) достаточнопостроить график для углов /> в промежутке 0 />, а в остальныхдвух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть0≤/>. Если угол /> изменяется от 0до 1, sin3/> изменяется от 0до 1, и, следовательно, /> изменяется от 0до 1. Если угол изменяется от />, то радиусизменяется от 1 до 0. Таким образом, приизменении угла /> от 0 до />, точканаплоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается вначало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол /> изменяетсяв пределах от />до π и от /> до />. Рассмотрим теперь,как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением />.
Функция/> — периодическаяс периодом π, кроме того,
sin(2(/> ,
поэтомудостаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ееотносительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой втретьей и четвертой четвертях.
Функция/> = sin2/> на отрезке [0;/> монотонновозрастаетс 0 до 1, а на отрезке [/>;/> ] монотонноубывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первойчетверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихсячетвертях.
Отметимследующие интересные свойства четырехлепестковой розы:
•четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров,опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят покоординатным осям;
•площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна />.
РозыГранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точкасовершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокругнеподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.
Вообще,если k — натуральное число,то роза состоит из 2kлепестковпри четном kииз k: лепестков при kнечетном. Если k — рациональноечисло(k=/>, то розасостоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков,когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частичноперекрываются. Если k — иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихсялепестков.
ЛемнискатаБернулли
р2= 2соs2/>.
ЛемнискатаБернулли — одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнениякривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнемувиду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точеклемнискаты должно выполняться нера-венство соs2/>, поэтому онарасположена между прямыми у=±х. Отметим также, что /> = /> при />= 0.
Покажем,как построить лемнискату Бернулли. Но сначала отметим, что, поскольку квадратполярного радиуса неотрицателен, должно выполняться неравенство соs2/>. Решая этонеравенство, находим область допустимых углов:
0≤/> , />
Всилу периодичности функции соs2/> (ее период равенπ) достаточно построить график для углов /> впромежутке /> а в остальныхслучаях использовать периодичность
Итак,пусть /> Если угол /> изменяется от /> до π, то cos2/> изменяетсяот 0 до 1 и, следовательно, /> изменяется от 0до/>
Еслиугол /> изменяется отπ до />, то /> изменяется от /> до 0.Такимобразом при изменении угла от/> точка наплоскости описывает кривую, напоминающую половинку от восьмерки, и возвращаетсяв начало координат. Вторая половинка получится, когда угол/>изменяетсяв пределах от 0 до /> и от /> до 2π.
ЛемнискатаБернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:
•угол, составленный касательной к лемнискате в произвольной точке срадиус-вектором точки касания равен 2/>
•перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ееточки, делит площадь соответствующего сектора пополам;
•эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus—украшенныйлентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r1,и r2до двух данных точек F1,и F2(фокусов)равно квадрату междуфокусного расстояния.
Впервыелемниската была рассмотрена Якобом Бернулли (1654—1705) в 1694 г. ВпоследствииБернулли много часов своих занятий уделял лемнискате и нашел несколько ееинтересных свойств.
Втехнике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой назакруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях вгорной местности и на трамвай-ных путях. Таким образом она обеспечивает плавностьзакругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бырезко, доставляя неудобство пассажирам.
Вкачестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, чтолиния поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечнодлинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.
Кардиоида
логарифмическая спираль полярныйкоордината лемниската
/> = 2(1 — соs/>).
Понаблюдаемза какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороненеподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. Помнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает формусердца (в переводе с греческого kardieidos—сердцеобразная).
Покажемспособ построения кардиоиды.
Сначалавыберем опорную окружность и ее радиус ОА примем за 1, а прямую ОА — за осьабсцисс, причем точка А произвольно выбирается на опорной окружности. Проведемдругую окружность с центром в точке М, произвольно взятой на опорнойокружности, и радиусом МА. Повторив затем такие построения для достаточнобольшого числа точек М, равномерно распределенных по опорной окружности, увидим,что огибающая всех окружностей радиуса МА и есть кардиоида (рис. 13).
/>
Кардиоидаиспользуется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользяшийпо профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скоростьпоступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойствомона выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянностискорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скоростьскачком меняет значение скорости с vна—v), что вызываетбыстрое изнашивание механизма.
Однаиз составных частей в механизме для поднятия и опускания семафора очерчена покардиоиде. При этом скорость поднятия' или опускания достигает максимальногозначения в середине хода семафора, что очень важно.
Кардиоидатакже хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательныхдвижениях стержней в двигателях.
Взаключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определениидлин кривых, площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел вращения, атакже в задачах на определение центра масс и момента инерции тела. Кривые,рассмотренные в статье, нередко возникают при решении различных задач вэлектротехнике, акустике, гидростатике и механике.
Логарифмическаяспираль в природе и технике
Втехнике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят наразрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа инаправлением скорости вращения. Для постоянства давления нуж-но, чтобы уголрезания сохранял постоянное значению, а это будет в том случае, если лезвияножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависитот обрабатываемого материала (рис. 64).
Вгидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды клопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменениенаправления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используетсяс максимальной производительностью.
Пропорциональностьдлины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колесс переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенныхтак, как показано на рисунке 65, и через середину и конец каждой стороныпроводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрахквадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая —против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будуткатиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т. е. отношениеугловых скоростей этих колес, будет непрерывно меняться, достигая в течениеодного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре разаминимального.
Живыесущества обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чащевсего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толщедетеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем ростсовершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой. Атакой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторымпространственным аналогам (рис. 66). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток,а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены пологарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическимсимволом соотношения формы и; роста. Великий немецкий поэт Иоганн-ВольфгангГёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.
Пологарифмической спирали очерчены не только раковины — в подсолнухе семечкирасположены по дугам,близким к логарифмической спирали и т. д. Одиниз наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нитивокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим спиралям закрученыи многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечнаясистема.