Министерство образования и науки Украины
Донецкий государственный институт искусственногоинтеллекта
Донецкий лицей «Интеллект»
Кафедра математики и информатики
Научная работа
на тему: «Применение неравенств при решенииолимпиадных задач».
( электронный учебник )
Выполнила:
ученица 11-Г класса
Борисенкова О.Д.
Научный руководитель:
Степанов Т.Л.
Донецк 2006
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1 Постановка задачи
2 Актуальность
3 Реализация задачи
3.1 Теоретическиесведения
3.2 Решение задач сприменением данных неравенств
3.3 Сборник задач
3.4 Тесты
4 Инструкция попользованию
Выводы
Список использованнойлитературы
ВВЕДЕНИЕ
При решении задач, предлагаемых на вступительных письменныхэкзаменах и олимпиадах по математике, могут быть использованы любые известныеабитуриентам математические методы. При этом разрешается пользоваться и такими,которые не изучаются в общеобразовательной школе.
Все это свидетельствует о необходимости самостоятельного изученияабитуриентами математических методов, в основе которых лежат понятия иположения, не входящие в программу по математике общеобразовательной школы. Ктаким понятиям, например, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского,Бернулли и Йенсена.
1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Таким образом, целью данной работы является разработкаэлектронного обучающего пособия, в котором будет предложен материал повыбранной теме. Т.е. в учебнике будут предоставлены теоретические сведения повсем неравенствам, примеры применения этих неравенств в решении олимпиадныхзадач, сборник задач для самостоятельного решения, решения к ним, а также тестовыевопросы, которые позволят оценить себя и проверить уровень полученных знаний.
Для реализации поставленной задачи был выбран язык электроннойразметки текста HTML.
2.АКТУАЛЬНОСТЬ
Данная разработка рассчитана на учащихся, которые имеютдовольно-таки высокий уровень знаний в области математики, причем как впределах, так и вне школьной программы, но все равно хотят его повысить. Т.е.этот учебник будет очень полезным для самостоятельного изучения темы иподготовки к олимпиадам ІІ-ІІІ этапов.
Также очень удобен и прост в применении, для работы с ним нетребуется никаких специальных программ или дополнительных приложений, кроместандартного Internet-браузера.
Важным пунктом является то, что в учебнике собрана информация потеме неравенств, которую в принципе довольно-таки сложно найти, причем так,чтобы она была в одном и том же печатном издании. Большая часть сведений понекоторым неравенствам была найдена только в периодических изданиях, журналах.Здесь же все собрано воедино, информация представлена кратко, но исчерпывающедля того, чтобы разобраться и понять.
3.РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ
3.1Теоретические сведения
Неравенство Йенсена
Теорема (неравенство Йенсена):
Пусть /> – функция, выпуклая на некотороминтервале, x1, x2, …, xn – произвольные числа изэтого интервала, а α1, α2, …, αn– произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда:
/>. (1)
Доказательство:
Рассмотрим на графике функции /> точки А1, А2, …, Аn с абсциссами х1,x2, …, xn. Расположим в этих точках грузы с массами, m2,…, mn. Центр масс этих точек имеет координаты
/>.
Так как точки А1, А2, …, Аn принадлежат надграфикувыпуклой функции, то и их центр масс также принадлежит надграфику (ибонадграфик – выпуклая фигура). А это означает, что ордината центра масс М не меньшеординаты точки на графике с той же абсциссой (рис. 1), т.е.
/>. (2)/> />
рис. 1
Для завершения доказательства остаётся положить m1= α1,…, mn= αn.
Однако есть два важных замечания. Во-первых, в процесседоказательства неравенства Йенсена (1) мы доказали неравенство (2). На самомделе эти неравенства равносильны. Положив в неравенстве (1) /> (i=1, 2, ..., n), мы получаемнеравенство (2). Поэтому естественно эти два неравенства называютсянеравенствами Йенсена. Неравенство (1) выглядит более компактно, однако дляприложений удобней пользоваться неравенством (2). Во-вторых, если функция /> вогнутая, то для неёнеравенства Йенсена (1) и (2) меняются на противоположные. Чтобы доказать это,достаточно рассмотреть выпуклую функцию />.
Неравенство Коши-Буняковского
На первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особоговпечатления: слишком общо выглядит формулировка. Однако дальше можно убедиться, что это впечатлениеобманчиво.
Продемонстрировать силу неравенства Йенсена можно на конкретномпримере. А именно, доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского />, где a1,a2, …, an, b1, b2, …, bn – произвольныеположительные числа.
Доказательство:
Как мы знаем, функция /> - выпуклая. Напишем для этойфункции неравенство Йенсена (2):
/>, (mi > 0).
Следовательно, />. Положив />, получим требуемоенеравенство.
Неравенство Коши
При решении многих задач часто используется классическоенеравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическимнеотрицательных чисел.
Пусть x1, x2, …, xn – неотрицательные числа.Средним арифметическим этих чисел называется число –
/>.
Средним геометрическим чисел x1, x2, …, xn называется число –
/>.
Теорема 1. Если x1, x2, …, xn – неотрицательные числа,то имеет место неравенство
/>. (1)
Причём знак равенства в нем достигается тогда и только тогда,когда все числа равны.
Соотношение (1) называется неравенством Коши. При n=2 неравенство Кошиследует из очевидного неравенства
/>. Действительно, />, откуда
/>. (2)
Отметим, что знак равенства в (2) имеет место тогда и толькотогда, когда x1=x2.
Пусть x1, x2, …, xn – положительные числа.Средним гармоническим (средним пропорциональным) этих чисел называется число –
/>.
Теорема 2. Если x1, x2, …, xn – положительные числа,то имеют место неравенства
An≥Gn≥ Hn.
Действительно, применяя к числам /> неравенство Коши, получаем
/> , (3)
откуда Gn ≥ Hn.
Пусть x1, x2, …, xn – произвольные числа.Средним квадратическим этих чисел называется число –
/>.
Теорема 3. Если x1, x2, …, xn – положительные числа,то имеют место неравенства
Kn ≥ An ≥ Gn≥ Hn, или
/>. (4)
Причём знак равенства в (4) достигается тогда и только тогда,когда все числа равны.
Для двух чисел неравенство (4) можно записать как
/>,
которое очень легко доказать с помощью простых преобразований. Аименно,
/>
аналогично доказывается и для n чисел, откуда Kn ≥An.
Неравенство Бернулли
Ещё один способ решения некоторых олимпиадных задач – этоиспользование неравенства Бернулли, которое иногда может значительно облегчитьзадачу. «Классическое» неравенство Бернулли формируется следующим образом:
Теорема. Для x > -1 и произвольного натурального n имеет место
/> (1)
причем равенство в (1) достигается при x=0, n=0 или n=1.
Однако кроме (1) существует и более общее неравенство Бернулли,которое содержит в себе два неравенства:
если n1, то
/>, (2)
если 0
/>, (3)
где x > -1.
Следует отметить, что равенства (2) и (3) имеют место лишь при x=0.
Доказательство(I способ):
/>, где xi – числа одногои того же знака и />.
Применяем метод математической индукции.
Проверяем неравенство для n=1: />. Неравенство верно.
Пусть неравенство верно для n членов, т.е. верно неравенство
/>.
Умножим его на неотрицательное число 1+xn+1 (оно неотрицательно,т.к. />).Получим:
/>.
Т.к. xi одного знака, произведения в правой части положительны, иесли их отбросить, неравенство только усилится. Получаем:
/>.
Как мы видим, неравенство верно и для n+1 членов, а значит вернодля любых n.
Доказательство(II способ):
Также применяем метод математической индукции.
При n=1 имеем />, />. Утверждаем, что при n=k неравенство верно: />. Тогда при n=k+1 имеем
/>.
Неравенство доказано.
Весовое (общее) неравенство Коши
Ранее мы рассмотрели так называемое классическое неравенство Коши.Однако очень большое значение имеет также одно важное обобщение неравенства Коши– это общее, или весовое, неравенство Коши.
Теорема. Для любых действительных положительных чисел m1, m2, …, mn и для любыхнеотрицательных x1, x2, …, xn имеет место неравенство
/>. (1)
Числа m1, m2, …, mn называются весовыми коэффициентами.
Неравенство (1) выполняется и для неотрицательных весовыхкоэффициентов m1, m2, …, mn, но в этом случае необходимо требовать, чтобы знаменательлевой части (1) не превращался в ноль и выражения />имели смысл (т.е. не все m1, m2, …, mn равны нулю и числа xi и mi одновременно неравнялись нулю).
Понятно, что при m1= m2= …= mn, весовое неравенствоКоши превращается в обыкновенное неравенство Коши.
Выражение, которое стоит в левой части (1), называется весовымсредним арифметическим, а то, которое в правой – весовым среднимгеометрическим.
Неравенство (1), для натуральных m1, m2, …, mn, непосредственно следуетиз обыкновенного неравенства Коши:
/>. (2)
Неравенство (1) с неотрицательными рациональными весовымикоэффициентами легко привести к случаю, когда />.
3.2Решение задач с применением данных неравенств
Неравенство Йенсена
Задача:
Пусть a1,…, an> 0, />. Доказать />.
Решение:
Записываем неравенство Йенсена для f(x)=x2, mi=n. Получаем:
/>, />, />,
что и требовалось доказать.
Неравенство Коши-Буняковского
Задача:
Пусть a+b+c=1. Доказать, что />.
Решение:
Из неравенства Коши-Буняковского имеем
/>.
А отсюда имеем, что />.
Неравенство Коши
Задача:
Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна единице. Доказать, что
(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c).
Решение:
Поскольку a+b+c=1,то 1+a=(1-b)+(1- c). Используя неравенствоКоши между средним арифметическим и средним геометрическим />, получаем
/>.
Аналогично
/>,
/>.
Перемножая все три неравенства, получаем искомое неравенство.
Неравенство Бернулли
Задача:
Решить уравнение
/>.
Решение:
К каждому слагаемому левой части уравнения применяем неравенствоБернулли, тогда
/>,
причем равенство возможно лишь при />, т.е. x=±1. Следовательно, x=±1 –корни уравнения.
Весовое (общее) неравенство Коши
Задача 1:
Для действительных положительных чисел a, b доказать неравенство />.
Решение:
По весовому неравенству Коши (/>), имеем
/>.
Для завершения доказательства осталось учесть очевидное неравенство/>.Равенство достигается при a=b.
Задача 2:
Для произвольных a,b≥0 доказать неравенство
/>(1).
Решение:
По весовому неравенству Коши имеем, что
/>.
Добавляя к указанному неравенству аналогичное
/>
получаем
/>,
что и требовалось доказать. Равенство в (1) достигается при a=b.
Понятно, что решение этой задачи состоит из двух ключевых идей.Первая – это неравенство (2). Вторая – переход от неравенства (2) к неравенству(1).
Что касается неравенства (2), то пока ещё не понятно, как можнобыло «угадать», что для решения задачи надо было использовать неравенство Кошиименно с такими весовыми коэффициентами m1=7, m2=4, m3=1.
Покажем, что эти коэффициенты можно найти (именно так они и былинайдены) с помощью стандартной процедуры: «метода неопределённыхкоэффициентов». Неравенство (2) будем искать из таких соображений. Рассмотримвесовое неравенство Коши
/>. (4)
Подберём весовые коэффициенты m1, m2, m3 так, чтобы в правойчасти неравенства (4) получить a3b. Для этого достаточно решить систему
/> (5)
Кроме этого, если к (4) добавить аналогичное неравенство (врешении задачи это было неравенство (3))
/>, (6)
то получим
/>. (7)
Следовательно, чтобы неравенство (7) совпало с неравенством взадаче, к системе (5) надо прибавить еще два равенства
/> (8)
Решая систему (8), имеем m1=7 m3, m2=4 m3. При таком подборе m1, m2, m3 неравенство (4)становится неравенством (2), неравенство (6) – неравенством (3), а неравенство(7) – неравенством (1).
Подводя итоги сказанному, мы видим, что для доказательстванеравенства типа (1) записываем общее весовое неравенство Коши снеопределенными весовыми коэффициентами, где слева стоят все слагаемые левойчасти, а справа – одно слагаемое правой части искомого неравенства. Подбираемнеопределенные коэффициенты (путем решения соответствующей системы равенств)так, чтобы после симметризации весового неравенства найти решение задачи.
3.3Сборник задач
Упражнение 1.Неравенство Йенсена:
1.Докажитенеравенство />, (подсказка: />).
2.Докажитенеравенство />, где />.
3.Докажитенеравенство />, при />.
Упражнение 2.Неравенство Коши-Буняковского:
1.Доказать,что />, гдеa,b,c – стороны треугольника; ha, hb, hc – высоты треугольника,опущенные на эти стороны; S – площадь треугольника.
2.Доказать,что />, />.
3.Доказать,что />,если />.
Упражнение 3.Неравенство Коши:
1.Длянеотрицательных a, b, c выполняется условие a2+b2+c2=1. Доказать, что />.
2.Дано: a, b, c≥0, a+b+c=1. Доказать неравенство:/>.
3.Доказать: />.
4.Дано: x, y, z>0, xyz=1. Доказать />.
Упражнение 4.Неравенство Бернулли:
1.Решитьуравнение: />.
2.Решитьуравнение: />.
3.Решитьуравнение: />.
Упражнение 5.Весовое (общее) неравенство Коши:
1.Доказать неравенство/>, если />.
2.Доказатьнеравенство: />.
3.Доказатьнеравенство:/>.
3.4Тесты
1. Какая зависимость междукоэффициентами αi в неравенстве Йенсена
/>?
а) ихпроизведение равно единице
б) их суммаравна единице
в) они равнымежду собой
г) никакой
2. Как доказать неравенствоКоши-Буняковского?
а) доказатьнеравенство Йенсена для функции />
б) применитьнеравенство Коши для n чисел
в) доказатьметодом математической индукции
г) путем алгебраическихпреобразований
3. Когда достигаетсяравенство в неравенстве Коши?
а) когдасумма всех чисел равна их количеству
б) когда ихпроизведение равно единице
в) когда всечисла равны между собой
г) никогда
4. В неравенстве Бернулли x– переменная – может быть…
а) любымчислом
б) строгоменьше нуля
в) строгобольше нуля
г) строгобольше минус единицы
5. В каком случае весовоенеравенство Коши превращается в классическое неравенство Коши?
а) когда всепеременные равны между собой
б) когда всевесовые коэффициенты равны между собой
в) когдапроизведение весовых коэффициентов равно единице
г) когдасумма весовых коэффициентов равна единице
6. С помощью какогонеравенства лучше доказывать неравенство
/>?
а) с помощьюнеравенства Коши
б) с помощьюнеравенства Бернулли
в) с помощьюнеравенства Йенсена
г) с помощьюнеравенства Коши-Буняковского
7. Какую надо применитьфункцию в неравенстве Йенсена, чтобы доказать
/>?
а) />
б) />
в) />
г) />
8. Чему равны весовыекоэффициенты в неравенстве />?
а) />
б) />
в) />
г) />
9. Какое неравенстводоказывается с помощью неравенства Коши-Буняковского?
а)/>
б) />
в) />
г) />.
4.ИНСТРУКЦИЯ ПО ПОЛЬЗОВАНИЮ
Данныйэлектронный учебник по математике предназначен для изучения темы «Использованиенеравенств при решении олимпиадных задач».
Стартоваястраница является титульным листом, на котором находится тема работы и сведенияоб ее авторе. Вторая страница – инструкция по пользованию самим приложением,внизу которой находится ссылка «поехали!!». Нажав на нее, пользователь попадаетна главную страницу учебника.
Окно приложениясостоит из двух частей: левая – навигация по учебнику, правая – основное окно,в котором предоставляется вся информация.
Весь учебникразбит на главы, что облегчает восприятие информации.
В «инструкциипо пользованию учебником» (вторая страница в приложении) описаны все правила,выполнение которых необходимо для корректной работы разработки.
ВЫВОДЫ
В результатепроделанной работы был подобран материал по теме «Неравенства в олимпиадныхзадачах», а именно: теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши,Коши-Буняковского и Бернулли, задачи, в решениях которых используются этинеравенства, а также составлены тестовые вопросы для проверки уровня полученныхзнаний. Все это было собрано и оформлено в виде электронного учебника,написанного на языке HTML. Учебник позволяет самостоятельно изучать этутему, получая знания на достаточном уровне.
СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. ВыгодскийМ.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1972. – 416 с.: ил.
2. ИжболдинО., Курляндчик Л. Неравенство Йенсена. – Научно-популярныйфизико-математический журнал «Квант», №4, 1990. – 95с.: ил.
3. КонюшковА. Неравенство Коши-Буняковского. – Научно-популярный физико-математическийжурнал «Квант», №8, 1987. – 110с.: ил.
4. ЛещевД. Создание интерактивного web-сайта: учебный курс. – СПб.: Питер, 2003. – 544с.: ил.
5. СупрунВ.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. – Мн.: Полымя, 1998.– 108 с. – («В помощь абитуриентам и студентам»)