Федеральноеагентство по образованию РФ.
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Забайкальскийгосударственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского.
Физико-математическийфакультет кафедра фундаментальной и прикладной математики, теории и методикиобучения математике.
Курсоваяработа
«РядыФурье»
Выполнил:Студент 131 группы
Гаврутенко А.В.
Научныйруководитель: профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики,
теории иметодики обучения математике
Менчер А.Э.
Чита 2009
Оглавление/>ВведениеОпределение коэффициентовпо методу Эйлера-ФурьеОртогональные системыфункцийИнтеграл ДирихлеПринцип локализациПредставление функцийрядом ФурьеСлучайнепериодической функцииСлучай произвольногопромежуткаСлучай четных инечетных функцийПримеры разложенияфункций в ряд ФурьеСписок использованнойлитературы
Введение
В науке и технике частоприходиться иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которыевоспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т, которыйназывается периодом. Например, движение паровой машины повторяется, после тогокак пройдет полный цикл. Различные величины, связанные с периодическимявлением, по истечении периода Т возвращаются к своим прежним значениям ипредставляют собой периодические функции от времени t с периодом Т.
/>
Если не считатьпостоянной, то простейшей периодической функцией является синусоидальнаявеличина: />,где /> естьчастота, связанная с периодом Т соотношением:
/>.
Из подобных простейшихпериодических функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, чтосоставляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, иначе ихсложение не дает ничего нового, а вновь приводит к синусоидальной величине,причем той же частоты. Если же сложить величины вида:
/> (1)
которые имеют разныечастоты
/>,
то получится периодическаяфункция, но уже существенно отличающаяся от величин, входящих в сумму.
Рассмотрим для примерасложение трех синусоидальных величин:
/>
/>
На рисунке мы видим, чтографик функции полученной в результате сложения трех синусоидальных величин(показан сплошной линией) уже значительно отличается от синусоиды. В большейстепени это имеет место для суммы бесконечного ряда величин вида (1).
Теперь возникает обратныйвопрос: можно ли данную периодическую функцию представить в виде суммыконечного или бесконечного множества синусоидальных величин вида (1).
Как будет показано ниже,на этот вопрос можно ответить удовлетворительно, но только лишь используябесконечную последовательность величин вида (1). Для функций некоторого классаимеет место разложение в «тригонометрический ряд»:
/>/> (2)
С геометрической точкизрения это означает, что график периодической функции получается путемналожения ряда синусоид. Если же каждую синусоидальную величину истолковатьмеханически как представляющую гармонические колебательные явления, то можносказать, что здесь сложное колебание разлагается на отдельные гармоническиеколебания. Исходя из этого, отдельные синусоидальные величины, входящие всостав разложения (2), называют гармоническими составляющими функции />или просто еепервой, второй и т. д. гармониками. Сам же процесс разложения периодическойфункции на гармоники носит название гармонического анализа.
Если за независимуюпеременную выбрать
/>,
то получиться функция,зависящая от х, так же периодическая, но уже со стандартным периодом /> Разложение (2)в этом случаи примет вид:
/>/>
/> (3)
Теперь развернув членыэтого ряда по формуле синуса суммы и обозначив
/>
мы придем к окончательнойформе тригонометрического разложения:
/>/>
/> (4)
В данном разложениифункция от угла х, имеющая период /> разложена по косинусам и синусамуглов, кратных х.
Мы пришли к разложениюфункции в тригонометрический ряд, отправляясь от периодических, колебательныхявлений и связанных с ними величин. Подобные разложения часто оказываютсяполезными и при исследовании функций, заданных в определенном конечномпромежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями./>Определение коэффициентов по методуЭйлера-Фурье.
В предыдущем параграфебыло сказано, что существует ряд функций, которые можно представить в видебесконечного тригонометрического ряда. Для того, что бы установить возможностьразложения некоторой функции />, имеющей период />в тригонометрический рядвида:
/>
/> (4)
нужно иметь наборкоэффициентов />
Прием для нахождения этихкоэффициентов во второй половине XVIIIвека был применен Эйлером и независимо от него в начале XIX века—Фурье.
Впредь будем предполагатьфункцию />непрерывнойили кусочнонепрерывной в промежутке />.
Допустим, что разложение(4) имеет место. Проинтегрируем его почленно от />до />; в результате получим:
/>
Но, как легко видеть,
/> (5)
Поэтому все члены подзнаком суммы будут равняться нулю, и окончательно получаем
/> (6)
Для того чтобы найтизначение коэффициента />, умножим обе части равенства (4)на /> иснова проинтегрируем почленно в том же промежутке:
/>
В виду (5) />.
/>
если />, и, наконец,
/> (9)
Таким образом, обращаютсяв нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителемстоит именно коэффициент />. Отсюда получаем:
/> />
Аналогично, умножаяразложение (4) на />и затем, интегрируя почленно,определим коэффициент при синусе:
/> />
Формулы, по которымвычисляются коэффициенты />, называются формуламиЭйлера-Фурье, а сами коэффициенты называются коэффициентами Фурье для даннойфункции. И, наконец, тригонометрический ряд (4), составленный по этимкоэффициентам, получил название ряд Фурье для данной функции.
Дадим теперь отчет в том,какова логическая ценность проведенных рассуждений. Мы исходили из того, чтотригонометрический ряд (4) имеет место, поэтому вопрос о том, отвечает ли этодействительности, остается открытым. Мы пользовались повторно почленныминтегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна, достаточнымусловием для применения операции является равномерная сходимость ряда. Поэтомустрого установленным условием можно считать лишь следующее:
если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд(4), то этот ряд будет являться ее рядом Фурье.
Если же не предполагатьнаперед равномерности сходимости, то все приведенные выше соображения недоказывают даже того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье. Этирассуждения можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобыв поисках тригонометрического разложения данной функции начать ее с ряда Фурье,обязуясь установить условия, при которых он сходится и притом именно к даннойфункции.
Пока этого не сделано, мыимеем право лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функции, но не можемо нем ничего утверждать, кроме того, что он «порожден» функцией f(x). Эту связь обычно обозначают так:
/>
избегая знака равенства./>Ортогональные системы функций
Две функции />и /> определенныена промежутке /> называются ортогональными на этомпромежутке, если интеграл от их произведения равен нулю:
/>
Рассмотрим системуфункций />,определенных в промежутке [a, b] и непрерывных иликусочно-непрерывных. Если все функции данной системы попарно ортогональны, тоесть
/> />
то ее называютортогональной системой функций. При этом всегда будем полагать, что
/>
Если />, то система называетсянормальной. Если же это условие не выполняется, то можно перейти к системе />, которая ужезаведомо будет нормальной.
Важнейшим примеромортогональной системы функций как раз и является тригонометрическая система
/> (10)
в промежутке />, которую мы рассматривали ранее. Ее ортогональностьследует из соотношений (5), (7), (8). Однако она не будет нормальной ввиду (9).Умножая тригонометрические функции (10) на надлежащие множители, легко получитьнормальную систему:
/> (10*)
Пусть в промежутке /> данакакая-нибудь ортогональная система функций />. Зададимся целью разложитьопределенную в /> функцию />в «ряд по функциям />» вида:
/> (11)
Для определениякоэффициентов данного разложения поступим так же, как мы это сделали впредыдущем параграфе, а именно умножим обе части равенства на /> и проинтегрируем егопочленно:
/>
В силу ортогональностисистемы, все интегралы справа, кроме одного, будут равны нулю, и легкополучается:
/> (m=0, 1, 2, …) (12)
Ряд (11) скоэффициентами, составленными по формулам (12), называется обобщенным рядомФурье данной функции, а сами коэффициенты—ее обобщенными коэффициентами Фурьеотносительно системы />. В случаи нормальной системыфункций коэффициенты будут определяться следующим образом:
/>
В данном случаи всезамечания сделанные в предыдущем параграфе необходимо повторить. Обобщенный рядФурье, построенный для функции />, связан с ней лишь формально и вобщем случае эту связь обозначают следующим образом:
/>
Сходимость этого ряда,как и в случае тригонометрического ряда, подлежит еще исследованию./>Интеграл Дирихле Принцип локализации
Пусть /> будет непрерывная иликусочно-непрерывная функция с периодом />. Вычислим постоянные (еекоэффициенты Фурье):
/> />
/> />
и по ним составим рядФурье нашей функции
/>
Как видим, здеськоэффициент /> мыопределили по общей формуле для /> при />, но зато свободный член рядазапишем в виде />.
Если функция F(x) кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке и к тому жеимеет период />, то величина интеграла
/>
по прежнему промежуткудлины /> независит от />.
Действительно, имеем
/>
Если в последнеминтеграла сделать подстановку />, то он приведется к интегралу
/>
и лишь знаком будетотличаться от первого интеграла. Таким образом, рассматриваемый интегралоказывается равным интегралу
/>
уже не содержащему />.
Для того чтобыисследовать поведение ряда в какой-нибудь определенной точке />, составим удобноевыражение для его частичной суммы
/>
Подставим вместо /> и /> ихинтегральные выражения и подведем постоянные числа /> под знак интеграла:
/>
/>
Легко проверить тождество
/>
Воспользуемся этимтождеством для преобразования подынтегрального выражения, окончательно получим
/> (13)
Этот интеграл называютинтегралом Дирихле, хотя у Фурье он встречается гораздо раньше.
Так как мы имеем дело сфункцией от u периода />, то промежуток интегрирования /> по сделанномувыше замечанию можно заменить, например, промежутком />
/>
Подстановкой /> преобразуем этот интеграл к виду
/>
Затем, разбивая интегрална два: /> иприводя второй интеграл путем замены знака переменной тоже к промежутку />, придем ктакому окончательному выражению для частичной суммы ряда Фурье:
/> (14)
Таким образом, делосводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержащего параметр n.
Для дальнейшего изложенияматериала нам потребуется одна лемма, принадлежащая Риману, которую мы оставимбез доказательства.
Если функция /> непрерывна иликусочно-непрерывна в некотором конечном промежутке />, то
/>
и, аналогично,
/>
Если вспомнить формулы,выражающие коэффициенты Фурье />, то в качестве первогонепосредственного следствия из леммы получается утверждение:
Коэффициенты Фурье /> кусочно-непрерывнойфункции при /> стремятсяк нулю.
Вторым непосредственнымследствием является так называемый «принцип локализации».
Взяв произвольноеположительное число />, разобьем интеграл в (14) на два:/>/>. Если второйиз них переписать в виде
/>
то станет ясно, чтомножитель при синусе
/>
являетсякусочно-непрерывной функцией от t впромежутке />.В этом случае по лемме этот интеграл при /> стремится к нулю, так что и самосуществование предела для частичной суммы ряда Фурье и величина этого пределацеликом определяется поведением одного лишь интеграла
/>
Но в этот интеграл входятлишь значения функции f(x), отвечающие изменению аргумента впромежутке от /> до />. Этим соображением доказывается«принцип локализации», состоящий в следующем:
Поведение ряда Фурьефункции f(x) в некоторой точке /> зависит исключительно отзначений, принимаемых этой функцией в непосредственной близости рассматриваемойточки, т. е. в сколь угодно малой ее окрестности.
Таким образом, если взятьдве функции, значения которых в произвольно малой окрестности /> совпадают, то как быони не расходились вне этой окрестности, соответствующие этим функциям рядыФурье ведут себя в точке /> одинаково: либо оба сходятся, ипритом к одной и той же сумме, либо оба расходятся./>Представление функций рядом Фурье
Наложим на функцию f(x) более тяжелое требование, а именно—предположим еекусочно-дифференцируемой в промежутке />.
Тогда имеет место общаятеорема:
Теорема. Если функция f(x) с периодом />кусочно-дифференцируема в промежутке/>, то ееряд Фурье в каждой точке /> сходится и имеет сумму
/>
Эта сумма, очевидно,равна />,если в точке /> функция непрерывна.
Доказательство. Отметим,что равенство (14) имеет место для каждой функции f(x),удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять />, то />, и из (14) получим, что
/>
Умножая обе частиравенства на постоянное число /> и вычитая результат из (14),найдем
/>
для нашей цели нужнодоказать, что интеграл справа при />стремится к нулю.
Представим его в виде
/> (15)
где положено
/> (16)
если бы нам удалосьустановить что эта функция кусочно-непрерывна, то из леммы предыдущегопараграфа следовало бы уже, что интеграл (15) имеет предел нулю при />. Но впромежутке /> функцияg(x) вообще непрерывна, за исключением разве лишь конечногочисла точек, где она может иметь скачки—ибо такова функция f(x). Остается открытым лишь вопрос о поведении функции g(x) при />.
Мы докажем существованиеконечного предела
/>;
положив тогда g(0)=K, мы в точке t=0получим непрерывность, и применение леммы окажется оправданным. Но второймножитель в правой части равенства (16) явно имеет пределом единицу; обратимсяк выражению квадратных скобках.
Пусть, для простаты,сначала точка /> лежит внутри промежутка, гдефункция f(x) дифференцируема. Тогда />, и каждое из соотношений
/> /> (17)
стремится к пределу />, а />— к нулю. Еслиже /> есть«точка стыка», то при этом она может оказаться как точкой непрерывности, так иточкой разрыва. В первом случае мы опять столкнемся с отношением (17), но онибудут стремиться на этот раз к различным пределам, соответственно—к производнойсправа и к производной слева. К аналогичному результату придем и в случаеразрыва, но здесь /> заменится значениями /> тех функций,от склеивания которых получилась данная, а пределами отношений (17) будутодносторонние производные упомянутых функций при />.
Итак, наше заключениесправедливо во всех случаях./>Случай непериодической функции
Вся построенная вышетеория исходила из предположения, что заданная функция определена для всехвещественных значений x ипритом имеет период />. Между тем чаще всего приходитсяиметь дело с непериодической функцией f(x), иной раз даже заданной только впромежутке />.
Что бы иметь правоприменить к такой функции изложенную теорию, введем взамен нее вспомогательнуюфункцию /> определеннуюследующим образом. В промежутке /> мы отождествляем /> с f(x):
/> (18)
затем полагаем
/>
а на остальныевещественные значения xраспространяем функцию /> по закону периодичности.
К построенной такимобразом функции /> с периодом /> можно уже применитьдоказанную теорему разложения. Однако, если речь идет о точке />, строго лежащей между /> и />, то, ввиду(18), нам пришлось бы иметь дело с заданной функцией />. По той же причине и коэффициентыразложения можно вычислить по формулам вычисления коэффициентов не переходя квспомогательной функции. Короче говоря, все доказанное выше непосредственнопереносится на заданную функцию />, минуя вспомогательную функцию />.
Особого внимания, однако,требуют концы промежутка />. При применении к функции /> теоремыпредыдущего параграфа, скажем, в точке />, нам пришлось бы иметь дело каксо значениями вспомогательной функции /> справа от />, где они совпадают ужесо значениями /> справа от />ю Поэтому для />в качествезначения /> надлежалобы взять
/>.
Таким образом, еслизаданная функция /> даже непрерывна при />, но не имеетпериода />,так что />,то—при соблюдении требований кусочной дифференцируемости—суммой ряда Фурьебудет число
/>
отличное как от />, так и от />. Для такойфункции разложение имеет место лишь в открытом промежутке />.
Следующее замечание также заслуживает особого внимания. Если тригонометрический ряд
/>
сходится в промежутке /> к функции />, то ввидутого, что его члены имеют период />, он сходится всюду, и сумма его /> тожеоказывается периодической функцией с периодом />. Но эта сумма вне указанногопромежутка вообще уже не совпадает с функцией />./>Случай произвольного промежутка
Предположим, что функция /> задана впромежутке /> произвольнойдлины /> икусочно-дифференцируема в нем. Если прибегнуть к подстановке
/>,
то получится функция /> от /> в промежутке />, тожекусочно-дифференцируемая, к которой уже приложим рассмотрения предыдущегопараграфа. Как мы видели, за исключением точек разрыва и концов промежутка,можно разложить ее в ряд Фурье:
/>
коэффициенты которогоопределяются формулами Эйлера—Фурье:
/> />
/> />
вернемся теперь к прежнейпеременной />,полагая
/>.
Тогда получим разложениезаданной функции />в тригонометрический ряд несколькоизмененного вида:
/> (19)
Здесь косинусы и синусыберутся от углов, кратных не />, а />. Можно было бы и формулы дляопределения коэффициентов разложения преобразовать той же подстановкой к виду
/> /> (20)
/> />
В отношении концовпромежутка />сохраняютсилу замечания, сделанные в предыдущем параграфе относительно точек /> Конечно,промежуток /> можетбыть заменен любым другим промежутком длинны /> в частности, промежутком />. В последнемслучае формулы (20) должны быть заменены формулами
/> /> (20a)
/> />/>Случай четных и нечетных функций
Если заданная впромежутке /> функция/> будетнечетной, то очевидно
/>
В этом легко убедится:
/>.
Таким же путем устанавливается,что в случае четной функции />:
/>.
Пусть теперь /> будеткусочно-дифференцируемая в промежутке /> четная функция. Тогдапроизведение /> окажется нечетной функцией, и посказанному
/>
Таким образом, ряд Фурьечетной функции содержит одни лишь косинусы:
/> (21)
Так как />в этом случае будет тожечетной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можемкоэффициенты /> разложения написать в виде
/>/>(22)
Если же функция /> будетнечетной, то нечетной будет и функция />, так что
/> />
Мы приходим к заключению,что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:
/>(23)
При этом ввиду четностипроизведения />можно писать:
/>/> (24)
Отметим, что каждаяфункция />,заданная в промежутке />, может быть представлена в видесуммы четной и нечетной составляющих функций:
/>,
Где
/>
Очевидно, что ряд Фурьефункции /> какраз и составится из разложения по косинусам функции /> и разложения по синусам функции />.
Предположим, далее, чтофункция /> заданалишь в промежутке />. Желая разложить ее в этомпромежутке в ряд Фурье мы дополним определение нашей функции для значений x в промежутке /> по произволу, но ссохранением кусочной дифференцируемости, а затем применим сказанное в пункте«Случай непериодической функции».
Можно использоватьпроизвол в определении функции в промежутке /> так, что бы получить для /> разложениетолько лишь по косинусам или только по синусам. Действительно, представим семе,что для /> мыполагаем />,так что в результате получается четная функция в промежутке />. Ее разложение, как мывидели, будет содержать одни лишь косинусы. Коэффициенты разложения можновычислять по формулам (22), куда входят лишь значения первоначально заданнойфункции />.
Аналогично, еслидополнить определение функции /> по закону нечетности, то онастанет нечетной и в ее разложении будут одни лишь синусы. Коэффициенты ее разложенияопределяются по формулам (24).
Таким образом, заданную впромежутке /> функциюпри соблюдении условий оказывается возможным разлагать как по косинусам, так ипо одним лишь синусам.
Особого исследованиятребуют точки /> и />. Здесь оба разложения ведут себяпо-разному. Предположим, для простоты, что заданная функция /> непрерывна при /> и />, и рассмотримсначала разложение по косинусам. Условие />, прежде всего, сохраняетнепрерывность при />, так что ряд (21) при /> будетсходиться именно к />. Так как, далее,
/>
то и при /> имеет месть аналогичноеобстоятельство.
Иначе обстоит дело сразложением по синусам. В точках /> и /> сумма ряда (23) явно будет нулем.Поэтому она может дать нам значения /> и />, очевидно, лишь в том случае,если эти значения равны нулю.
Если функция /> задана впромежутке /> то,прибегнув к той же замене переменной, что и в предыдущем параграфе, мы сведемвопрос о разложении ее в ряд по косинусам
/>
или в ряд по синусам
/>
к только чторассмотренному. При этом коэффициенты разложений вычисляются, соответственно,по формулам
/> />
или
/> />./>Примеры разложения функций в ряд Фурье
Функции, которые нижеприводятся в качестве примеров, как правило, относятся к классудифференцируемых или кусочно-дифференцируемых. Поэтому сама возможность ихразложения в ряд Фурье—вне сомнения, и на этом мы останавливаться не будем.
Все задания взяты изСборника задач и упражнений по математическому анализу, Б. Н. Демидович.
№ 2636. Функцию /> разложить вряд Фурье.
Так как функция /> являетсянечетной, то, следовательно, /> будет четной. Поэтому ееразложение в ряд Фурье содержит одни лишь косинусы.
Найдем коэффициенты разложения;
/>
/>
№ 2938. Разложить в рядФурье функцию />. Изобразить этой функции играфики нескольких частных сумм ряда Фурье этой функции.
/>
Функция /> нечетная, поэтому ееразложение будет содержать одни лишь синусы.
/>
То есть, получается, чтопри четных значениях nкоэффициент />,а следовательно и все слагаемое, обращается в нуль. Поэтому суммирование идеттолько лишь по четным значениям n.
Ряд Фурье для этойфункции примет следующий вид:
/>. />
Ниже изображены графикифункций />и несколькихчастных сумм ряда Фурье:
График функции />, />, /> и />
/>
№ 2940. /> в интервале />.
Функция/>нечетная.
/>
/>
№ 2941. /> в интервале />.
/>
/>
/>
В итоге получаем рядФурье:
/> />
№ 2941. /> в интервале />.
Функция /> четная.
/>
/>
Как и в № 2938, у нас причетных значениях n коэффициент /> обращается внуль. Поэтому суммировать будем лишь по нечетным значениям.
В итоге получим:
/>
№ 2950. /> в интервале />.
Функция /> четная.
/>
/>
Так как при n=1 знаменатель обращается в нуль, тосуммирование необходимо произвести начиная в двойки.
/>
№ 2951. /> в интервале />.
Функция /> нечетная.
/>
/>
№ 2961. Функцию /> разложить а) винтервале /> покосинусам кратных дуг; б) в интервале /> по синусам кратных дуг; в) винтервале />.Изобразить график функции /> и сумм рядов Фурье для каждогоотдельного случая. Используя разложения, найти суммы рядов: />; /> и />.
а) />
/>
И, наконец получаемразложение в ряд Фурье:
/> />
/>
б) />
/> />
/>
в) />
/>
/>
/> />
/>
№ 2962 Исходя изразложения
/> />,
почленным интегрированиемполучить разложение в ряд Фурье на интервале /> функций />
Проинтегрируем равенство /> почленно,получим
/>
И окончательно получаем:
/> />
Проинтегрируем полученноеравенство повторно
/>
или отсюда получаем
/>.
/>Список использованной литературы
1 И.М. Уваренков,М.З. Маллер „Курс математического анализа”, М., „Просвещение”, 1976 г.
2 Г.М. Фихтенгольц„Курс дифференциального и интегрального исчисления”, том III, издание 8, М., „ФИЗМАТЛИТ”, 2005г.
3 В.Е. Шнейдер,А.И. Слуцкий, А.С. Шумов „Краткий курс высшей математики”, том2, М., „Высшая школа”,1978г.
4 Н.Я. Виленкин, В.В.Цукерман, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов „Ряды”, М. „Просвещение”, 1982г.
5 Б.П. Демидович„Сборник задач и упражнений по математическому анализу” издание 9, М. „Наука”,1977г.