Министерство образованияи науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшегопрофессионального образования
Бийский Педагогический Государственный Университетимени В.М. Шукшина
Физико-математическийфакультет
Кафедраматематики
Курсоваяработа
УравнениеДирака в квантовой теории
Выполнил: студент 4курса ФМФ
Губин А.А.
Научный руководитель:
Царегородцев Л.И.
Бийск, 2011
Содержание
Введение
1. Уравнение Дирака
2. Матрица Дирака. Свойства матриц Дирака
3. Спиноры
4. Общее решение уравнения Дирака
Заключение
Список литературы
Введение
Курсовая работа состоитиз введения, четырех параграфов, заключения и списка с литературой.
В первом параграфераскрывается понятие об уравнение Дирака и вводится обозначение матриц Дирака />, записывается видуравнения Дирака. Во втором параграфе рассматриваются основные свойства матрицДирака. В третьем – определяется понятие о спиноре. А в четвертом параграфе выводитсярешение уравнения Дирака в виде плоских волн.
Кратко остановимся нарелятивистских обозначениях, которые будут нами использоваться.
Пространственно-временныекоординаты будут обозначаться />, причем/>, />, /> и />; />. Мы будем использоватьметрический тензор /> с компонентами
/>
/> при />
уравнениедирак матрица спинор
В связи с этим нужноразличать ковариантные и контравариантные векторы. Контравариантный вектор(преобразующийся как координатный вектор />)будет обозначаться />, а ковариантный(преобразующийся как градиент) будет обозначаться />.Аналогичные обозначения будут приняты и для тензоров. Греческие индексы будутприменяться для обозначения компонент (0, 1, 2, 3) пространственно-временного тензора,а латинские индексы – только для обозначения пространственных компонент (1, 2,3). Операции опускания и поднимания индексов с помощью метрического тензораопределяются следующим образом:
/>
где предполагаетсясуммирование от 0 до 3 по повторяющимся греческим индексам, т.е
/>
Тензор /> определяется уравнением />, где /> – символ Кронекера: />, если />, и />в противном случае.
Введем в рассмотрение ещенесколько понятий.
Транспонированным к /> называют тензор />, который имеет вкаком-либо базисе /> «перевернутые»компоненты:
/>
Транспонированный тензоробозначают как />.
Симметричным называюттакой тензор, транспонированный к которому совпадает с исходным:
/>
Тензор /> называют обратным к />, если его скалярноепроизведение на /> дает единичныйтензор. Такой тензор /> обозначают как />:
/>
Ортогональным называюттензор />, обратный к которомутензор /> совпадает странспонированным />.
1.Уравнение Дирака
В начале XX века, пытаясь преодолеть трудности сотрицательными плотностями вероятности в уравнении Клейна-Гордона, котороевыглядит следующим образом:
/> (1.1)
Дирак открылрелятивистское уравнение, которое теперь называют в его честь. Долгое времяпосле открытия уравнения Дирака считали, что для частиц с массой этоединственное правильное релятивистское волновое уравнение. И только после того,как Паули и Вайскопф дали новую интерпретацию уравнения Клейна-Гордона какуравнения для поля, это широко распространившееся мнение было опровергнуто. Нодаже и теперь уравнение Дирака имеет особое значение, так как оно описываетчастицы со спином />, а спин /> имеют электроны и протоны(с понятием «спинор» познакомимся ниже). Многие другие «элементарныечастицы» также обладают спином />.
Соображения, которыепривели Дирака к его уравнению, следующие. Для того, чтобы предотвратить появлениеотрицательных вероятностей, нужно, чтобы в выражении для плотности
/> (1.2)
не было производных повремени. Поэтому волновое уравнение должно содержать производные по времени невыше первого порядка. Но релятивистская ковариантность требует полной симметриипо всем пространственным и временным координатам. Поэтому нужно, чтобы вволновое уравнение входили производные только первого порядка и по пространственнымпеременным. Таким образом, волновая функция Дирака должна удовлетворять линейномудифференциальному уравнению первого порядка по всем четырем координатам.Линейность уравнения нужна, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции квантовоймеханики. Если мы хотим, чтобы волновая функция /> описываласвободную частицу с массой m, тонужно потребовать, чтобы она подчинялась уравнению
/> (1.3)
Где
/>
оператор Даламбера, таккак уравнение означает, что между энергией и импульсом свободной частицывыполняется соотношение /> и что всогласии с принципом соответствия имеется предельный переход к случаюклассической теории относительности.
Аналогичная ситуациявстречается и электродинамике, где уравнения Максвелла являются уравнениямипервого порядка, связывающими компоненты напряженностей поля. В то же времякаждая компонента электрической и магнитной напряженностей подчиняетсяволновому уравнению. Волновое уравнение в электродинамике является уравнениемвторого порядка, не содержащим массового члена, что свидетельствует о нулевоймассе покоя фотона.
Предположим, что /> имеет N компонент />, причем мы заранее нефиксируем значение N. Наиболее общимлинейным уравнением первого порядка является уравнение, выражающее временнуюпроизводную одной компоненты в виде линейной комбинации всех компонент и их пространственныхпроизводных. Если подставить соответствующие размерные множители, то наиболееобщее уравнение можно записать в виде
/>(1.4)
На основе предположенияоб однородности пространства-времени /> и /> являются безразмернымиконстантами, не зависящими от пространственно-временных координат />. Естественный способупрощения вида этих уравнений состоит в использовании матричной записи, котораяпозволяет представить систему уравнений (1.4) в виде
/> (1.5)
В этом уравнении /> есть матрица-столбец с N строками, а /> и /> – матрицы, имеющие по N строк и столбцов. Уравнение (1.5) иизвестно как уравнение Дирака.
Теперь найдем выражениядля плотности и тока, которые соответствуют уравнению (1.5). Так как мы хотимсохранить для /> привычное определение,то полагаем
/> (1.6а)
или в матричной записи
/> (1.6б)
где /> – величина, эрмитовосопряженная />, а следовательно,являющаяся матрицей-строкой, содержащей одну строку и N столбцов. Выражения (1.6) для плотности явно положительныопределены и, таким образом, отвечают основным требованиям Дирака. Далеепотребуем, чтобы /> удовлетворялауравнению неразрывности
/>(1.7)
где ток j еще должен быть определен. Можнонадеяться, что тогда будет применима обычная вероятностная интерпретация. Величина/> удовлетворяет уравнению
/> (1.8)
которое получаетсяэрмитовым сопряжением уравнением (1.5). Как и выше, "/>" является знакомэрмитова сопряжения, при котором матрицы /> и/> транспонируются и комплексносопрягаются, например
/> (1.9)
Перестановка /> с /> в (1.8) необходима потому,что /> – строка, и, следовательно,/> и /> должны стоять после нее (ане перед ней).
Уравнение неразрывноститипа (1.7) можно теперь вывести из уравнений (1.5) и (1.8), если первоеумножить на /> слева, а второе – на /> справа и сложитьполучившиеся результаты. Это приводит к уравнению
/> (1.10)
Последний член несодержит производных. Поэтому, если мы хотим отождествить уравнение (1.10) суравнением (1.7), нужно добиться, чтобы этот член был равен нулю. Это можно достигнуть,если потребовать, чтобы
/> (1.11)
то есть чтобы матрица /> была эрмитовой. Дляотождествления второй группы членов в уравнении (1.10) с дивергенцией мыпотребуем далее, чтобы
/> (1.12)
Другими словами, и /> и /> должны быть эрмитовымиматрицами. Другой путь, ведущий к тому же результату,— переписать уравнение(1.5) в гамильтоновой форме:
/>(1.13)
Ясно, что для эрмитовостиH матрицы /> и/> должны быть эрмитовыми.Сравнивая (1.7) с (1.10), заключаем
/> (1.14)
Для вывода дальнейшихсвойств матриц /> и /> нужно исследовать условия,которое накладывает требование, чтобы функция /> удовлетворялауравнению
/> (1.3)
Где
/>
С этой целью умножимуравнение (1.5) на оператор
/>
Который приведет кпоявлению вторых производных. Члены с /> исо смешанными пространственно-временными производными сокращаются, и мыполучаем
/> (1.15)
Мы симметризовали здесьчлен />, что можно зделатьвследствие коммутации /> и />. Чтобы уравнение (1.15)согласовалось с уравнением Клейна-Гордона, необходимо его правую часть свести к
/>
Это накладывает следующиеусловия:
/> (1.16)
/> (1.17)
/> (1.18)
то есть матрицы /> должны антикоммутироватьмежду собой и с матрицей />, аквадрат каждой из четырех матриц должен быть равен единице.
В уравнении (1.16) символ/> – контравариантный символКронекера, значение которого совпадает с />,где /> – смешанный символКронекера, причем
/>
В практическихприложениях нет необходимости использовать явное представление для /> и />; достаточно знать, что ониэрмитовы и обладают свойствами (1.16) – (1.18). Более того, при решении задачудобнее обходиться без явного вида матриц. Однако их явное представление легкоможно получить. Прежде всего замечаем, что размерность N должна быть четной.
На самом деле. Перепишемсоотношение (1.17) в виде
/>(1.19)
где I – единичная матрица. Взяв детерминантот обеих частей равенства (1.19), получим
/>(1.20)
где учтено, что />. Отсюда />, и число N должно быть четным.
Придадим уравнению Диракаковариантный вид. В записи
/> (1.5)
для уравнения Диракапространственные производные умножены на матрицы, а временные нет. Чтобыустранить это неравноправие, умножим уравнение (1.5) слева на матрицу />:
/>(1.21)
Уравнение примет болеесимметричный вид, если ввести матрицы
/> (1.22)
/> (1.23)
Отметим, что при такомопределении матрица /> эрмитова и />, а матрицы /> – антиэрмитовы, то есть />, и />. Отсюда следует, чтоматрицы /> удовлетворяютперестановочным соотношениям
/>(1.24)
С помощью />-матриц уравнение (1.21)записывается в виде
/> (1.25)
где снова использованосоглашение о суммировании. Уравнение (1.25) и является ковариантной формойуравнения Дирака, в которой пространственные и временные производные входятравноправно.
Для упрощения полученногоуравнения введем обозначения. Обозначим при помощи /> величину
/>(1.26)
где матрицы /> определяются согласно
/> (1.27)
С помощью этогообозначения и в естественной системе единиц уравнение Дирака записывается ввиде
/> (1.28)
Где
/>(1.29)
Ток и плотность можнозаписать с помощью матриц /> следующимобразом. Умножая равенство (1.23) на матрицу /> слева,находим />, а поэтому ток
/> (1.14)
примет следующий вид
/> (1.30)
С помощью «сопряженной»волновой функции />, определенносогласно
/> (1.31)
выражение для токазаписывается в виде
/> (1.32)
Аналогично через матрицы /> записывается и плотность
/> (1.33)
Уравнение для сопряженнойфункции /> получают из уравнения(1.8), вставляя в каждом члене справа от /> множитель/> и используя затемсоотношения (1.11), (1.12) и (1.23). В естественной системе единиц этоуравнение запишется так:
/> (1.34)
2.Матрица Дирака. Свойства матриц Дирака
Матрицы /> образуют совокупностьгиперкомплексных чисел, удовлетворяющих перестановочным соотношениям />.
Рассмотрим 16 элементов:
/>
/>
/>
/>
/>
Все другие произведенияматриц /> с помощью перестановочныхсоотношений могут быть сведены к одной из шестнадцати. Множитель i вставлен для того, чтобы квадраткаждого элемента был равен +1. Обозначим элементы в выписанном порядке припомощи /> (l=1, 2, …,16). Замечаем, что с точностью до множителей /> или /> произведение любых двухэлементов всегда равно третьему. Для каждого элемента />, за исключением />, всегда можно найти такойэлемент />, что />. Это утверждение мыдокажем, но для этого укажем элемент /> длякаждого />. Так, для l=2, …,5, т.е. для элементов второйстроки списка, />; в случаетретьей строки, например, элементу /> соответствует/>, так как />; для всей четвертой строки/>, а для пятой в качестве /> можно выбрать, например, />. Отсюда следует, что следлюбой матрицы /> с /> равен нулю, так как
/>
Шестнадцать элементов />линейно независимы, другимисловами, равенство /> справедливотолько тогда, когда все />.
Докажем. Вычисляя след от/>, получим />. Аналогично,последовательно умножая уравнение на каждую из /> ивычисляя след, получаем, что />, что итребовалось доказать. Отсюда следует, что гиперкомплексные числа нельзяпредставить матрицами размерности, меньшей />,так как при меньшей размерности не существует 16 линейно независимых матриц.Обратно, /> можно представить матрицами,размерностью />, потому что среди этихматриц имеется ровно 16 линейно независимых (так как число элементов /> матрицы равно 16). Этопредставление (как и все ему эквивалентные) оказывается неприводимым. Любоедругое представление может быть приведено к виду
/>
где /> – матрицы размерности />.
Из линейной независимости/> следует, что всякая /> матрица X может быть записана в виде
/> (2.1)
Где
/> (2.2)
Так как />-матрицы неприводимы, то полемме Шура следует, что любая /> матрица,коммутирующая со всеми матрицами />, кратнаединичной матрице.
На самом деле. Пусть X будет матрицей, коммутирующей совсеми матрицами />, аследовательно, и со всеми />.Представим X в виде
/>(2.3)
Пусть /> такая матрица, что />. По предположению, />, а потом, умножая (2.3)слева и справа на />, получаем
/> (2.4)
где множители /> возникают в зависимости оттого, коммутируют или антикоммутируют /> и/> друг с другом. Умножая(2.3) и (2.4) на /> и вычисляя след,получаем, что />. Так как вкачестве /> бралась любая из матриц Г,за исключением единичной, то единственный отличный от нуля коэффициентразложения (2.3) есть />, что итребовалось доказать.
Основная теорема оматрицах /> гласит: если даны двесистемы /> матриц /> и />, удовлетворяющихперестановочным соотношениям
/>(2.5а)
/>(2.5б)
то существует такаянесобственная матрица S, что
/> (2.6)
Явный вид S дается выражением
/> (2.7)
где F – произвольная /> матрица, которая можетбыть выбрана таким образом, чтобы матрица S была несобственной. Совокупность 16 линейно независимых /> построена из матриц /> точно так же, как былипостроены /> из />. Для доказательстватеоремы заметим, что если />, где/>, то тогда />, так что />. Отметим, что вштрихованной системе число /> будеттем же самым, т.е />, так как егозначение определяется только перестановочными соотношениями, а они одинаковыдля обеих совокупностей матриц. Так как /> равнолибо />, либо />, то />. Воспользовавшись для S представлением (2.7), получаем
/>(2.8)
с учетом того, что прификсированном /> матрица />, находящаяся под знакомсуммы по />, пробегает все значения 16элементов алгебры. Это позволило заменить сумму по /> суммойпо />. Таким образом, получаем
/> (2.9)
Так как матрицы /> неприводимы, то по леммеШура матрица S является несобственной. Кроме того,с точностью до множителя матрица Sопределяется однозначно. В самом деле, предположим, что таких матриц S имеется две, скажем /> и />, так что /> и />. Тогда исключая />, получаем />, т.е. что матрица/> коммутирует со всемиматрицами /> и, следовательно, кратенединичной матрице. Отсюда />. Частобывает удобным наложить условие нормировки />,которая определяет матрицу S ужес точностью до множителя />,равного />, или />.
Интересен частный случайсоотношения (2.7), когда />. В этомслучае />, и S есть матрица, кратная единичной: />. Тогда матричный элементсоотношения (2.7) с индексами /> равен
/> (2.10)
Так как это тождествоверно при любом выборе матрицы F, тоиз него следует
/> (2.11)
где /> – некоторая постоянная. Дляопределения этой постоянной свернем индексы /> и/>:
/> (2.12)
откуда />, и, таким образом,приходим к тождеству
/>(2.13)
3.Спиноры
Связь между координатамиточек трехмерного пространства для двух наблюдателей, системы координат которыхповернуты друг относительно друга вокруг общего начала, имеет вид
/> (3.1а)
или
/> (3.1б)
Длина вектора и уголмежду векторами остаются неизменными при вращениях, т.е.
/>(3.2)
Следовательно,
/>(3.3)
т. е. вращенияпредставляются ортогональными матрицами. Из (3.3) следует
/>
так что для матриц,удовлетворяющих (3.3), /> Преобразования,для которых />, называют собственнымипреобразованиями или вращениями, а те, для которых />,несобственными ортогональными преобразованиями. Примером несобственногопреобразования является отражение в начале координат, которое представляетсяматрицей
/> (3.4)
причем />. Преобразование /> соответствует переходу отправой системы координат к левой. Каждое несобственное преобразование /> с /> может быть записано в виде/>, т. е. как отражение />, вслед за которым ужевыполняется вращение; в самом деле,
/>
Совокупность всехвращений в евклидовом трехмерном пространстве образует группу – группувращений. Группа всех вращений вместе с отражениями называется ортогональнойгруппой. Так как каждый элемент группы может быть охарактеризован заданием трехнепрерывно изменяющихся параметров (например, направляющих косинусов оси, вокругкоторых совершается вращение, и угла поворота), то группа вращений являетсянепрерывной трехпараметрической группой. Число параметров группы называетсяразмерностью группы.
Вообще представлениекакой-либо группы G есть отображение(соответствие), сопоставляющее каждому элементу g из Gлинейный оператор Tg,действующий в некотором векторном пространстве V, и притом такое, что сохраняется таблица умножения длягруппы, а единица e группы G отображается тождественнымпреобразованием I в V.
Подпространство V1 пространства V называют инвариантным подпространством относительнопредставления Tg, если все векторы /> в V1 преобразуются по Tg в векторы />, сновапринадлежащие V1, и это справедливо при всех преобразованиях Tg.
Каждое вращение являетсявращением вокруг некоторой оси, так что она может быть характеризовано заданиемоси вращения, т.е. оси, вокруг которой осуществляется поворот и величины углаповорота. Таким образом, вращение может быть задано вектором />, направленным вдоль осивращения и равным по величине углу поворота. Так, вращение вокруг оси 1задается вектором />, вокруг оси 2 –вектором /> и т.д. Элемент группыможет рассматриваться как функция />, т.е. />, и тоже относится кпредставлению: />. Вектор /> соответствуеттождественному преобразованию
/> (3.5)
Рассмотрим бесконечномалые вращения вокруг той или иной оси. Их важность связана с тем, что онипорождают однопараметрические подгруппы и что любое конечное вращение можетбыть построено как последовательность бесконечно малых. Бесконечно малыевращения коммутируют друг с другом, тогда как конечные вращения в общем случаене коммутируют.
Пусть /> будет матрицей поворота наугол /> вокруг оси 3, и пустьопределена матрица
/> (3.6)
Оператор /> называют генераторомвращения вокруг оси 3. При бесконечно малом /> можнозаписать
/> (3.7)
Теперь вращения /> на угол /> вокруг оси 3 можетрассматриваться как результат nповоротов на угол />. Поэтому мыможем записать
/> (3.8)
Аналогичным образом можноопределить генераторы вращений вокруг осей 1 и 2. Так как
/> (3.9)
то явным видом для /> будет
/> (3.10а)
и аналогично
/> (3.10б)
Можно проверить, чтогенераторы /> удовлетворяют следующимперестановочным соотношениям:
/>(3.11)
где /> – полностьюантисимметричный тензор 3-го ранга с компонентами, равными +1, если ljk есть четная перестановка 1 2 3,равными –1, если перестановка нечетная, и равными нулю в остальных случаях.Отметим, что оператор отражения /> коммутируетсо всеми вращениями
/> (3.12)
Бесконечно малый поворотвокруг /> на угол /> может быть записан в виде
/> (3.13)
Соответствующий операторпредставления запишем
/> (3.14)
где /> образуют представлениегенераторов и удовлетворяют перестановочным соотношениям
/> (3.15)
Пусть операторы />. Эти операторы будут эрмитовымии удовлетворяют перестановочным соотношениям для операторов момента количествадвижения
/>(3.16)
В случае группы вращенийсо всеми генераторами коммутирует оператор />,и поэтому он является инвариантом группы. Его собственные значения, какизвестно из теории оператора момента количества движения, равны />/>,где />.Таким образом, каждоенеприводимое представление характеризуется положительным целым или полуцелым j, включая 0. Размерностьнеприводимого представления равна /> прилюбом весе j, целым или полуцелым. Переходя кклассификации неприводимых представлений ортогональной группы, заметим, чтолинейный оператор />, соответствующийоперации отражения />, коммутирует совсеми вращениями.
В теории представлениягрупп, осуществляемых комплексными матрицами, фундаментальное значение имеетлемма Шура, в которой доказывается, что необходимое и достаточное условие длянеприводимости представления состоит в том, чтобы единственными матрицами,коммутирующими со всеми матрицами представления, были матрицы, кратныеединичной.
По лемме Шура в каждомнеприводимом представлении он должен быть кратен единичному оператору. Такимобразом, неприводимые представления ортогональной группы классифицируются паройиндексов />, где второй индексявляется собственным значением />,соответствующий данному представлению. При целых j имеем /> (ибо />), так что существуют дваразличных неприводимых представления ортогональной группы. В одном из них />, в другом />.
При /> представление одномерно,каждый элемент группы отображается единичным элементом, а генераторытождественно равны нулю. Представление, в котором />,назовем скалярным, а то, в котором />, –псевдоскалярным.
При /> представление группывращений двумерно, и генераторы /> могутбыть реализованы эрмитовыми матрицами Паули />,умноженными на />:
/>(3.17)
Они удовлетворяютсоотношению
/>(3.18)
Таким образом, впредставлении веса /> операторповорота на угол /> вокруг оси 3записывается в виде
/>
/>
/>(3.19а)
Аналогично, впредставлении /> записываются иоператоры поворота на угол /> вокругосей 1 и 2:
/>
/>(3.19б)
/>
/>(3.19в)
Отметим, что матрицы /> унитарны и имеютдетерминант, равный единице. Отметим также, что поворот на угол /> вокруг любой оси дает
/>(3.20)
Таким образом,представление двузначно, и соответствие между элементами группы и операторамиможно выразить />.
При /> представление трехмерно, ив качестве матричного представления генераторов /> можновзять матрицы />, определенныевыше в виде (3.10а) и (3.10б). Обычное же квантово-механическое представлениедля /> при /> имеет вид
/>
/> (3.21)
Оно унитарно эквивалентнопредставлению, полученному для />: /> соответствует базису />, вместо обычного декартовабазиса />
Величины />, которые при вращениисистемы координат
/> (3.22)
преобразуются по закону
/> (3.23)
называют скалярами при />, спинорами 1-го ранга при />, векторами при /> и т.д. При бесконечномалых поворотах на угол /> вокруг l-ой оси закон преобразования (3.23)принимает вид
/> (3.24)
Таким образом, скаляресть однокомпонентная величина, которая при вращениях /> преобразуется по закону />. Спинор 1-го ранга являетсядвухкомпонентной величиной
/> (3.25)
которая при бесконечномалых поворотах на угол /> вокруг l-ой оси
/> (3.26)
преобразуется по закону
/> (3.27)
Как было отмечено выше,при вращениях на любой конечный угол спинор 1-го ранга преобразуется при помощиунитарной матрицы размерностью /> и сдетерминантом, равным единице. Наконец, вектор является трехкомпонентнойвеличиной
/> (3.28)
компоненты которой /> при вращении (3.22)преобразуются так же, как сами координаты.
Сопряжение спинора /> выполняется обычнымобразом путем транспонирования и комплексного сопряжения. Таким образом, при /> спинор />, сопряженный к />, имеет вид
/> (3.29)
При бесконечно маломповороте вокруг l-ой оси онпреобразуется по закону
/> (3.30)
4.Общее решение уравнения Дирака
Уравнение Дирака имеетрешение в виде плоских волн:
/>(4.1)
где /> – 4-компонентный спинор,удовлетворяющий уравнению
/>(4.2)
Скалярное произведениедвух спиноров /> и /> записывается в виде
/> (4.3)
Если I – единичная /> матрица, а /> – Матрицы Паули, то тогда /> матрицы
/> (4.4)
эрмитовы иантикоммутируют друг с другом.
При таком определениискалярного произведения гамильтониан /> эрмитов:
/> (4.5)
(здесь учтено, что /> и />), и поэтому егособственные значения действительны. Уравнение (4.2) является системой четырехлинейных однородных уравнений для компонент />.Нетривиальные решения существуют только, если />.Итак, уравнение имеет решение только тогда, когда />,т.е. />. Пусть /> будет решением,соответствующим /> и, следовательно,удовлетворяющим уравнению
/> (4.6)
Если представить решение /> в виде />, где /> и /> имеют по две компоненты, иесли принять для матриц /> и /> представление (4.4), тополучим уравнение для /> и />:
/>(4.7а)
/>(4.7б)
С учетом того, что />, находим из (4.7б)
/>(4.8)
а подставляя этовыражение обратно в (4.7а), получаем уравнение
/>(4.9)
Однако, поскольку /> и
/> (4.10)
то мы приходим кзаключению, что уравнение (4.7а) удовлетворяется тождественно. Таким образом,при каждом значении импульса pимеются два линейно независимых решения с положительной энергией, которыесоответствуют, например, выбору /> в виде /> и />. Это же можно выяснить и несколькодругим путем. Оператор Гамильтона /> коммутируетс эрмитовым оператором
/> (4.11)
Где
/> (4.12)
Оператор /> называется операторомспиральности, или, просто, спиральностью частицы. С физической стороны онсоответствует проекции спина частицы на направление движения. Так каккоммутации H и /> вкачестве решений, то можно выбрать общие собственные функции этих операторов.Но, т.к. />, то собственные значенияоператоров /> равны />. Решение с заданнымимпульсом и фиксированном знаком энергии можно классифицировать и решения сотрицательной энергией, когда />. Вэтом случае снова имеются два линейно независимых решения, соответствующихсобственным значениям +1 и – 1 оператора />.Итак, при фиксированном импульсе pуравнение Дирака имеет четыре линейно независимых решения, характеризующихсярешениями />
Явный вид двух линейнонезависимых решения уравнения Дирака с импульсом p и положительной энергией следующий:
/>(4.13а)
/>(4.13б)
Нормировочные множителиздесь определены из условия />.Отметим, что эти два решения ортогональны друг другу:
/>(4.14)
Выписанные решения неявляются собственными функциями оператора />.Решения с положительной энергией и с определенной спиральностью можно получить,если принять во внимание, что уравнение /> записываетсяв виде
/>(4.15а)
/>(4.15а)
где /> и /> – верхние и нижние парыкомпонент спинора />, а n – единичный вектор, направленный по p, />.Отсюда для нормированных величин /> получаемвыражение
/> (4.16а)
/> (4.16б)
Таким образом,нормированная собственная функция со спиральностью +1 и с положительнойэнергией записывается в виде
/> (4.17)
Заключение
Итак, мы рассмотрелинебольшую тему из раздела квантовой теории поля – уравнение Дирака. Узнали видуравнения Дирака, матрицы Дирака и общее решение этого уравнения.
Без знаний тензорногоанализа трудно было бы понять суть нашей темы.
В тензорном анализепонятие тензора вводится следующим образом. Пусть нам задан какой-нибудь вектор/> и будем его рассматриватьв различных системах координат. Тогда в каждой системе координат скакими-нибудь базисными векторами у нас будет задана своя система чисел, причемпри переходе от одной какой-нибудь системы координат к любой другой эти числапреобразуются по какому-нибудь закону, то говорят в таких случаях, что намзадан тензор.
С помощью некоторыхопераций над тензорами мы и пришли к решению уравнения Дирака.
Списоклитературы
1. Швебер С. Введениев релятивистскую квантовую теорию поля. М.: Изд-во ин. лит-ры, 1963, 844 с.
2. Рашевский П.К. Введениев риманову геометрию и тензорный анализ. М.-Л.: ОНТИ, 1936, 200 с.
3. Димитриенко Ю.И. Тензорноеисчисление. М.: Высш. шк., 2001, 575 с.
4. Мак-Конел А.Дж. Введениев тензорный анализ. М.: Физматгиз, 1963, 412 с.