Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми
1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції
Кореляційним моментом (коваріацією)випадкових величин /> і /> називається математичнесподівання добутку відповідних ним центрованих величин:
/> . (1)
Властивості коваріації:
1. />
2. />
3. />
Перші дві з них очевидні, останнядоводиться також легко:
/>
Коефіцієнтом кореляції називаєтьсякореляційний момент нормованої випадкової величини:
/>
Теорема. Для будь-яких випадкових величин />,/> коефіцієнт кореляції /> причому знак рівностіможливий тоді і тільки тоді, коли /> і /> з імовірністю 1 пов'язанілінійно.
Доведення. Обчислимо дисперсію лінійноїкомбінації випадкових величин /> і /> з довільним коефіцієнтом /> та врахуємо, що звластивостей дисперсії вона є невід'ємною.
При цьому отримаємо невід’ємнуквадратичну форму відносно змінної /> зневід’ємним коефіцієнтом при />.
/>
Це можливо лише за умови, що їїдискримінант />. З урахуваннямвизначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:
/>
або
/>
або мовою середніх квадратичних відхиленьвипадкових величин
/>.
Тобто
/>
Доведемо тепер другу частину теореми: /> тоді і тільки тоді, коли /> і /> з імовірністю 1 пов'язанілінійно.
Необхідність:
/>
Достатність:
/>, />,/>,
/>, />.
Випадкові величини x,h називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнюєнулю. Якщо випадкові величини x, h незалежні, то вони некорельовані.
/>.
Зворотне твердження, взагалі кажучи, немає місця.
Наприклад,
/>.
/>
/>.
Для опису зв'язків, що існують міжпроекціями випадкового вектора (x,h), крім коваріації /> можна використовуватичислові характеристики умовних законів розподілу />,/>.
Умовним середнім значенням /> і умовною дисперсією /> випадкової величини x за умови h =y називаються величини:
/>,
/>.
Аналогічно визначаються характеристики /> і />.
Для опису випадкового вектора такожвводять початкові і центральні моменти:
/>, />.
2. Комплексна випадкова величина, характеристичні функції
Комплексна випадкова величина, щовводиться за формулою />, є іншимспособом опису випадкового вектора (/>,/>).
Випадкові величини /> і /> називаються незалежними,якщо незалежними є випадкові вектори (/>,/>) і (/>,/>).
/>,
/>,
/>,
/>,
/>
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Характеристичною функцією випадковоївеличини /> називається середнєзначення виразу />.
/>.
Функцію /> називаютьтакож характеристичною функцією відповідного закону розподілу:
/> (2)
Як видно з (2), характеристична функція /> є перетворенням Фур'є відповідноїїй щільності імовірності:
/>
Властивість 1. Придодаванні незалежних випадкових величин їхні характеристичні функції перемножуються.
/>
Властивість 2. Розкладанняхарактеристичної функції в ряд за ступенями /> дозволяєзнайти всі моменти />, />, />,…випадкової величини />.
/>
3. Види збіжності випадкових величин
Послідовність випадкових величин x1, x2…називається такою, що збігається звипадковою величиною x в розумінні середнього квадратичного,якщо границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхилення /> від /> прямує до нуля за умови,що />, тобто
/>.
Величина xназивається ще СК границею послідовності {xn}.
/> чи />.
Оскільки
/>,
СК збіжність рівносильна виконанню умов:
/>.
Послідовність випадкових величин /> збігається з випадковоювеличиною /> при /> за імовірністю, якщо длякожного будь-якого e>0
/>,
/>.
Збіжність послідовності /> до випадкової величини /> за ймовірністю символічнопозначається таким чином:
/>.
Для будь-якої випадкової величини /> при будь-якому e>0
/>.
/>
/>.
Наслідок.
/>
Зі збіжності у СК випливає збіжність займовірністю.
4. Граничні теореми теорії ймовірностей
Нерівність Чебишева.
/>.
/> (3)
Як випливає з нерівностей (3) зізменшенням дисперсії />, основна частинаплощі під кривої fx(x) виявляється зосередженою в околіточки />.
/>
Рисунок 1
Внаслідок своєї загальності нерівністьЧебишева дає дуже грубу оцінку ймовірності, що входить до неї.
Наприклад, />.
/>, якщо />.
Вважають, що послідовністьфункцій розподілу />, />, />,...., />,… збігається до функціїрозподілу />, якщо
/>
в усіх точках неперервності.
Якщо />,то />.
Практичне використання теоріїймовірностей засновано на такому принципі: випадкову подію, ймовірність якоїдосить близька до 1, можна вважати достовірною та неможливою при дуже малійймовірності.
Теореми, що забезпечують виконання такоїсхеми обробки даних, називаються законами великих чисел.
Теорема Чебишева
Нехай h1, h2…–послідовність попарно незалежнихвипадкових величин, дисперсії яких обмежені
/>, k=1,2 …
Тоді при будь-якому e>0
/>.
/>
Теорема Бернуллі.
Нехай xn – число появ деякої події А в серії з n незалежних іспитів,р – ймовірність появи А в окремому іспиті.
Тоді
/>
тобто для кожного e>0
/>
/>
Застосовуючи теорему Чебишева, одержимоформулу, що очікуємо при необмеженій кількості випробувань.
/>®р.
Збіг теоретичних розрахунків іззакономірностями, що фактично спостерігаються, свідчить про правильну схемупобудови теорії ймовірностей. збіжність випадковийвеличина ймовірність
Центральна гранична теорема.
Нехай x1,x2,…послідовність незалежних випадковихвеличин, що мають дисперсію D1,D2,…Dn…Третіабсолютні центральні моменти їх обмежені mk=M|xk-Mxk|3£C.
Тоді випадкова величина
/>
розподілена асимптотично нормально ізсереднім /> і />, тобто
Р(a
при n®¥.
Теорема Муавра-Лапласса (окремийвипадок).
Нехай xn – число появ деякої події А у серії з n незалежнихвипробувань, р – ймовірність появи події А в окремому випробуванні. Тоді
/>
Теорема дозволяє при досить великих nодержати ймовірність:
/>
Приклад 1. Обчислитиймовірність Р(715
/>