1. Численные методы решения системлинейных уравнений.
1.1 Заданная система
/>
1.2 Метод Гаусса
/> (1.1.)
Прямой ход
Нормируем первое уравнение системы,разделив все члены уравнения на его первый коэффициент при />:
/> (1.2.)
Умножим нормированное уравнение (1.2) накоэффициенты при х1 оставшихся уравнений системы (1.1).
/>(1.3.)
/> (1.4.)
/> (1.5.)
Вычтем полученные уравнения (1.3.), (1.4.),(1.5.) из второго, третьего и четвёртого уравнения системы (1.1.)соответственно, чтобы исключить из системы х1:
/>
/> (1.6.)
/>
/>
/> (1.7.)
/>
/>
/> (1.8.)
/>
Получим новую систему уравнений:
/> (1.9.)
Рассмотрим систему уравнений (1.9).
Решим систему уравнений без первогоуравнения системы (1.9.).
/> (1.10.)
Нормируем первое уравнение системы (1.10.),разделив все члены уравнения на коэффициент при />:
/> (1.11.)
Умножаем нормированное уравнение (1.11.)на коэффициент при х2 оставшихся уравнений:
/> (1.12.)
/> (1.13.)
Вычтем полученные уравнения (1.12.), (1.13.)из второго и третьего уравнения системы (1.10.) соответственно, чтобы исключитьиз системы х2:
/>
/> (1.14.)
/>
/>
/> (1.15.)
/>
Получим новую систему уравнений:
/> (1.16.)
Рассмотрим систему (1.16) без первогоуравнения:
/> (1.17.)
Нормируем первое уравнение системы (1.17.).
/> (1.18.)
Умножаем полученное уравнение (1.18.) накоэффициент при х4 второго уравнения системы (1.17.):
/> (1.19.)
Вычтем полученное уравнение (1.19.) извторого уравнения системы (1.18.):
/>
/> (1.20.)
/>
Получим новую систему линейных уравнений:
/> (1.21.)
Рассмотрим последнее уравнение системы(1.21.).
Нормируем данное уравнение:
/> (1.22.)
В результате выполненных действий система(1.1.) приведена к треугольному виду:
/> (1.23.)
Обратный ход
x4 = 0,327;
Найдём /> изтретьего уравнения системы (1.23.):
x3 = 0,210+0,181·0,327=0,269;
Найдём /> извторого уравнения системы (1.23.):
x2 = 0,525–0,346·0,269+0,508·0,327 = 0,598;
Найдём /> изпервого уравнения системы (1.23.):
x1 = -0,231–0,231·0,598–0,231·0,269+0·0,327 = -0,431
Решением системы линейных уравненийявляются значения неизвестных:
Ответ: x1 = -0,431;
x2 = 0,598;
x3 = 0,269;
x4 = 0,327.
1.3 Метод простой итерации
/>
Выполним проверку на сходимость
|a11|>|a12|+|a13|+|a14| → |13|>|3|+|3|+|0|
|a22|>|a21|+|a23|+|a24| → |14|>|1|+|5|+|-7|
|a33|>|a31|+|a32|+|a34| → |18|>|-2|+|1|+|-4|
|a44|>|a41|+|a42|+|a43| → |14|>|3|+|3|+|-4|
Условия сходимости выполняются,следовательно, решение может быть найдено с определенной точностью за некотороечисло итераций.
Вычислим значения неизвестных системылинейных алгебраических уравнений с точностью ε /> 0,001.
Примем за нулевое приближение неизвестныхзначения, равные нулю, т.е.
x1(0) =0; x2(0) =0; x3(0) =0; x4(0) =0;
Подставим полученные значения в итерационныеформулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.
/>= -0,231
/>= 0,500
/>= 0,278
/>= 0,286
Выполним проверку полученных значений:
|x1(1)-x1(0)|= |-0,231–0| = 0,231 /> ε – нет
|x2(1)-x2(0)|= |0,500–0| = 0,500 /> ε – нет
|x3(1)-x3(0)|= |0,278–0| = 0,278 /> ε – нет
|x4(1)-x4(0)|= |0,286–0| = 0,286 /> ε – нет
Выполним вторую итерацию.
Подставим значения неизвестных, полученныев первой итерации, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при второмприближении.
/>= -0,410
/>= 0,560
/>= 0,288
/>= 0,308
Выполним проверку полученных значений:
|x1(2)-x1(1)|= |-0,410+0,231| = 0,179 /> ε – нет,
|x2(2)-x2(1)|= |0,560–0,500| = 0,060 /> ε – нет,
|x3(2)-x3(1)|= |0,288–0,278| = 0,010 /> ε – нет,
|x4(2)-x4(1)|= |0,308–0,286| = 0,022 /> ε – нет.
Выполним третью итерацию.
Подставим значения, полученные во второмприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьемприближении.
/>= -0,427
/>= 0,580
/>= 0,270
/>= 0,336
Выполним проверку полученных значений:
|x1(3)-x1(2)|= |-0,427+0,410| = 0,017 /> ε – нет,
|x2(3)-x2(2)|= |0,580+0,560| = 0,020 /> ε – нет,
|x3(3)-x3(2)|= |0,270–0,288| = 0,018 /> ε – нет,
|x4(3)-x4(2)|= |0,336–0,308| = 0,028 /> ε – нет.
Выполним четвёртую итерацию.
Подставим значения, полученные в третьемприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвертомприближении.
/>=-0,427
/>= 0,602
/>= 0,273
/>= 0,330
Выполним проверку полученных значений:
|x1(4)-x1(3)|= |-0,427+0,427| = 0,000 /> ε – да,
|x2(4)-x2(3)|= |0,602–0,580| = 0,022 /> ε – нет,
|x3(4)-x3(3)|= |0,273–0,270| = 0,003 /> ε – нет,
|x4(4)-x4(3)|= |0,330–0,336| = 0,006 /> ε – нет.
Выполним пятую итерацию.
Подставим значения, полученные в четвертомприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятомприближении.
/>= -0,433
/>= 0,598
/>= 0,270
/>= 0,326
Выполним проверку полученных значений:
|x1(5)-x1(4)|= |-0,433+0,427| = 0,006 /> ε – нет,
|x2(5)-x2(4)|= |0,598–0,602| = 0,004 /> ε – нет,
|x3(5)-x3(4)|= |0,270–0,273| = 0,003 /> ε – нет,
|x4(5)-x4(4)|= |0,326–0,330| = 0,004 /> ε – нет.
Выполним шестую итерацию.
Подставим значения, полученные в пятомприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при шестомприближении.
/>= -0,431
/>= 0,597
/>= 0,269
/>= 0,327
Выполним проверку полученных значений:
|x1(6)-x1(5)|= |-0,431+0,433| = 0,002 /> ε – нет,
|x2(6)-x2(5)|= |0,597–0,598| = 0,001 /> ε – да,
|x3(6)-x3(5)|= |0,269–0,270| = 0,001 /> ε – да,
|x4(6)-x4(5)|= |0,327–0,326| = 0,001 /> ε – да.
Выполним седьмую итерацию.
Подставим значения, полученные в шестомприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при седьмомприближении.
/>=-0,431
/>= 0,598
/>= 0,269
/>= 0,327
Выполним проверку полученных значений:
|x1(7)-x1(6)|= |-0,431+0,431| = 0,000 /> ε – да,
|x2(7)-x2(6)|= |0,598–0,597| = 0,001 /> ε – да,
|x3(7)-x3(6)|= |0,269–0,269| = 0,000 /> ε – да,
|x4(7)-x4(6)|= |0,327–0,327| = 0,000 /> ε – да.
Необходимая точность достигается в седьмойитерации.
Ответ: х1 = -0,431,
х2 = 0,598,
х3 = 0,269,
х4 = 0,327.
1.4 Метод Зейделя
/>
Условия сходимости было провереновыше, оно выполняется.
Точность вычисления ε /> 0,001.
Примем за нулевое приближениенеизвестных значений, равные нулю.
x1(0) =x2(0) =x3(0) =x4(0) =0;
Подставим полученные значения витерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.
/>= -0,231
/>= 0,517
/>= 0,223
/>= 0,288
Выполним проверку полученных значений:
|x1(1)-x1(0)|= |-0,231–0| = 0,231 /> ε – нет
|x2(1)-x2(0)|= |0,517–0| = 0,517 /> ε – нет
|x3(1)-x3(0)|= |0,223–0| = 0,223 /> ε – нет
|x4(1)-x4(0)|= |0,288–0| = 0,288 /> ε – нет
Выполним вторую итерацию.
Подставим значения, полученные в первомприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при второмприближении.
/>=-0,402
/>= 0,593
/>= 0,264
/>= 0,320
Выполним проверку полученных значений:
|x1(2)-x1(1)|= |-0,402+0,231| = 0,171 /> ε – нет,
|x2(2)-x2(1)|= |0,593–0,517| = 0,076 /> ε – нет,
|x3(2)-x3(1)|= |0,264–0,223| = 0,041 /> ε – нет,
|x4(2)-x4(1)|= |0,320–0,288| = 0,032 /> ε – нет.
Выполним третью итерацию.
Подставим значения, полученные во втором приближении,в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьемприближении.
/>=-0,429
/>= 0,596
/>= 0,268
/>= 0,326
Выполним проверку полученных значений:
|x1(3)-x1(2)|= |-0,429+0,402| = 0,027 /> ε – нет,
|x2(3)-x2(2)|= |0,596–0,593| = 0,003 /> ε – нет,
|x3(3)-x3(2)|= |0,268–0,264| = 0,004 /> ε – нет,
|x4(3)-x4(2)|= |0,326–0,320| = 0,006 /> ε – нет.
Выполним четвёртую итерацию.
Подставим значения, полученные в третьемприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвёртомприближении.
/>= -0,430
/>= 0,598
/>= 0,269
/>= 0,327
Выполним проверку полученных значений:
|x1(4)-x1(3)|= |-0,430+0,429| = 0,01 /> ε – да,
|x2(4)-x2(3)|= |0,598–0,596| = 0,002 /> ε – нет,
|x3(4)-x3(3)|= |0,269–0,268| = 0,001 /> ε – да,
|x4(4)-x4(3)|= |0,327–0,326| = 0,001 /> ε – да.
Выполним пятую итерацию.
Подставим значения, полученные в четвёртомприближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятомприближении.
/>= -0,431
/>= 0,598
/>= 0,269
/>= 0,327
Выполним проверку полученных значений:
|x1(5)-x1(4)|= |-0,431+0,430| = 0,001 /> ε – да,
|x2(5)-x2(4)|= |0,598–0,598| = 0,000 /> ε – да,
|x3(5)-x3(4)|= |0,269–0,269| = 0,000 /> ε – да,
|x4(5)-x4(4)|= |0,327–0,327| = 0,000 /> ε – да.
Необходимая точность достигается в пятой итерации.
Ответ: х1 = -0,431,
х2 = 0,598,
х3 = 0,269,
х4 = 0,327.
2. Численные методы аппроксимации иинтерполяции функций
2.1 Задание
Найти интерполяционный полином второгопорядка
/>
методом неопределённых коэффициентов,используя данные нулевого, второго и четвёртого опытов.
Найти аппроксимирующий полином первогопорядка
/>/>
методом наименьших квадратов.
Исходные данные
0 1 2 3 4
xi 0,1 0,3 0,5 0,8 1
yi 0,3 0,55 0,65 0,4 0,25
2.2 Метод неопределенных коэффициентов
Метод неопределённых коэффициентовреализуется подстановкой полинома /> всистему:
/>
где 0, 2, 4 номера заданных точек.
Подставим значения неизвестных из таблицыв систему:
/> (2.1.1.)
Решим полученную систему методом Гаусса.
/> (2.1.2.)
Прямой ход
Все уравнения системы являютсянормированными, поэтому сразу вычтем из второго и третьего уравнения первое,чтобы исключить из системы а0.
/>
/> (2.1.3.)
/>
/>
/> (2.1.4.)
/>
В итоге получаем систему уравнений:
/> (2.1.5.)
Рассмотрим систему (2.1.5.) без первогоуравнения.
/> (2.1.6.)
Нормируем первое уравнение системы (2.1.6.):
/> (2.1.7.)
Умножим уравнение (2.1.7) на коэффициентпри а1 второго уравнения системы (2.1.6.):
/> (2.1.8.)
Вычтем полученное уравнение (2.1.8.) извторого уравнения системы (2.1.6.), чтобы исключить из системы а1:
/>
/> (2.1.9.)
/>
В результате получим эквивалентную системулинейных алгебраических уравнений
/> (2.1.10.)
Нормируем последнее уравнение системы(2.1.10.)
/> (2.1.11.)
Получим систему, приведенную ктреугольному виду.
/> (2.1.12.)
Обратный ход
а2 = -1,861;
а1 = 0,875–0,6·(-1,861) = 1,992;
а0= 0,3–0,01·(-1,861) – 0,1·1,992=0,119
В итоге мы получаем интерполяционныйполином второго порядка:
у = />=-1,861 х2+1,992 х+0,119
Построим график интерполяционногополинома. Для этого вычислим его значения в определенных точках.
xi 0,2 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 0,9
yi 0,44 0,55 0,62 0,64 0,60 0,52 0,40
2.3 Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов реализуется спомощью, так называемой системы нормальных уравнений, имеющих матричный вид:
/>
/> = 2,7
/>= 1,99
/> = 2,15
/>
/>
/>
Выполним умножение матриц. Системанормальных уравнений примет вид:
/> (2.2.1)
Решим систему методом Гаусса.
Прямой ход
Нормируем первое уравнение системы (2.2.1)
/> (2.2.2)
Умножим полученное уравнение (2.2.2) накоэффициент при а0во втором уравнении
/> (2.2.3)
Вычтем уравнение (2.2.3) из второгоуравнения системы (2.2.1), чтобы исключить а0из системы.
/>
/> (2.2.4)
0,532а1 = -0,071
Получим новую систему уравнений:
/> (2.2.5)
Нормируем второе уравнение системы (2.2.5)
/> (2.2.6)
В результате получим систему линейныхуравнений треугольного вида.
/> (2.2.7)
Обратный ход:
а1 = -0,133
а0= 0,43–0,54·(-0,133) = 0,502
Решив полученную систему, мы получиликоэффициенты аппроксимирующего полинома первого порядка.
Полином будет иметь вид:
y = -0,133х+0,502
3. Численные методы решений нелинейныхуравнений.
3.1 Исходные данные
Уравнение
Отрезок
Шаг
/> [0; 1] 0,2
3.2 Отделение корней
Определим корни уравнения /> на отрезке [0; 1] с шагом 0,2
Подставим в функцию значение х, равное 0:
/>
Подставим в функцию значение х, равное 0,2:
/>
Подставим в функцию значение х, равное 0,4:
/>
Подставим в функцию значение х, равное 0,6:
/>
Подставим в функцию значение х, равное 0,8:
/>
Подставим в функцию значение х, равное 1:
/>
Из анализа полученных данных следует, чтофункция меняет знак на интервале [0,4; 0,6], следовательно, этот частичныйинтервал является интервалом изоляции корня, то есть на этом интервалесуществует корень, и при том единственный.
3.3 Уточнение корней методом половинногоделения
Уточним корни уравнения с точностью ε/> 0,001
1) Определим новое приближение корня к середине отрезка
/>
Определим значение функции в точке с:
/>
Выполним проверку |f(c)| /> ε → |0,066| /> 0.001 – нет
Найдем интервал, в котором находитсякорень:
f(a)∙f(c) = f (0,4)∙f (0,5) = (+)∙(+) = (+)
Смена знака не происходит, значит на этоминтервале корня нет, следовательно корень находится на правой половинеинтервала изоляции корня.
Принимаем а = c = 0,5
В качестве нового приближения выбираеминтервал [a; b] = [0,5; 0,6]
2) Определим новое приближение корня к середине отрезка
/>
Определим значение функции в точке с:
/>
Выполним проверку |f(c)| /> ε → |0,013| /> 0.001 – нет
Найдем интервал, в котором находитсякорень:
f(a)∙f(c) = f (0,5)∙ f (0,55) = (+)∙(+)= (+)
Смена знака не происходит, значит на этоминтервале корня нет, следовательно корень находится на правой половинеинтервала изоляции корня.
Принимаем a = c = 0,55
В качестве нового приближения выбираеминтервал [a; b] = [0,55; 0,6]
3) Определим новое приближение корня к середине отрезка
/>
Определим значение функции в точке с:
/>
Выполним проверку |f(c)| /> ε → |-0,013| /> 0.001 – нет
Найдем интервал, в котором находитсякорень:
f(a)∙f(c) = f (0,55)∙ f (0,575) = (+)∙(–)= (–)
Смена знака произошла, следовательно,корень находится на левой половине интервала изоляции корня.
Принимаем b = c =0,575
В ачестве нового приближения выбираеминтервал [a; b] = [0,55; 0,575]
4) Определим новое приближение корня к середине отрезка
/>
Определим значение функции в точке с:
/>
Выполним проверку |f(c)| /> ε → |0,000| /> 0,001 – да.
Необходимое условие достигается на четвёртомприближении, где х = 0,563
Ответ: х = 0,563
3.4 Уточнение корней методом Ньютона
За начальное приближение принимается тотиз концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотрипункт 3.2).
Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Проверим условие сходимости в точке b = 0,6:
/>
/>
/>
1) За начальное приближение к корню принимаем значение х0,равное 0,6
Вычислим первое приближение:
/>
/>
/>
/>
Погрешность вычисления:
/>
Приближенное значение корня х = 0,563
Ответ: х = 0,563
3.5 Уточнение корней методом простыхитераций
Приведем уравнение к каноническому виду.
/>
За начальное приближение принимается тотиз концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотрипункт 3.2).
Проверим условие сходимости в точке а =0,4:
/>
/>
/>
Примем за нулевое приближениенеизвестных значение />
Выполнимпервую итерацию
Найдем значение />
/>
Выполним проверку:
|x1-x0| = |0,5484 – 0,4| = 0,1484
Выполнимвторую итерацию
Найдем значение />
/>
Выполним проверку:
|x2-x1| = |0,5612 -0,5484| = 0,0128 /> 0,001 – нет
Выполним третью итерацию
Найдем значение />
/>
Выполним проверку:
|x3-x2| = |0,5627 – 0,5612 | = 0,0015 /> 0,001 – нет
Выполним четвёртую итерацию
Найдем значение />
/>
Выполним проверку:
|x1-x0| = |0,5629 – 0,5627| = 0,0002 /> 0,001 – да
Приближенное значение корня х = 0,5629
4. Численные методы вычисленияопределенных интегралов
4.1 Исходные данные
Интеграл
Шаг
Точность
/>
/> 0,001
Вычислим интеграл по формулеНьютона-Лейбница.
/>
Вычислим значения подынтегральной функциив точках разбиения xi, где i = 0,1,2..n.
/>0 />0,4142
/>0,0985 />0,5345
/>0,1989 /> 0,6682
/>0,3033 />0,8207
/>1
Результаты сведены в таблицу:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
f(x) 0,0985 0,1989 0,3033 0,4142 0,5345 0,6682 0,8207 1
4.2 Вычислим интеграл методом левыхпрямоугольников
Iлп = h·[f(x0) + f(x1)+ f(x2) + … +f(xn-1)] = />·[0+0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207]= 0,1491
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1491| = 0,0239 />= 0,001 – нет.
4.3 Вычислим интеграл методом правыхпрямоугольников
Iпп = h·[f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xn)] = />·[0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207+1]= 0,1982
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1982| = 0,0252 />= 0,001 – нет.
4.4 Вычислим интеграл методом центральныхпрямоугольников
Вычислим значения подынтегральной функциив центре каждого выделенного интервала:
/>0,0491 />0,4730
/>0,1483 />0,5994
/>0,2505 /> 0,7416
/>0,3578 />0,9063
Результаты сведены в таблицу:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
fс(x) 0,0491 0,1483 0,2505 0,3578 0,4730 0,5994 0,7416 0,9063
Iцп = h·[fс(x1) + fс(x2) + fс(x3) + … + fс(xn)]= />·[0,0491+0,1483+0,2505+0,3578+0,4730+
+0,5994+0,7416+0,9063] = 0,1731
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1731| = 0,0001 />= 0,001 – да.
4.5 Вычислим интеграл методом трапеций
Iпп = h·[/> + f(x1) + f(x2) + …+ f(xn-1)] = />·[/>+0,0985+0,1989+0,3033+
+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1737
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1737| = 0,0007 />= 0,001 – да.
4.6 Вычислим интеграл методом парабол
Iпп = />·[f(x0) + f(xn) + 4·(f(x1) + f(x3) + … + f(xn-1)) + 2·(f(x2) + f(x4) + … + f(xn-2))] =/>·[0 +1 + 4·(0,0985+0,3033+0,5345+0,8207) + 2·(0,1989+0,4142+0,6682)]= 0,1733
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1733| = 0,0003 />= 0,001 – да.
5. Численные методы решений обыкновенныхдифференциальных уравнений первого порядка
5.1 Исходные данные
Уравнение
Начальные условия
Интервал
Шаг
/> y(0) = 2,2 [0; 0,25] 0,05
Решим дифференциальное уравнение первогопорядка /> в интервале [0; 0,25] с шагом 0,05 иначальными условиями y(0) = 2,2
5.2 Метод Эйлера
Запишем итерационные формулы методаЭйлера.
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 0:
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 1:
/>
/>
Вычислим значения функций при i=2:
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 3:
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 4:
/>
/>
Результаты расчетов сведены в таблицу:
i
xi
yi 2,2 1 0,05 2,58 2 0,10 3,0312 3 0,15 3,5683 4 0,20 4,2094 5 0,25 4,9767
5.3 Модифицированный метод Эйлера
Запишем итерационные формулымодифицированного метода Эйлера.
/> />
Вычислим значения функций при i= 0:
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 1:
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 2:
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 3:
/>
/>
Вычислим значения функций при i= 4:
/>
/>
Результаты расчетов сведены в таблицу:
№
xi+1/2
yi+1/2
xi
yi 2,2 1 0,025 2,3900 0,05 2,6152 2 0,075 2,8434 0,10 3,1145 3 0,1250 3,3893 0,15 3,7163 4 0,1750 4,0479 0,20 4,4434 5 0,2250 4,8446 0,25 5,3241
5.4УсовершенствованныйметодЭйлера– Коши
Запишем итерационные формулы улучшенногометода Эйлера – Коши.
/>
/>
Вычислим значения коэффициентов и функцийпри i= 0:
/>
/>
Вычислим значения коэффициентов и функцийпри i= 1:
/>
/>
Вычислим значения коэффициентов и функцийпри i= 2:
/>
/>
Вычислим значения коэффициентов и функцийпри i= 3:
/>
/>
Вычислим значения коэффициентов и функцийпри i= 4:
/>
/>
Результаты расчетов сведены в таблицу:
численный уравнениеинтерполяция интеграл
№
К1i
К2i
xi
yi 0,38 0,4512 2,2 1 0,4565 0,5432 0,05 2,6156 2 0,5497 0,6556 0,1 3,1154 3 0,6635 0,7931 0,15 3,7180 4 0,0829 0,9619 0,2 4,4463 5 0,25 5,3287