Экзаменационный реферат погеометрии
Выполнил ученик 11 «б» класса
Шкерин Андрей Владимирович
МОУ «Гагинская средняяобщеобразовательная школа»
Гагино 2008
Введение
На протяжении многих веков человечество не переставалопополнять свои научные знания в той или иной области науки. Стереометрия, какнаука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со многими из научныхдисциплин. К таким дисциплинам относятся: математика, физика, информатика ипрограммирование, а также химия и биология. В последних стоит проблема изучениямикромира, который представляет собой сложнейшую комбинацию различных частиц впространстве относительно друг друга. В архитектуре постоянно используютсятеоремы и следствия из стереометрии.
Множество учёных геометров, да и простых людей,интересовались такой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей название сфера.Удивительно, но шар является единственным телом, обладающим меньшей площадьюповерхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб,призма или прочие всевозможные многогранники. С шарами мы имеем дело ежедневно.К примеру, почти каждый человек пользуется шариковый ручкой в конец стержнякоторой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трениямежду ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар «выносит»очередную порцию чернил. В автомобильной промышленности изготавливаются шаровыеопоры, являющиеся очень важной деталью в автомобиле и обеспечивающей правильныйповорот колёс и устойчивость машины на дороге. Элементы машин, самолётов,ракет, мотоциклов, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся постояннымвоздействиям воды или воздуха, преимущественно имеют какие либо сферическиеповерхности, называемые обтекателями.
Приращение знаний о шаре и сфере привело квозникновению нового раздела математики — сферической геометрии, в которойизучаются фигуры, расположенные на сфере. В своей работе постараюсь изложитьосновные элементы сферической геометрии, рассмотреть важнейшие закономерности вэтой области знания.
Объектом работы является сферическая геометрия какодин из разделов геометрии. Предмет работы — основные закономерности иособенности сферической геометрии.
Цель работы — выявить основные элементы сферическойгеометрии и описать важнейшие положения данной области научного знания.
Для осуществления цели необходимо решить ряд задач:
Охарактеризовать специфику сферической геометрии какобласти математики;
Определить основные понятия сферической геометрии;
Описать важнейшие положения сферической геометрии;
Рассмотреть особенности фигур, расположенных на сфере.
Структура работы обусловлена целью и задачамиисследования. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы,заключения и списка литературы.
Глава 1. Шар и сфера
1.1. Шар и шаровая поверхность
Шаровой или сферической поверхностью называетсягеометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки О (центра)на заданное расстояние R (радиус). Все пространство по отношению к даннойшаровой поверхности разбивается на внутреннюю область (куда можно присоединитьи точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей называется шаром.Итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О(центра) на расстояние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шароваяповерхность является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.
Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращаяокружность (круг) вокруг одного из диаметров.
Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис.1), лежащую в плоскости λ. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогдакаждая из точек окружности, например М, в свою очередь опишет при вращенииокружность, имеющую своим центром точку М0—проекцию вращающейся точки М на осьвращения АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. РадиусОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять своювеличину во все время вращения, и потому точка М все время будет находиться насферической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность можетбыть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.
Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, чтодля получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего егодиаметра.
Эти геометрические объекты, так же как окружность икруг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли,появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальнойнауки – сферики (сферическая геометрия), изучающей расположенные на сферефигуры.
1.2. Сферическая геометрия
Сферическая геометрия — раздел математики, в которомизучаются фигуры, расположенные на сфере. Она представляет собой своеобразныймост между планиметрией и стереометрией, так как сферические многоугольникиполучаются в пересечении сферы с многогранными углами с вершинами в центресферы, сферические окружности – в пересечении сферы с коническими поверхностямии т.д. Сферическая геометрия возникла в связи с потребностями астрономии.По-видимому, первым обращением человечества к тому, что потом получит названиесферической геометрии, была планетарная теория греческого математика Евдокса(ок. 408–355гг. до н.э.), одного из учеников Академии Платона. Это была попыткаобъяснить движение планет вокруг Земли с помощью четырех вращающихся концентрическихсфер, каждая из которых имела особую ось вращения с концами, закрепленными наохватывающей сфере, к которой, в свою очередь, были «прибиты» звезды. Такимобразом объяснялись замысловатые траектории планет (в переводе с греческого«планета» – блуждающая). Именно благодаря такой модели древнегреческие ученыеумели достаточно точно описывать и предсказывать движения планет. Это былонеобходимо, например, в мореплавании, а так же во многих других «земных»задачах, где нужно было учитывать, что Земля – не плоский блин, покоящийся натрех китах.
Значительный вклад в сферическую геометрию внесМенелай из Александрии жившего в 1 веке. Его труд Сферика стал вершинойдостижений греков в этой области. В Сферике рассматриваются сферическиетреугольники – предмет, которого нет у Евклида. Менелай перенес на сферуевклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, прикотором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолженияхлежат на одной прямой. Соответствующая теорема для плоскости в то время былауже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теоремаМенелая, причем, в отличие от Птолемея, у которого в работах немало вычислений,трактат Менелая геометричен строго в духе евклидовой традиции.
Таким образом, потребности человека в астрономическихзнаниях, привели к возникновению особой области математической науки —сферическая геометрия. Эта наука получила широкое распространение в настоящеевремя.
Глава 2. Элементысферической геометрии
2.1. Основные положения сферической геометрии
Именно большим окружностям и отводится роль прямых всферической геометрии. Как правило, через две точки на сфере, как и наплоскости, можно провести только одну сферическую прямую. Исключение составляютдиаметрально противоположные точки: например, через полюсы на глобусе проходитбесконечно много меридианов. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает всечении окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то в сеченииполучается так называемый большой круг. Через любые две точки на сфере, кромедиаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. (Наглобусе примером большого круга служит экватор и все меридианы.) Черездиаметрально противоположные точки проходит бесконечное количество больших кругов.Меньшая дуга AmB (рис. 2) большого круга является кратчайшей из всех линий насфере, соединяющих заданные точки. Такая линия называется геодезической.
Рис.2
/>
Геодезические линии играют на сфере ту же роль, что ипрямые в планиметрии. Многие положения геометрии на плоскости справедливы и насфере, но, в отличие от плоскости, две сферические прямые пересекаются в двухдиаметрально противоположных точках. Таким образом, в сферической геометриипросто не существует понятия параллельности. Еще одно отличие – сферическаяпрямая замкнута, т.е. двигаясь по ней в одном и том же направлении, мы вернемсяв исходную точку, точка не разбивает прямую на две части. Вот ещё удивлениесферической геометрии: треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла,если, например, он ограничен двумя перпендикулярными меридианами и экватором.
Рис.3
/>
Теперь познакомимся с понятиями сферической геометрии.При этом мы будем постоянно сравнивать их с понятиями обычной геометрии.
/>2.2. Прямые, отрезки,расстояния и углы на сфере
Прямыми на сфере считаются большие окружности. Еслидве точки принадлежат большой окружности, то длина меньшей из дуг, соединяющихэти точки, определяется как сферическое расстояние между этими точками, а самадуга – как сферический отрезок. Диаметрально противоположные точки соединеныбесконечным числом сферических отрезков – больших полуокружностей. Длинасферического отрезка определяется через радианную меру центрального угла и радиус сферы R (рис. 4), по формуле длины дуги она равна R.Любая точка С сферического отрезка АВ разбивает его на два, и сумма ихсферических длин, как и в планиметрии, равна длине всего отрезка, т.е.АОС + СОВ = АОВ. Для любой же точки D вне отрезка АВимеет место «сферическое неравенство треугольника»: сумма сферическихрасстояний от D до А и от D до В больше АВ, т.е. AOD + DOB >AOB, – полное соответствие между сферической и плоской геометриями.Неравенство треугольника – одно из основополагающих в сферической геометрии, изнего следует, что, как и в планиметрии, сферический отрезок короче любойсферической ломаной, а значит, и любой кривой на сфере, соединяющей его концы.
Рис.4
/>
Таким же образом на сферу можно перенести и многиедругие понятия планиметрии, в частности те, которые можно выразить черезрасстояния. Например, сферическая окружность – множество точек сферы,равноудаленных от заданной точки Р. Легко показать, что окружность лежит вплоскости, перпендикулярной диаметру сферы РР` (рис. 5), т.е. это обычнаяплоская окружность с центром на диаметре РР`. Но сферических центров у нее два:Р и Р`. Эти центры принято называть полюсами. Если обратиться к глобусу, томожно видеть, что идет речь именно о таких окружностях, как параллели, исферическими центрами всех параллелей являются Северный и Южный полюса. Еслидиаметр сферической окружности равен /2, то сферическаяокружность превращается в сферическую прямую. (На глобусе – экватор). В этомслучае такую окружность называют полярой каждой из точек Р и P`.
Рис.5
/>
Одним из важнейших понятий в геометрии являетсяравенство фигур. Фигуры считаются равными, если одну на другую можно отобразитьтаким образом (поворотом и переносом), что сохранятся расстояния. Это верно идля сферической геометрии.
Углы на сфере определяются следующим образом. Припересечении двух сферических прямых a и b на сфере образуются четыресферических двуугольника, подобно тому, как две пересекающиеся прямые наплоскости разбивают ее на четыре плоских угла (рис. 6).
Рис.6
/>
Каждому из двуугольников соответствует двугранный уголАОВ, образованный диаметральными плоскостями, содержащими a и b. />
2.3. Сферический треугольник
Среди всех сферических многоугольников наибольшийинтерес представляет сферический треугольник. Три больших окружности,пересекаясь попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферическихтреугольников. Зная элементы (стороны и углы) одного из них, можно определитьэлементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношения между элементамиодного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности.Стороны треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла ОАВС, углытреугольника – двугранными углами того же трехгранного угла[1](рис. 7).
рис. 7
/>
Многие свойства сферического треугольника (а ониодновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью повторяютсвойства обычного треугольника. Среди них – неравенство треугольника, котороена языке трехгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угламеньше суммы двух других. Или, например, три признака равенства треугольников.Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствамиостаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудаленных от концовотрезка, будет и на сфере перпендикулярной к нему прямой, проходящей через егосередину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферическоготреугольника AВС имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположныеобщие точки Р и Р`, являющиеся полюсами его единственной описанной окружности(рис. 8). В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можноописать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисытреугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.
рис. 8
/>
Теоремы о пересечении высот и медиан также остаютсяверными, но их обычные доказательства в планиметрии используют параллельность,которой, на сфере нет, и потому проще доказать их заново, на языкестереометрии. Рис. 9 иллюстрирует доказательство сферической теоремы омедианах: плоскости, содержащие медианы сферического треугольника АВС,пересекают плоский треугольник с теми же вершинами по его обычным медианам,следовательно, все они содержат радиус сферы, проходящий через точкупересечения плоских медиан. Конец радиуса и будет общей точкой трех«сферических» медиан.
Рис. 9
/>
Свойства сферических треугольников во многомотличаются от свойств треугольников на плоскости. Так, к известным трем случаямравенства прямолинейных треугольников добавляется еще и четвертый: дватреугольника АВС и А`В`С` равны, если равны соответственно три угла А =А`, В = В`, С = С`. Таким образом, насфере не существует подобных треугольников, более того, в сферической геометриинет самого понятия подобия, т.к. не существует преобразований, изменяющих всерасстояния в одинаковое (не равное 1) число раз. Эти особенности связаны снарушением евклидовой аксиомы о параллельных прямых и также присущи геометрииЛобачевского. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию,называются симметричными, таковы, например, треугольники АС`С и ВСС` (рис. 10).
рис. 10
/>
Сумма углов всякого сферического треугольника всегда больше180. Разность А+В +С – = (измеряемая в радианах) – величина положительная и называется сферическимизбытком данного сферического треугольника. Площадь сферического треугольника:S = R2 где R – радиус сферы, а – сферический избыток.Эта формула впервые была опубликована голландцем А.Жираром в 1629г. и названаего именем.
/>2.4. Координаты на сфере
Каждая точка на сфере определяется заданием двухчисел; эти числа (координаты) определяются следующим образом (рис. 11).Фиксируется некоторый большой круг QQ` (экватор), одна из двух точекпересечения диаметра сферы PP`, перпендикулярного к плоскости экватора, споверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP`,выходящих из полюса (первый меридиан). Большие полукруги, выходящие из P,называются меридианами, малые круги, параллельные экватору, такие, как LL`, –параллелями. В качестве одной из координат точки M на сфере принимается угол = POM (высота точки), в качестве второй – угол = AON междупервым меридианом и меридианом, проходящим через точку M (долгота точки,отсчитываемая против часовой стрелки).
рис. 11
/>
В географии (на глобусе) в качестве первого меридианапринято использовать Гринвичский меридиан, проходящий через главный залГринвичской обсерватории (Гринвич – городской округ Лондона), он разделяетЗемлю на Восточное и Западное полушария, соответственно и долгота бываетвосточной либо западной и измеряется от 0 до 180° в обе стороны от Гринвича. Авместо высоты точки в географии принято использовать широту, т.е. угол NOM =90° – , отсчитываемый от экватора. Т.к. экватор делит Землю на Северноеи Южное полушария, то и широта бывает северной либо южной и изменяется от 0 до90°. Сферические координаты с прямоугольными декартовыми координатамиустанавливается следующими формулами: x = rsinсоsy = r sinsinz = r соs
2.5. Сферическая тригонометрия
Сферическая тригонометрия – раздел тригонометрии, вкотором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторонтреугольников, а также алгебраическими тождествами тригонометрических функцийприменительно к сферическим треугольникам. Применяется для решения различныхгеодезических и астрономических задач.
Пусть А, В, С — углы и а, b, с — противолежащие имстороны сферического треугольника ABC (рис.12 ). Углы и стороны сферическоготреугольника связаны следующими основными формулами Сферическая тригонометрия:
cos а = cos b cos с + sin b sin с cosА,
cos A = — cos B cos С +sin B sin С cos a,
sin a cos B = cos b sin c — sin b cos с cosА,
sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cosa;
рис.12
/>
В этих формулах стороны а, b, с измеряютсясоответствующими центральными углами.
Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90`,а — гипотенуза, b, с- катеты) формулы Сферической тригонометрии упрощаются,например:
sin b = sin a sin В,
cos a = cos b cos c,
sin a cos B = cos b sin c.
Формулы Сферической тригонометрии позволяют по любымтрём элементам сферического треугольника определить три остальные (решитьтреугольник).
Рассмотренные элементы сферической геометрии дают намобобщенное представление о данной области математической науки.
2.6. Применение сферической геометрии на практике
Сферическая геометрия нужна не только астрономам,штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездамопределяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, атакже геодезических съемках больших поверхностях земли, когда становитсянеобходимым учитывать ее шарообразность.
Заключение
Подводя итоги проделанной работе, необходимо отметить,что в данной работе удалось: охарактеризовать специфику сферической геометриикак области математики на основе исторических фактов, определить основныепонятия сферической геометрии, рассмотреть особенности фигур, расположенных насфере, ознакомиться с главными учеными исследуемых сферическую геометрию всвоих работах. Изучая особенности сферической геометрии, производилосьсравнение с планиметрией и стереометрией.
Так же в работе было ознакомление, из какихпотребностей возникла наука – сферическая геометрия, ее практическое примененияв различных сферах знаний. Все это доказывает актуальность этого разделаматематике в жизни человека.
Надеюсь, что и мне пригодятся эти знания придальнейшем изучении геометрии в высшем учебном заведении.
Список литературы
Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия: Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1998.- 760 с.
АбрамовА.М, Виленкин Н.Я, ДорофеевГ.В, и др Избранныевопросы математики10 кл.: Факультативный курс./Под ред. ФирсоваВ.В/-М.:Просвещение 1992.
Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классовУчебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучениемматематики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. — 3-е изд., перераб.-М.:Просвещение, 1992.- 464с.
Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классовсредней школы.-М: Просвещение, 2007.- 208 с.
Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. снем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с.
Глаголев Н. А. Проективная геометрия: Учеб. Пособие. –2 –ое изд. испр. и доп. – М.: высш. школа, 1990. – 344 с.
Давидов А. Начала тригонометрии: 3-е изд., 1885.
Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч II.Геометрия в пространстве: учеб. для пед. инст-ов. –М. Л.: гос. изд-вотехн-теоретич. литер. 1992. – 333 с.
Саранцев Г.И. Упражнения в обученииматематике.-М.: Просвещение, 1995.-240 с.
Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики, М.,Наука, 1984 г.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1985.-352с., ил.
Энциклопедия элементарной математики кн. IV, V. /Подред. В. И.Битюукова, И. Е, Морозовой, М.: Наука, 1966.- 624 с.
Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта referat.ru/