Факультативныйкурс по теме:
Элементыкомбинаторики
Автор: ЛузинаТатьяна Юрьевна
Рецензент:Янкина Лидия Григорьевна
Кунгурскоепедагогическое училище 2009 год
Введение
В данной разработкефакультативного курса предлагается 11 уроков. На которых предлагается решение задач,подготовка сообщений и докладов и их защита; практические, самостоятельные работы;практикумы по решению задач, по составлению задач; контрольная работа.
Данный факультативныйкурс предназначен для учеников 8 класса, но может и использоваться учениками другихклассов, т. к. материал излагается с самих азов. Он прост, понятен и в то же времяне потерял своей научности.
Оглавление
Предисловие
Урок 1 Введение
Урок 2 Поискзакономерностей
Урок 3 Переборвозможных вариантов
Урок 4 Правилосуммы и правило произведения
Урок 5 Самостоятельнаяработа по темам: «Поиск закономерностей», «Дерево возможных вариантов»,«Правило произведения»
Урок 6 Размещения
Урок 7 Тест потемам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями»
Урок 8 Перестановки
Урок 9 Сочетания
Урок 10 Урок-практикум.Подготовка к контрольной работе
Урок 11 Контрольнаяработа
Литература
Предисловие
Вы начинаете изучатьраздел математики под названием «Комбинаторика».
В данном факультативномкурсе вы найдете много интересных и полезных для себя сведений, которые связаныс жизнью.
Любую тему вампоможет отыскать «Оглавление».
Представителямсамых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваютсяте или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики,в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составитьиз заданных объектов, называется комбинаторикой.
Комбинаторикавозникла в XVII веке. Тогда широко были распространены лотереи, игры в карты и кости.И первые комбинаторные задачи касались именно азартных игр, так как возникало многовопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две илитри кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточнойигре.
Основа хорошегопонимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решениязадач. Все эти навыки и способности вы можете выработать, если будете настойчивы,трудолюбивы и внимательны на уроках, будете самостоятельно и с интересом заниматься.
В данном факультативномкурсе будут использованы такие виды деятельности, как практические, самостоятельныеработы, решение задач, защита докладов и сообщений. Данный курс вам поможет по-другомупосмотреть на окружающий мир. Изучив его, вы сможете объективно оценивать некоторыевещи, опираясь на математические подсчеты.
Желаю вам успеховв овладении тайнами удивительного раздела математики – комбинаторики!
Урок 1. Введение
Цели:
· дать понятиенауки «Комбинаторика», «Комбинаторные задачи»;
· познакомитьучащихся с историей данной науки;
· привестипримеры нескольких комбинаторных задач с решениями для привития интереса учащихсяк данной науке.
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Работапо теме
Комбинаторика– ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторикуможно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежалавне основного русла развития математики.
С задачами, вкоторых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенномпорядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще вдоисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов– во время битвы, инструментов – во время работы.
Комбинаторныенавыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду ссостязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первуюочередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
Со временем появилисьразличные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилосьрассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, зналвыигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Не только азартныеигры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты,стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы другихгосударств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторныхпринципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованиемключевых слов и т.д.
Задачи, в которыхидет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными.Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторнуюзадачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях
Раздел комбинаторики,в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи,теорией перечислений.
Комбинаторикакак наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей,так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различныхкомбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянскимученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французскимученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный разделматематики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Обискусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин«комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.
3. Переченьтем докладов
1) Дж. Кардано
2) Н. Тарталье
3) Бином Ньютона
4) Б. Паскаль
5) П. Ферма
6) ТреугольникПаскаля
7) Л.Эйлер
8) Г. Галилею
9) Г. Лейбниц
10) Некоторыесвойства числа сочетаний
11) Правила решениякомбинаторных задач
12) Комбинаторнаягеометрия
13) Историческаясправка о науке «Комбинаторике»
14) Магическиеквадраты
4. Итог урока
Урок 2.Поиск закономерностей
Цели:
· рассмотретьнекоторые виды закономерностей.
Оборудование:мультимедийный проектор, жетоны.
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей.
2. Домашнеезадание.
1. Выявить закономерностии записать еще 4 числа:
1) />562
(26) 652 369 (__) 963
2) ответ: 36 – сумма цифрв числе
3. Разминка
Итак, начнем нашурок с разминки. Сегодня она будет в другой форме – в виде соревнования. Я задаювопросы, и кто быстрее поднимет руку, тот и будет отвечать. За каждый правильныйответ даются жетоны.
1) Портной имееткусок сукна в 16 м, от которого он ежедневно отрезает по 2 метра. По истечении сколькихдней он отрежет последний кусок? (7 дней)
2) Разделить 5яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку, и одно осталось вкорзине? (Один берет корзину вместе с яблоком)
3) Четыре коровычерной масти и три — рыжей масти за пять дней дали такой же надой молока, как 3коровы черной масти и 5 рыжей за 4 дня. Какие коровы молочнее: черной или рыжеймасти? (рыжей)
4) Как представитьцифру 4 тремя пятерками? (4=5-5:5)
5) Шесть ног,а бежит не быстрее, чем на четырех. (всадник на коне)
6) Какие часыпоказывают верное время только два раза в сутки? (которые остановились)
7) В известнойсказке «Поди туда – не знаю куда, принеси то – не знаю что» царь послал стрелкаАндрея за «тридевять земель». Тридевять — это сколько? (27)
8) Шел Кондратв Ленинград, а навстречу 12 ребят.
У каждого по 3лукошка, в каждом лукошке – кошка.
У каждой кошки– 12 котят. У каждого котенка
В зубах по 4 мышонка.И задумался старый Кондрат:
«Сколько мышати котят ребята несут в Ленинград?»
Как бы вы ответилина этот вопрос? (Один Кондрат шел в Ленинград)
9) В мешке лежатшарики белого и черного цвета. Сколько нужно взять шариков, чтобы 2 было одинаковогоцвета? (3)
10) Поехал мужикзимой на ярмарку, а базар далеко. Вот едет он лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем.Встречает Бабу-Ягу и спрашивает: «Куда ехать?» Она ему показывает направо. И вотон снова едет лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем, встречает Лешего. Спрашивает:«Как доехать до базара?» Он показывает налево. Вот он снова едет лесом-полем, лесом-полем,лесом-полем и выезжает к реке. А за рекой – базар. Как ему перебраться на тот берег,учитывая, что лодки нет и надо переправить весь груз? (Дело было зимой). Молодцы!
4. Работа потеме.
4.1. Объяснениематериала.
Кто знает, чтотакое закономерность? Это закон, правило, по которому записаны числа, расположеныфигуры.
4.2. Решениепримеров.
Сейчас мы будемвыявлять закономерности в расположении фигур.
1) Вставить недостающуюкартинку.
Ну, что, поняли,как выявляют закономерности в расположении фигур?
Теперь давайтепопробуем выявлять закономерности в числовых рядах. Тот, кто ответит первым, получитжетон.
2) Вставить пропущенныечисла:
1) 24, 21,19, 18, 15, 13, _, _, 7,6 (12, 9);
2) 1, 4,9, 16, _, _, 49, 64, 81, 100 (25, 36);
3) 16, 17,15, 18, 14, 19, _, _ (13, 20);
4) 1, 3,6, 8, 16, 18, _, _, 76, 78 (36, 38);
5) 7 26 19;5 21 16; 9 _ 4 (13);
6) 2 4 810 20 22 _ _ 92 94 (44, 48);
7) 24 2219 15 _ _ (10, 4).
3) Продолжитьряд:
a. 15 16 18 21 25 _ (30);
b. 2 5 8 11 _ (14);
c. 6 9 12 15 18 _ (21);
d. 16 12 15 11 14 10 _ _ (13,9);
e. 3 7 11 15 18 _ (22).
4) Вставить пропущенноечисло
a. 2 5 9 (2+4):2=3
4 7 5 (5+7):2=6
3 6? (9+5):2=7
b. 7 9 5 11 7+9-5=11
4 15 12 7 4+15-12=7
13 8 11? 13+8-11=10
/>
(3*5*8)/10=12
c. 148 (220) 368 368-148=220
243 (___) 397397-243=154
d. 12 (56) 16 (12+16)∙2=56
17 (__) 21 (21+17)∙2=76
5. Итогурока.
Урок 3. Переборвозможных вариантов. Дерево возможных вариантов
Цели:
— дать понятия:комбинаторика, комбинаторные задачи;
— изучить способырешения комбинаторных задач: перебор возможных вариантов, дерево возможных вариантов;
Оборудование:мультимедийный проектор, задачи на карточках.
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Подготовительнаяработа
Давайте с вамирешим задания, которые подведут нас к теме.
2.1. Решение ребусов
/>
Выявлениезакономерности
/>
Решение задач
/>
Изучение новойтемы. Разбор задач
Давайте рассмотримтакую задачу: сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
Решение: для того,чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядкевозрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и,наконец, с цифры 7:
11, 14, 17, 41,44, 47, 71, 74, 77.
Этот метод называетсяперебором вариантов. Таким образом, их трех данных цифр можно составить всего 9различных двузначных чисел.
Эту задачу можнорешить и другим способом. Его название – дерево возможных вариантов. Для этой задачипостроена специальная схема.
Ставим звездочку.Она будет обозначать количество возможных вариантов.
Далее отводимот звездочки 3 отрезка. А почему? Как вы думаете? Так как в условии задачи даны3 цифры – 1, 4, 7.
Ставим эти цифрына концах отрезков. Они будут обозначать число десятков в данном числе.
Далее от каждойцифры проводим по 3 отрезка. Почему? От цифры 1 три отрезка, от цифры 4 три отрезкаи от цифры 7 также проводим три отрезка.
На концах этихотрезков записываем также цифры 1, 4, 7. Они будут обозначать число единиц.
рассмотрим, какиечисла получились: 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. То есть всего получилось 9чисел.
Эта схема действительнопохожа на дерево, правда «вверх ногами» и без ствола.
Решение задач.
Итак, давайтерешим несколько задач.
Сколько трехзначныхчисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
Ответ: всего 8чисел.
В четверг в первомклассе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различныхвариантов расписания можно составить на этот день?
Ответ: всего можносоставить 6 вариантов расписания.
Запишите все трехзначныечисла, которые можно составить из цифр 0, 5, 9, используя при записи числа каждуюцифру только один раз. Сколько всего таких чисел можно составить?
Ответ: всего 4числа.
А теперь давайтесделаем так: мальчики решают задачу: Данила, Андрей и Коля собрались потренироватьсяв бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться,кто за кем будет бросать мяч в корзину. Сколькими способами они могут занять очередь?
Девочки решаютзадачу: в костюмерной танцевального кружка имеются зелёные и жёлтые кофты, а такжесиние, красные и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов?
Домашнее задание
Откройте дневникии запишите домашнее задание. Решить задачи на карточках.
1. Скольковсего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?
2. В палаткеимеется 3 сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо? Наташа и Данил решили купитьпо одной порции каждого сорта мороженого. Сколько существует вариантов такой покупки?
Итог урока
Урок 4. Правилосуммы и правило произведения
Цели:
· познакомитьучащихся с правилами произведения и суммы в комбинаторике;
· закрепитьправила с помощью решения задач;
Оборудование:
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Домашнеезадание на карточках
1) Сколькимиспособами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ЗДАНИЕ»? (в слове «здание»3 согласных и 3 гласных буквы. По правилу произведения получаем 3*3=9 способами)
2) Сколькимиспособами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Решитеэту же задачу, если нет ограничений на цвет квадратов; если надо выбрать два белыхквадрата. (На шахматной доске 64 клетки: 32 белых квадрата, 32 черных квадрата.По правилу произведения получаем число выбора двух квадратов: одного черного и одногобелого: 32*32=1024.
Если нет ограниченийна цвет, то первый квадрат можно выбрать 64 способами, а второй – 63 способами (одинквадрат уже выбран), следовательно, 64*63=4032
Если надо выбратьдва белых квадрата, то первый квадрат можно выбрать 32 способами, а второй квадрат– 31 способом, поэтому, 32*31=992.
3. Повторение
Решить задачу:сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 5, 8?
Ответ: 18 чисел
4. Работапо новой теме
Правило сложения: если некоторый объектА можно выбрать mспособами, а другой объект В можно выбратьnспособами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществитьm+nспособами.
Например: на тарелкележат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
По условию задачияблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речьидет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можноосуществить 5+4=9 способами.
Задача 1: сколько трехзначных чиселможно составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не болееодного раза?
Решение: составимдерево возможных вариантов.
Эту задачу можнорешить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждатьбудем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Таккак после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихсяцифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух)двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению4∙3∙2, т.е. 24.
Сформулируем правилоумножения: если объект А можно выбрать mспособами и если после каждоготакого выбора объект В можно выбрать п способами, то выбор пары (А, В) в указанномпорядке можно осуществить m∙п способами.
Например, решитезадачу с помощью правила умножения: сколько пятизначных чисел можно составить изцифр 5, 9, 0, 6?
По правилу умноженияполучаем: 4∙4∙4∙4=256 чисел.
Правило умноженияможно также проиллюстрировать.
Задача 2: из города А в город В ведутдве дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги.Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способамиони могут выбрать маршрут?
Решение: Пустьиз города А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае онимогут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2∙3 вариантов маршрутаиз А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всегосуществует 2∙3∙2=12 способов выбора туристами маршрута из города А кпристани.
Например: из пунктаА в пункт В можно попасть десятью путями, а из пункта В в пункт С – девятью путями.Сколько имеется маршрутов из пункта А в пункт С через пункт В?
Решение: 10∙9=90маршрутов
Задача 3: В кафе имеются три первыхблюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе можетвыбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?
Решение: первоеблюдо можно выбрать тремя способами, второе – пятью и третье – двумя, отсюда, поправилу умножения получаем 3∙5∙2=30 способами.
5. Первичноезакрепление знаний
1. Сколькоразличных пятизначных чисел, делящихся на 10 можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,4? Каждую цифру можно использовать в записи только один раз.
2. Сколькопятизначных чисел, делящихся на три, можно составить из цифр 3, 4, 6, 7, 9 есликаждое число не содержит одинаковых цифр?
3. Сколькошестизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы каждое изних начиналось с комбинации «567»?
4. Сколькопятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое изних начиналось с комбинации «45»?
5. Сколькочётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 5, 9, 6, 0, так, чтобыцифры в числе не повторялись?
6. Сколькочётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4?
6. Итог урока
Урок 5. Самостоятельнаяработа по темам: «Поиск закономерностей», «Дерево возможных вариантов», «Правилопроизведения»
Цели:
· проверитьзнания по темам: «Поиск закономерностей», «Перебор возможных вариантов. Дерево возможныхвариантов», «Правило суммы и правило произведения».
Оборудование:карточки с самостоятельной работой
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Самостоятельнаяработа
Самостоятельнаяработа
1. Сколько чисел,меньших ста, можно составить из цифр 0, 1, 2?
2. У рояля 88клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 4 звука?
3. Сколько различныхтанцевальных пар (юноша, девушка) можно составить из пяти юношей и восьми девушек?
4. Сколько трехзначныхчисел можно составить из трех различных, не равных двух цифр? Запишите их. Каковаразность между самым большим и самым маленьким числом? Постройте дерево возможныхвариантов.256
(23) 19 62 (__) 781
5. Выявите закономерностьи запишите число:
6. На тарелкележат 10 яблок и 6 апельсинов. Сколькими способами можно выбрать один плод?
7. Из города Ав город В ведут три дороги, а из В в С – две дороги. Сколькими способами можно пройтииз А в С через В? Покажите чертеж.
8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?
Ответы и решения
1. 0, 1, 2, 10,11, 12, 20, 21, 22. Всего 9 чисел
2. 88∙88∙88∙88=59969 536 способами
3. 5∙8=40пар
4. 3∙3∙3=27
Самое большоечисло: 777
Самое маленькоечисло: 333
777 – 333 = 444– разность
5. 24
6. 10+6=16 способами
7. 3∙2=6способами
8. а) 60 чисел
б) 243 числа
3. Итогурока
Урок 6. Размещения
Цели:
· сформулироватьопределение размещений с повторениями, размещений без повторений
· закрепитьна решении задач число размещений с повторениями, без повторений;
· рассмотретьпонятие «кортеж», «факториал».
Оборудование:аншлаги с формулами
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Домашнеезадание на карточках
1) Сколькобукв русского алфавита можно закодировать, используя лишь комбинации точек и тире,содержащие только три знака? (/>)
2) Переплетчикдолжен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькимиспособами он может это сделать? (/>)
3) В классе30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из них староста и казначей?
4) Вчемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностейзанять командам первые три места?
3. Повторение
Решить задачу:сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С,D,E и F?(60)
4. Работа потеме.
— Вспомните, чтотакое кортеж? Кортеж – это множество, в котором порядок элементов строгоопределен.
— Мы также частоможем встретить задачи, в которых нужно сосчитать число размещений с повторениями
4.1. Понятие «размещенийс повторениями»
Множества, изэлементов которых составляются кортежи, могут иметь общие элементы. В частности,все они могут совпадать с одним и тем же множеством, состоящим из п-элементов.
Кортежи длиныk, составленные из элементовп-множества, называют размещениями с повторениями из п элементовпо k.
Число размещенийс повторениями находится по формуле: />
Вычислите: />; />
Решение: />= 53=125; />=35=243.
Понятие «факториал»
Произведение всехчисел от 1 до n называетсяфакториалом и обозначается n!.. В комбинаторике 0!=1 и 1!=!
Задача. Вычислите:4!; 6!.
4!=4*3*2*1=24
6!=6*5*4*3*2*1=720
— Запишем в тетрадьтаблицу
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 n! 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800 39 916 800
Правило суммыи произведения – это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторикепользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаютсянаиболее часто.
Понятие «размещений без повторений»
Нередко встречаются задачи, в которых требуется подсчитать число размещенийбез повторений
Кортежи длины k, составленные из элементов п-множества, так что все элементыкаждого кортежа должны быть различными, называют размещениями без повторенийиз п элементов по k, а их число обозначают />.
При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами,так и их порядком.
Число размещений без повторений находится по формуле: />
– Итак,в примере 1 нам нужно было составить двузначные числа из известных 3 цифр. По формулеполучаем /> способов
Задача. Сколькотрехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их нихможет быть использована в записи только один раз? Постройте дерево возможных вариантов.
Решение: по формулеполучаем: /> способов
– Как выдумаете, как удобнее решать эти задачи: деревом возможных вариантов или по формуле?
5.Закрепление
Задача 1. Для запирания автоматическойкамеры применяется секретный замок, который открывается лишь тогда, когда набрано«тайное слово». Это слово набирают с помощью пяти дисков, на каждом из которых изображено12 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретногослова и подбирающего его наудачу?
Решение. Изусловия задачи видно, что порядок выбираемых букв очень важен. Поэтому мы имеемдело с кортежем длиной 5 (пять дисков). Каждый элемент кортежа может быть выбран12-ю способами (букв на каждом диске 12). Поэтому число комбинаций 125=248831.
Задача 2. Сколько различных четырехзначныхчисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить вкомбинацию несколько раз?
Решение. Порядокцифр важен, т.к. 2678 или 6278 – это разные числа. Поэтому имеем дело с кортежемдлины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать пятью способами(цифр дано пять). Следовательно, число различных комбинаций равно 45=1024.
Задача 3. На референдуме предложенычетыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностейзаполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?
Решение. Получаемкортеж длины 4 (столько вопросов в бюллетене), каждый элемент может быть выбрандвумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно 24=16
Задача 4. Неудовлетворенные решениемПариса Гера, Афина и Афродита обратились к трем мудрецам с просьбой назвать прекраснейшуюиз них. Каждый из мудрецов высказал свое мнение. Сколько могло возникнуть вариантовответа на поставленный вопрос у этой тройки? (63=216)
Задача 5. У Лены есть восемь красок.Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать,если собирается каждую букву раскрашивать одним цветом? (88=16777216)
Задача 6. Сколькими различными способамиможно распределить между шестью лицами две различные путевки в санаторий?
Решение. />
Задача 7. Из 20 учащихся надо выбратьстаросту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: />способами
Задача 8. В классе изучаются 7 предметов.В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписаниена среду?
Решение: /> способов
Задача 9. В чемпионате по футболуучаствуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командампервые три места?
Решение: />
Задача 10. Из десяти различных книгвыбирают четыре для посылки. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. />
Задача 11. Для запирания сейфа на дискнанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попытокможет быть сделано человеком, не знающим секретного слова? (125=248 832удачных попыток, следовательно, неудачных 248 831)
6. Итог урока
Что нового узналина уроке?
По какой формуленаходится число размещений без повторений, с повторениями?
Урок 7. Тестпо темам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями»
Цели:
· Проверитьзнания по темам: «Размещение без повторений», «Размещение с повторениями» с помощьютеста.
Оборудование:карточки с тестом
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Тест
1. Из 30студентов класса надо выбрать хозяйку класса, старосту и физорга. Сколькими способамиэто можно сделать?
А) 24360 б) 2730в) 6720
2. В конкурсепесен «Галерея звезд» участвуют 15 человек. Сколькими способами могут распределитьсямежду ними места?
А) 24360 б) 2730в) 6720
3. Сколькотрехзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 8, 7, 1?
А) 243 б) 2730в) 6720
4. Для запираниясейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачныхпопыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?
А) 248 832 б)248 831 в) 248 833
5. Сколькочетырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
А) 24360 б) 4096 в) 6720
6. Пять разныхпредметов раздают 8 людям, причем может случиться так, что некоторые получат понесколько предметов. Сколькими способами может быть произведен раздел?
А) 24360 б) 2730в) 6720
7. Сколькимиспособами из колоды, содержащей 36 карт, можно выбрать по одной карте каждой масти?
А) 24360 б) 2730в) 1 413 720
8. Сколькоможно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Рассмотритедва случая: а) цифры, входящие в одно и тоже число различны; б) среди входящих водно и тоже число, могут быть одинаковые.
А. а)60 480 б)19683 в) 672
Б. а)19 683 б)60 480 в) 6720
Ответы и решения
1. /> способами
2. /> способами
3. /> чисел
4. 125=248832 – удачных попыток, тогда неудачных 248 831.
5. 46=4096 чисел
6. /> спсобами
7. /> способами
8. а) /> чисел
9. б) 39=19683 чисел
3. Итог урока
Урок 8: Перестановки
Цели:
· познакомитьучащихся с перестановками без повторений, перестановками с повторениями;
· закрепитьновые формулы с помощью решения задач.
Оборудование:аншлаги с формулами
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Домашнеезадание:
1) Сколькими способамиможно разместить 12 человек за столом, на который поставлено 12 приборов?
2) Сколькими способамиможно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группыв течение семи дней?
3) Сколько различныхслов можно получить, переставляя буквы слова «ингредиент»?
4) Сколькими способамиможно посадить за круглый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие двалица одного пола не сидели рядом?
4. Работа потеме
4.1. Повторение
Решите задачу:на железнодорожной станции имеется n семафоров. Сколько может быть дано различных сигналовпри помощи этих семафоров, если каждый семафор имеет три состояния: горит либо зеленый,либо желтый, либо зеленый цвет.
Решение: имеемкортеж длины n (даноn семафоров), каждый элементкоторого можно выбрать тремя способами (каждый семафор имеет три состояния). Поэтомуразличных сигналов можно дать 3n.
— Дайте определениеразмещений без повторений
— Что такое факториал?
4.2. Понятие «перестановкибез повторений»
Два размещениябез повторений из n элементов по n, состоящие из одних и тех же элементов, расположенных в различномпорядке называются перестановками без повторений из nэлементов. Их число обозначают Рn.
— Выведем формулу.
/>
Следовательно,число перестановок без повторений находится по формуле: Рп=n!
Вычислите: Р3;Р5
Р3=3!=6;Р5=5!=120
4.3. Понятие «перестановкис повторениями»
Пусть дан кортеждлинны п, составленный из элементов множества Х={х1,…, хk}. Причем буква х1 входит в этот кортежп1 раз, буква хk= пk раз. Тогда п=п1+ … +пk. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будутполучаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи называются перестановкамис повторениями из букв х1,…, хk, имеющими состав (п1,…, пk).
Число таких перестановокобозначается Р(п1, …, пk) и находится по формуле:
/>
Упражнение. Вычислите:Р(2, 5, 3); Р(1, 2, 3, 4).
Решение. Р(2,5, 3); п=2+5+3=10, п1=2, п2=5, п3=3
/>
/>
5. Закрепление
Задача 1. Найдите число способов расстановки8 ладьей на шахматной доске, при которых они не бьют друг друга.
Решение. Каждыйискомый способ задается перестановкой 8 чисел1,2, … 8. Эти числа указывают номерагоризонталей занятых полей на первой, второй, …, восьмых вертикалей. Значит, такихперестановок 8!.. Таким образом, ладьи можно расставить 8!=40 320 способами.
Задача 2. Сколькими способами можнопредставлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4?
Решение.Р4=4!=24.
Задача 3. За столом пять мест. Сколькимиспособами можно расставить пятерых гостей?
Решение.Р5=5!=120
Задача 4. У Лены есть 8 разных красок.Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать,если каждая буква может быть раскрашена одним цветом и все 8 букв должны быть разныепо цвету.
Решение.Присвоим каждой краске номер от 1 до 8. Тогда каждый искомый способ задается перестановкой8 чисел 1,2, …, 8. Значит, таких перестановок 8!.. Поэтому она может написать «НовыйГод» 8!=40 320 способами.
Задача 5. Сколько пятизначных чиселможно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. 5!=120
Задача 6. Сколько различных кортежейполучится, если переставлять буквы слова «математика»?
Решение. Это словоимеет состав: м – 2, а – 3, т – 2, е – 1, и – 1, к – 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1,1), поэтому получим Р(2,3,2,1,1,1)=/>
Задача 7. У мамы 2 яблока и 3 груши.Каждый день в течение 5 дней она дает сыну по 1 фрукту. Сколькими способами этоможет быть сделано.
Решение. Р(2,3)=/>
Задача 8. Сколькими способами можноположить 28 различных открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом конвертебыло по 7 открыток?
Решение. Пометимконверты цифрами 1,2,3,4, тогда число различных раскладок равно Р(7,7,7,7)= />. Вычислять это значение небудем, так как оно очень большое.
Сотрем пометки.Теперь конверты можно произвольно переставлять друг с другом, не меняя результатарасклада (теперь они не отличаются друг от друга). Так как число различных перестановокчетырех конвертов равно Р4=4!, то число различных раскладов уменьшаетсяв Р4=4! и поэтому оно равно />.
Задача 9. Сколькими способами можноусадить за стол трех мальчиков и трех девочек так, чтобы никакие две девочки несидели рядом?
Решение. 3!∙3!=36способами
6. Итог урока
— Что такое перестановкибез повторений?
— По какой формуленаходится число перестановок без повторений?
Урок 9. Сочетания
Цели:
· познакомитьучащихся с сочетаниями без повторений и с повторениями;
· закрепитьновые формулы с помощью решения задач.
Оборудование: аншлаги с формулами
Ход урока
1. Сообщение темы и целей
2. Домашнее задание на карточках
1) Из 20 учащихся кружка математики четверых необходимо отправить наолимпиаду. Сколькими способами можно составить команду?
Решение: />
3) В вазе стоят 10 белых и 5красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двухкрасных и одной белой розы?
Решение: />· /> = />/> = 100./>
3) Сколько существуетразличных треугольников, длины сторон которых принимают значения 5, 6, 7, 8, 9?Сколько из них равносторонних, равнобедренных и разносторонних?
4.Повторение
1) Назовите формулу размещений без повторений, размещений с повторениями,перестановок без повторений и перестановок с повторениями;
2) Назовите правила произведения и суммы.
5. Работа по новой теме
5.1. Понятие «сочетаний без повторений»
Задача: рассмотрим все возможные способы составления букетов, в которыхпо-разному сочетаются три розы из данных пяти роз разного цвета, например: белая,красная, черная, желтая и чайная.
Введем определение:
Сочетаниями без повторений из n элементов по т элементов называются соединения, каждое изкоторых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов.
Число сочетаний из п элементов по m обозначают /> и читают«С из n по m».
Два сочетания из п элементов по т отличаются друг отдруга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементовздесь не учитывается.
Число сочетаний без повторений равно: />
Понятие «сочетаний с повторениями»
— Число сочетанийс повторениями из n элементов по m выражается через число сочетаний без повторений.
— Назовите формулучисла сочетаний без повторений.
Найдем число сочетанийс повторениями из четырех элементов А, Б, В, Г по три элемента:
ААА
АБВ
БББ
ГГГ
ААБ
АБГ
ББВ
ВВВ
ААВ
АВВ
ББГ
ВВГ
ААГ
АВГ
БВВ
ВГГ
АББ
АБГ
БВГ
ГГГ
Число сочетанийс повторениями обозначается символом />. В данномслучае мы получили />, тогда как числосочетаний без повторений из четырех элементов по 3 есть />.
Формула числасочетаний из m элементовпо n элементов с повторениями имеетвид:
/>
Решим предыдущуюзадачу с помощью этой формулы.
/>
Сочетание с повторениямииз m элементов по n элементов может содержатьлюбой элемент сколько угодно раз от 1 до n включительно, либо совсемне содержать его. Во всех случаях два соединения не считаются различными сочетаниями,если они отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.
6. Первичное закрепление
Давайте сначала выясним, чем отличаются размещения от сочетаний? Всочетаниях порядок элементов не важен, а размещениях – важен!
Задача 1. Из 15 членов туристическойгруппы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным.Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Следовательно, по формулеполучаем />
Задача 2. В магазине «Филателия» продается8 различных марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбратьиз них 3 набора?
Решение: />
Задача 3. На полке стоит 12 книг: англо-русскийсловарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способамичитатель может выбрать 3 книги, если :
а) словарь нужен ему обязательно;
б) словарь ему не нужен?
Решение:
а) />
б) />
Задача 4. В классе учатся 16 мальчикови 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трехдевочек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: />
Задача 5. На тренировках занимаются 10баскетболистов. Сколько различных стартовых пятерок может образовать тренер?
Решение. />
Задача 6. Сколько наборов из семипирожных можно составить, если в продаже имеется четыре сорта пирожных?
Решение. /> наборов
Задача 7. Сколько существует различныхтреугольников, длины сторон которых принимают значения: 8, 10, 12 и 14 см? Сколькосреди них равносторонних, равнобедренных, разносторонних?
Решение: числоразличных треугольников равно числу сочетаний с повторениями из четырех элементовпо три: />.
Из них количестворазносторонних треугольников равно числу сочетаний без повторений их четырех элементовпо три, т.е./>. Количество равностороннихтреугольников – 4, а равнобедренных треугольников: 20 – 4 – 4=12.
Задача 8. Сколько всего существуетрезультатов опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых игральных костей?
Решение. />
Задача 9. В почтовом отделении продаютсяоткрытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток?8 различных открыток?
Решение. />293 930 способами.
/>
/>
6. Итог урока
— Что нового высегодня узнали на уроке?
— Чем отличаютсясочетания от размещений? (сочетания – порядок не важен, размещения – порядок важен!)
Урок 10. Урок-практикум.Подготовка к контрольной работе
Цели:
· подготовитьучащихся к контрольной работе с помощью решения задач и повторения некоторых теоретическихвопросов;
Оборудование:карточки с задачами.
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
Сегодня на урокемы будем готовиться к контрольной работе: решать задачи и повторять теорию
2. Домашнеезадание
Подготовитьсяк контрольной работе
3. Практикум
Теоретическиевопросы
Заполнить пропуски:
1. Если некоторый объект А можновыбрать m способами,а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить … способами.(m+n)
2. Кортежидлины k, составленные из элементов п-множества, называют размещениями… из п элементов по k. (с повторениями)
3. Два …из п элементов по т отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.(сочетания)
Решение задач
Решить задачи:
1. «Воронегде-то Бог послал кусочек сыра», колбасы, хлеба и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь,позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»: если есть кусочки по очереди,то из скольких вариантов придется выбирать?
2. Сколькимиспособами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?
3. Сколькимиспособами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенствапо футболу, если число команд 12?
4. В классе7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из нихдвоих для участия в математической олимпиаде?
5. Из 12солдат нужно в разведку послать 5. Сколькими способами это можно сделать?
6. Учащимсядали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькимиспособами ученик может выбрать из этого списка 6 книг?
7. Назовемсимпатичными числа, в записи которых используют только нечетные числа. Сколько существуетчетырехзначных симпатичных чисел?
8. Сколькопятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5?
9. «ПроказницаМартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способамиони могут распределить четыре имеющихся у них инструмента?
10. «ПроказницаМартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». На складе 12 музыкальныхинструментов. Мишке поручили принести со склада 8 любых инструментов. Сколько вариантоввыбора есть у мишки?
11. Гера,Афина и Афродита попросили Париса не только назвать самую красивую из них, но иуказать, кто «на втором и третьем местах». Сколько есть вариантов ответа?
12. Из 15членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можносделать этот выбор?
13. В магазине«Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных «Дню Победы». Сколькими способами можносформировать из них 3 набора?
14. Сколькосуществует способов составить расписание уроков на один день из 6 предметов?
15. Алфавитплемени тумба-юмба состоит из букв А, У, С. Словом является любая последовательностьиз 4 букв. Сколько слов в языке этого племени?
16. Сколькимиспособами можно выложить в ряд красный, зеленый, черный, синий кубики?
17. Из колодыв 36 карт вынимают 5 карт. Найдите число всех возможных вариантов выбора.
18. В классе27 учеников, из которых нужно выбрать троих: первый ученик должен решить задачу,второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую. Сколькими способамиэто можно сделать?
Ответы и решенияк задачам
1. Рn=4!=24
2. />
3. />
4. />
5. />
6. />
7. нечетныецифры: 1, 3, 5, 7, 9
/>
8. />
9. Рn=n!=4!=24
10. />
11. 6 способов
12. />
13. />
14. Рn=6!=720
15. />
16. Pn=5!=120
17. />
18. />
Урок 11: Контрольнаяработа по теме «Комбинаторные задачи»
Цели:
· Проверитьзнания, умения, навыки по всему курсу с помощью контрольной работы с разноуровневымизаданиями;
Оборудование:карточки с заданиями.
Ход урока
1. Сообщениетемы и целей
2. Контрольнаяработа по вариантам
Iвариант
Заполнить пропуски:
1. Задачи,в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются (комбинаторными).
2. Если объектА можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбратьп способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить способами.(m∙п)
3. Произведениевсех чисел от 1 до n называется (факториалом)
4. Числоразмещений с повторениями находится по формуле: (/>)
5. Сочетаниями … из n элементов по т элементов называются соединения, каждое из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов. (без повторений)
6. Формулачисла сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид: … (/>)
Решить задачи:
1. Скольковсевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4, 5?
2. Сколькимиспособами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?
3. В соревнованииучаствуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?
4. Сколькимиспособами можно расставить на полке 4 различные книги?
5. Сколькоразличных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другойиз этих языков?
6. Пять человекобменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?
7. На плоскостиотмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?
IIвариант
Заполнить пропуски:
1. Задачи,в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются (комбинаторными).
2. Если объектА можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбратьп способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить способами.(m∙п)
3. Произведениевсех чисел от 1 до n называется (факториалом)
4. Числоразмещений с повторениями находится по формуле: (/>)
5. Сочетаниями … из n элементов по т элементов называются соединения, каждое из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов. (без повторений)
6. Формулачисла сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид: (/>)
Решить задачи:
1. Скольковсевозможных двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, так, чтобыцифры в записи числа не повторялись?
2. Сколькимиспособами можно переставить 5 различных геометрических фигур?
3. Пять человекпожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?
4. За своирисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Скольковариантов?
5. Сколькофлагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого,красного цветов?
6. В понедельникв пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?
7. Из десятиучащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можносделать?
Ответы и решения
I вариант
II вариант
1. />
2. />
3. />
4. Pn=4!=24
5. Pn=5!=120
6. Pn=5!=120
7. />
1. />
2. Pn=5!=120
3. />
4. положительные оценки: 4, 5.
22=4
5. Рn=3!=6
6. Pn=5!=120
7. />
Литература
1. ГнеденкоБ. В., Журбенко, И. Г. Теория вероятностей и комбинаторика //Математика в школе.– 2007. — №6. – с. 67-70.
2. ГусевВ. А. Внеклассная работа по математике в 5-8 классах. /Под. ред. С. И. Шварцбурга.- М.: Просвещение, 1977. – 288с.
3. ДихтярьМ., Эргле Е. Исторические комбинаторные задачи и комбинаторные модели //Математика.– 2007. — №14. – с. 23-24.
4. Математика:Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина. – 8-е изд. — М.: Просвещение,2006. – 302с.
5. Нурк Э.Р., Тельгман А. Э. Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк. – 4-е изд., дораб. – М.:Просвещение, 1994. – 304с.
6. ОвсянниковаЛ.В. Факультативный курс по математике //Начальная школа. – 2005. — №9. – с. 29-33.
7. ВиленкинН. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969. – 328с.
8. ПерельманЯ. И. Занимательные задачи и опыты. — Д.: ВАП, 1994. – 527с.
9. СеменовыхА. Комбинаторика //Математика. – 2004. — №15. – с. 28-32.
10. Семеновых А. Комбинаторика//Математика. – 2004. — №16. – с. 19-22.
11. Семеновых А. Комбинаторика//Математика. – 2004. — №17. – с. 22-27
12. Стойлова Л. П. Математика:Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высшихпедагогических учебных заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 1997. – 464с.
13. Цыганов Ш. Комбинаторика отА до Я //Математика. – 2001. — №26. – с. 9-23.
14. http://combinatorica.narod.ru/second.htm