3
Глава 1. Уравнения. Системы уравнений
1. Линейные уравнения
1. Уравнение первой степени вида , называется линейным уравнением. Где - переменные, числа и стоящие перед переменными называются коэффициентами, а и - свободные члены. Запишем линейное уравнение
(1)
Для решения уравнения (1) перенесем переменные содержащие коэффициенты, в левую часть уравнения с положительным знаком, а свободные члены в правую часть уравнения с отрицательным знаком, получим уравнение вида
(2)
Пусть , а , тогда уравнение (2) будет иметь вид
(3)
Примеры.
1) Решить уравнение
Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть уравнения, а свободные члены в правую часть, получим:
Используя уравнение (3) получим:
Ответ:
2) Решить уравнение
Видно, что в этом уравнении есть один отрицательный свободный член - 4. Но, перенося его в правую часть уравнения еще с одним отрицательным знаком, получим , тогда
Отсюда:
Ответ:
3) Решить уравнение
В этом уравнении один коэффициент отрицательный, перенося его и еще с положительным знаком в левую часть нет смысла, т.к. , тогда:
Отсюда:
Ответ:
4)
Используя объяснения к уравнению 2), получим
Отсюда:
Ответ:
5)
Используя объяснения, приведенные к уравнениям 1), 2), 3), 4), получим
Отсюда:
Ответ:
2. Пусть дано линейное уравнение вида
(4)
В отличие от уравнения (1) переменные, содержащие коэффициенты, переносятся в левую часть с отрицательным знаком, в правую часть свободные члены переносятся тоже со знаком отрицательным. Но свободный член в уравнении (4) и так стоит в правой части, поэтому он не будет менять знак, поменяет знак только член . И так, решим уравнение (4).
Перенесем переменные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член в правую часть тоже с отрицательным знаком, получим
(5)
Отсюда:
Если , то
Решение уравнения (4) можно записать в виде системы:
(6)
Пример. Решить уравнение
Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член в правую часть со знаком «минус», тогда
Отсюда:
Ответ:
3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:
(7)
Для решения уравнения (7) выразим переменную через переменную , т.е. получим уравнение вида
(8)
Для нахождения решения уравнения (7) в уравнении (8) выбирается произвольное (любое) значение . Таким образом, уравнение (7) обладает множеством решений.
Пример. Решить уравнение
Воспользуемся формулой (8), тогда
Теперь выберем абсолютно любое значение икса, например, при , получим:
Ответ:
2. Квадратные уравнения
Уравнение второй степени вида называется квадратным. Для решения такого уравнения воспользуемся следующими формулами:
и (9)
Где и - корни квадратного уравнения
Пусть , тогда если , то можно записать:
(10)
Если , то уравнение не имеет решений.
Пример. Решить уравнение
Пользуясь формулами (9) получим:
Ответ: и
3. Уравнение третей степени
Уравнение третей степени вида называется кубичным уравнением. Для решения такого уравнения заменим неизвестное - на коэффициент и вводя подстановку .
Получим более упрощенное уравнение третей степени:
(11)
Поскольку уравнение в третей степени, то соответственно решениями этого уравнения будут три корня, которые сейчас определим из следующей системы
(12)
Корни - есть решения уравнения, где - комплексное число.
4. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным
1.Рассмотрим уравнение, у которого одна переменная находится в четвертой степени, т.е. дано уравнение вида:
(13)
Для решения такого уравнения, выразим через , получим,
(14)
Решая это уравнение по следующим формулам, имеем:
и (15)
Пример. Решить уравнение.
Выразим через , получим , решая это уравнение по формулам (19) получим
Отсюда получаем множество корней (решений)
Ответ: .
2. Рассмотрим уравнение, у которого одна степень находится в пятой степени, т.е. имеется уравнение вида
(16)
Для решения такого уравнения выберем переменную, у которой степень самая меньшая, по сравнению с другими степенями, это будет переменная , вынося ее за скобку получим:
(17)
Отсюда , т.е. мы получили некоторое множество нулей. Уравнение , решается через дискриминант.
Пример. Решить уравнение
Вынесем за скобку, получим , отсюда , который имеет множество корней (0; 0; 0). Далее, решая уравнение, получим и . Таким образом, получили множество решений (0; 0; 0; -2; ).
5. Системы уравнений
Пусть дана система уравнений
(18)
где - коэффициенты при неизвестных и , и - свободные члены.
Система (18) решается тремя способами 1) Графический способ; 2) Способ подстановки; 3) Способ сложения. Первый способ рассматривать не будем. Остальные способы рассмотрим при решении следующих систем уравнений.
1) Способ подстановки.
Возьмем первое уравнение системы и из этого уравнения выразим через , получим:
Подставив это выражение во второе уравнение системы, получим
Отсюда,
Запишем последнее уравнение и решим его:
Подставив теперь найденное значение в выражение, стоящее выше, получим:
Ответ: и
2) Способ сложения.
Умножим первое и второе уравнения система на 2, получим:
Затем, сложив почленно уравнения системы, получим . Найдем значения игрека, для этого найденное значение икса подставим в любое уравнение исходной (первоначальной) системы, получим:
3) Способ сложения.
Запишем систему
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 2, получим:
Сложим 6x и 8x, получим 14x и 12+6=18, отсюда . Подставив теперь значение x в любое уравнение системы, получим:
Ответ:
7. Система трех уравнений с тремя переменными
(19)
где - коэффициенты при неизвестных , - свободные члены.
Для решения системы (19) составим определитель
(20)
Первое число у индекса указывает число (номер) строки, второе число - номер столбца. Сам определитель обозначается буквой d.
Для вычисления определителя пользуются правилом Крамера, т.е.:
d==
Корни системы (24) находятся по формулам:
Где - числа, которые следует определить по следующему правилу:
Таким же методом определяются остальные определители
ГЛАВА 2. ГРАФИК ФУНКЦИИ
1. График функции
Функция называется линейной функцией. Для нахождения точек пересечения графика функции нужно решить два уравнения:
Пример. Функция задана уравнением , найти точки пересечения с осями координат.
Решим два уравнения
Ответ: точки x =-2 и y = 4 являются точками пересечения с осями координат.
2. Квадратичная функция
Функция вида называется квадратичной. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, нужно решить квадратное уравнение .