Алгоритм муравья

Министерство образования Российской Федерации

Кафедра алгебры и математической логики

РЕФЕРАТ

на тему «Алгоритм муравья»

2009 г.

Содержание

• Введение.
• 1 Идея алгоритма.
• 2 Пошаговое описание общей схемы
• 3 Муравей
• 4 Начальная популяция
• 5 Движение муравья
• 6 Путешествие муравья
• 7 Испарение фермента
• 8 Повторный запуск
• 9 Блок-схема алгоритма
• 10 Демонстрационный пример
• 11 Характерные особенности
• 12 Области применения
• Заключение
• Список литературы
• Введение

Каждый, кто хоть раз в жизни наблюдал за муравьями, обязательно должен был заметить: вся деятельность этих насекомых имеет ярко выраженную групповую окраску. Работая вместе, группа муравьев способна затащить в муравейник кусок пищи или строительного материала, в 10 раз больше них самих. Организацию муравьев можно применять и людям в решении некоторых задач. Сам по себе муравей - достаточно примитивное существо. Все его действия, по сути, сводятся к элементарным инстинктивным реакциям на окружающую обстановку и своих собратьев. Однако несколько муравьев вместе образуют сложную систему. Например, группа муравьев прекрасно умеет находить кратчайшую дорогу к пище. Если какое-нибудь препятствие - палка, камень, нога человека - встает на пути, они быстро находят новый оптимальный маршрут. Муравьи решают проблемы поиска путей с помощью химической регуляции. Каждый муравей выделяет феромоны, и их след образует, таким образом, путь муравья. Другой муравей, почуяв след на земле, устремляется по нему. Чем больше по одному пути прошло муравьев - тем явнее след, а чем явнее след - тем большее «желание» пойти в ту же сторону возникает у муравьев. Поскольку муравьи, нашедшие самый короткий путь к цели, тратят меньше времени на путь туда и обратно, их след быстро становится самым заметным. Он привлекает большее число муравьев, и круг замыкается. Остальные пути - менее используемые - потихоньку пропадают. Алгоритмы муравья (Ant algorithms), или оптимизация по принципу муравьиной колонии (это название было придумано изобретателем алгоритма, Марко Дориго (Marco Dorigo)), основаны на применении нескольких агентов и обладают специфическими свойствами, присущими муравьям, и используют их для ориентации в физическом пространстве. Алгоритмы муравья особенно интересны потому, что их можно использовать для решения не только статичных, но и динамических проблем, например, в изменяющихся сетях.

Мы рассмотрим общий случай алгоритма муравьиной колонии.

1. Идея алгоритма

Два муравья из муравейника должны добраться до пищи, которая находится за препятствием. Во время перемещения каждый муравей выделяет немного феромона, используя его в качестве маркера.

Рис. 1.

При прочих равных каждый муравей выберет свой путь. Первый муравей выбирает верхний путь, а второй - нижний. Так как нижний путь в два раза короче верхнего, второй муравей достигнет цели за время t₁. Первый муравей в этот момент пройдет только половину пути (рис. 2).

Когда один муравей достигает пищи, он берет один из объектов и возвращается к муравейнику по тому же пути. За время t₂ второй муравей вернулся в муравейник с пищей, а первый муравей достиг пищи (рис. 3).

При перемещении каждого муравья на пути остается немного феромона. Для первого муравья за время t₀t₂ путь был покрыт феромонами только один раз. В то же самое время второй муравей покрыл путь феромонами дважды. За время t₄ первый муравей вернулся в муравейник, а второй муравей уже успел еще раз сходить к еде и вернуться. При этом концентрация феромона на нижнем пути будет в два раза выше, чем на верхнем. Поэтому первый муравей в следующий раз выберет нижний путь, поскольку там концентрация феромона выше.

Рис. 2. Рис. 3.

В этом и состоит базовая идея алгоритма муравья - оптимизация путем непрямой связи между автономными агентами.

2. Пошаговое описание общей схемы

Предположим, что окружающая среда для муравьев представляет собой полный неориентированный граф. Каждое ребро имеет вес, который обозначается как расстояние между двумя вершинами, соединенными им. Граф двунаправленный, поэтому муравей может путешествовать по грани в любом направлении (рис. 4).

Рис. 4.

Вероятность включения ребра в маршрут отдельного муравья пропорциональна количеству феромонов на этом ребре, а количество откладываемого феромона пропорционально длине маршрута. Чем короче маршрут тем больше феромона будет отложено на его ребрах, следовательно, большее количество муравьев будет включать его в синтез собственных маршрутов. Моделирование такого подхода, использующего только положительную обратную связь, приводит к преждевременной сходимости - большинство муравьев двигается по локально-оптимальному маршруту. Избежать этого можно моделируя отрицательно обратную связь в виде испарения феромона. Причем, если феромон испаряется быстро, то это приводит к потере памяти колонии и забыванию хороших решений, с другой стороны, большое время испарений может привести к получению устойчивого локального оптимального решения.

3. Муравей

Муравей - это программный агент, который является членом большой колонии и используется для решения какой-либо проблемы. Муравей снабжается набором простых правил, которые позволяют ему выбирать путь в графе. Он поддерживает список узлов, которые он уже посетил. Таким образом, муравей должен проходить через каждый узел только один раз. Путь между двумя узлами графа, по которому муравей посетил каждый узел только один раз, называется путем Гамильтона, по имени математика сэра Уильяма Гамильтона.

Узлы в списке "текущего путешествия" располагаются в том порядке, в котором муравей посещал их. Позже список используется для определения протяженности пути между узлами. Настоящий муравей во время перемещения по пути будет оставлять за собой феромоны. В алгоритме муравья агент оставляет феромоны на ребрах графа после завершения путешествия.

Стартовая точка, куда помещается муравей, зависит от ограничений, накладываемых условиями задачи, так как для каждой задачи способ размещения муравьев является определяющим. Либо все они помещаются в одну точку, либо в разные с повторениями, либо без повторений.

На этом же этапе задается начальный уровень феромона. Он инициализируется небольшим положительным числом для того, чтобы на начальном шаге вероятности перехода в следующую вершину не были нулевыми.

4. Начальная популяция

После создания популяция муравьев поровну распределяется по узлам сети. Необходимо равное разделение муравьев между узлами, чтобы все узлы имели одинаковые шансы стать отправной точкой. Если все муравьи начнут движение из одной точки, это будет означать, что данная точка является оптимальной для старта, а на самом деле мы этого не знаем.

5. Движение муравья

Движение муравья основывается на одном и очень простом вероятностном уравнении. Если муравей еще не закончил путь, то есть не посетил все узлы сети, для определения следующей грани пути используется уравнение :

(2.1)

Здесь - интенсивность фермента на грани между узлами r и u, -Функция, которая представляет измерение обратного расстояния для грани, a -вес фермента, а - коэффициент эвристики. Параметры a и определяют относительную значимость двух параметров, а также их влияние на уравнение. Вспомните, что муравей путешествует только по узлам, которые еще не были посещены (как указано списком табу). Поэтому вероятность рассчитывается только для граней, которые ведут к еще не посещенным узлам. Переменная k представляет грани, которые еще не были посещены.

6. Путешествие муравья

Пройденный муравьем путь отображается, когда муравей посетит все узлы диаграммы. Обратите внимание, что циклы запрещены, поскольку в алгоритм включен список табу. После завершения длина пути может быть подсчитана - она равна сумме всех граней, по которым путешествовал муравей. Уравнение показывает количество фермента, который был оставлен на каждой грани пути для муравья k. Переменная Q, является константой.

(2.2)

Результат уравнения является средством измерения пути, - короткий путь характеризуется высокой концентрацией фермента, а более длинный путь - более низкой. Затем полученный результат используется в уравнении 2.3, чтобы увеличить количество фермента вдоль каждой грани пройденного муравьем пути.

(2.3)

Обратите внимание, что данное уравнение применяется ко всему пути, при этом каждая грань помечается ферментом пропорционально длине пути. Поэтому следует дождаться, пока муравей закончит путешествие и только потом обновить уровни фермента, в противном случае истинная длина пути останется неизвестной. Константа р - значение между 0 и 1.

7. Испарение фермента

В начале пути у каждой грани есть шанс быть выбранной. Чтобы постепенно удалить грани, которые входят в худшие пути в сети, ко всем граням применяется процедура испарения фермента. Используя константу р из уравнения 2.3, мы получаем уравнение 2.4.

(2.4)

Поэтому для испарения фермента используется обратный коэффициент обновления пути.

8. Повторный запуск

После того как путь муравья завершен, грани обновлены в соответствии с длиной пути и произошло испарение фермента на всех гранях, алгоритм запускается повторно. Список табу очищается, и длина пути обнуляется. Муравьям разрешается перемещаться по сети, основывая выбор грани на уравнении 2.1. Этот процесс может выполняться для постоянного количества путей или до момента, когда на протяжении нескольких запусков не было отмечено повторных изменений. Затем определяется лучший путь, который и является решением.

9 Блок-схема алгоритма

10. Демонстрационный пример

Разберем функционирование рассмотренного выше алгоритма на простом примере, чтобы увидеть, как работают уравнения. Возьмем простой сценарий с двумя муравьями из примера который рассмотрели в п. 1. На рис. 5 показан этот пример с двумя ребрами между двумя узлами (V0 и V1). Каждое ребро инициализируется и имеет одинаковые шансы на то, чтобы быть выбранным.

Рис. 5. Рис. 6.

Два муравья находятся в узле V0 помечаются как A0 и A1. Так как вероятность выбора любого пути одинакова, в этом цикле мы проигнорируем уравнение выбора пути. Данные для задачи:

число пройденных шагов: для A0 ? 20, для A1 ? 10

уровень феромона (Q/пройденное расстояние): для A0 ? 0.5, A1 ? 1.0

? = 0.5

? = 0.3

? = 1.0

На рис. 6 каждый муравей выбирает свой путь (муравей A0 идет по верхнему пути, а муравей A1 - по нижнему). Муравей A0 сделал 20 шагов, а муравей A1, - только 10. По уравнению 2 мы рассчитываем количество феромонов, которое должно быть "нанесено".

Примечание: Работу алгоритма можно изменить, переопределив его параметры (например, ?, ? или p), например, придав больший вес феромонам или расстоянию между узлами.

Далее по уравнению 3 рассчитывается количество феромона, которое будет применено. Для муравья A0 результат составляет: 0,1 + (0,5 * 0,6) = 0,4. Для муравья A1 результат составляет: 0,1 + (1,0 * 0,6) = 0,7. Далее с помощью уравнения 4 определяется, какая часть феромонов испарится и, соответственно, сколько останется. Результаты (для каждого пути соответственно) составляют:

0,4 * (1,0 - 0,6) = 0,16

0,7 * (0,5 - 0,6) = 0,28

Эти значения представляют новое количество феромонов для каждого пути (верхнего и нижнего, соответственно). Теперь переместим муравьев обратно в узел V0 воспользуемся вероятностным уравнением выбора пути 1, чтобы определить, какой путь должны выбрать муравьи. Вероятность того, что муравей выберет верхний путь (представленный количеством феромона 0,16), составляет:

Вероятность того, что муравей выберет нижний путь (представленный количеством феромона 0,28) составляет:

При сопоставлении двух вероятностей оба муравья выберут нижний путь, который является наиболее оптимальным.

11. Характерные особенности

Для алгоритма муравьиной колонии необходимо указать:

· закон выделения феромона,

· закон испарения феромона,

· количество агентов,

· места размещения.

Все эти характеристики выбираются с учетом особенности задачи на основе экспериментальных исследований (эвристики).

Алгоритм:

· реализует поиск приближенных решений,

· имеет полиномиальную сложность,

· является одним из видов вероятностных алгоритмов (законы выделения испарения - вероятностные законы).

12. Области применения

Алгоритм муравья может применяться для решения многих задач, таких как распределение ресурсов и работы.

При решении задачи распределения ресурсов необходимо задать группу ресурсов n для ряда адресатов m и при этом минимизировать расходы на перераспределение (то есть функция должна найти наилучший способ распределения ресурсов). Обнаружено, что алгоритм муравья дает решения такого же качества, как и другие, более стандартные способы.

Намного сложнее проблема распределения работы. В этой задаче группа машин М и заданий J (состоящих из последовательности действий, осуществляемых на машинах) должны быть распределены таким образом, чтобы все задания выполнялись за минимальное время. Хотя решения, найденные с помощью алгоритма муравья, не являются оптимальными, применение алгоритма для данной проблемы показывает, что с его помощью можно решать аналогичные задачи.

Алгоритм муравья применяется для решения других задач, например, прокладки маршрутов для автомобилей, расчета цветов для графиков и маршрутизации в сетях. Более подробно способы использования алгоритма муравья описываются в книге Марко Дориго «Алгоритмы муравья для абстрактной оптимизации»

Заключение

Рассмотрены механизмы реализации эвристических алгоритмов муравьиной колонии. Они могут быть успешно применены для решения сложных комбинаторных задач оптимизации. Основная идея, лежащая в основе алгоритмов муравьиной колонии, заключается в использовании механизма положительной обратной связи, который помогает найти наилучшее приближенное решение в сложных задачах оптимизации. То есть, если в данном узле муравей должен выбрать между различными вариантами и если фактически выбранные результаты будут хорошими, то в будущем такой выбор будет более желателен, чем предыдущий. Этот подход является многообещающим из-за его общности и эффективности в обнаружении очень хороших решений сложных проблем.

Список литературы

1. Джонс М.Т. Программирование искусственного интеллекта в приложениях / Пер. с англ. Осипов А.И. - Москва 2004

2. Журнал «Мир ПК». - №3. -2002

3. Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная». 2006. №2

4. Штовба С.Д. Муравьиные алгоритмы. Exponenta Pro. Математика в приложениях, 2003, №4, стр. 70-75.

5. МакКоннелл Дж. Основы современных алгоритмов. - М.: Техносфера, 2004. - 368 с.