Системи масового обслуговування з очікуваннямбез обмеження надовжину черги
1.Системи масового обслуговування з очікуванням
БагатоканальніСМО з обмеженою чергою. Нехай є система СМО, що має /> каналів. Кожна заявканадходить до СМО, починає обслуговуватись, коли хоча б один із каналів вільний.Якщо усі канали зайняті, тоді заявка потрапляє у накопичувач, де чекаєзвільнення хоча б одного із каналів. Нехай черга у накопичувачі обмежена числом/>. Якщо,один із каналів звільняється, заявка надходить на обслуговування до звільненогоканалу по черзі, з якою заявка надійшла у СМО. Якщо заявка застане усі канали іусі місця у накопичувачі зайнятими, то вона втрачається. Потім припускатимемо,що вхідний потік заявок також пуассонівського з параметром />, а потік обслугованихзаявок також пуассонівський с параметром />. Тоді система може знаходитись устанах /> Причому/> – цестани, коли немає черги, тобто відповідно /> – всі канали вільні, /> – одинзайнятий, …, /> – усі /> каналів зайняті, /> - усі канали зайняті іодна заявка в черзі, …, /> – стан, коли всі /> каналів і всі /> місць унакопичувачі зайняті, тобто заявка, що надходить в такий момент втрачається.Можна графічно на рис. (1) стрілками вказати усі переходи від стану до стану, анад стрілками ймовірності переходів за час />, якщо /> малий.
/>
Рисунок 1
Якщопорівняти СМО з відмовами і СМО з обмеженою чергою, то зрозуміло, що дляймовірностей переходу />, коли />, ми одержуємо такі ждиференціальні рівняння як і рівняння системи без черги.
Отжепотрібно скласти рівняння для перехідних ймовірностей, коли />.
Нехай/>.Враховуючи властивості простіших потоків і формулу Смолуховського-Чепмена
/>,(1)
де /> – функція що задовольняє умові />.
/>, (2)
/>
/>, (3)
де які раніше /> числозаявок, що надходять до СМО за час />,
а /> – числозаявок, що обслуговані за час />.
/>
/> (4)
Теперврахуємо (2), (3 і (4) до (1)
/>
Віднімемовід обох частин останньої рівності /> та розділимо на />
/>
Перейдемодо границі в обох частинах, коли />
/>(5)
Тепер,продовжуючи аналогічні міркування, можна одержати рівняння для обчисленняперехідних ймовірностей із стану до стану, коли />, де />
Враховуючиформулу Смолуховського-Чепмена, а також властивості простішого(пуассонівського) потоку можна записати:
/>
/> (6)
Даліза властивістю стаціонарності і ординарності, маємо:
/>, (7)
/>, (8)
/>. (9)
Врахуємо(7), (8) і (9) до (6).
/>
Востанній рівностівіднімемо від обох частин /> і розділимо на />.
/>
Атепер перейдемо до границі в обох частинах, коли />, тоді
/>(10)
де />.
Останнєрівняння системи, для визначення перехідних ймовірностей />, містить />:
/>
Враховуючиті ж самі властивості стаціонарності і ординарності простіших (пуассонівських)потоків, одержимо:
/>, (11)
/>. (12)
Якщопідставити (11) і (12) у рівність (10), тоді матимемо:
/>.
Якщовідняти від обох частин останньої рівності />, а далі розділити на />, тоді запишемо
/>
Теперобчислимо границі від обох частин, якщо />:
/>(13)
Такимчином отримуємо систему диференціальних рівнянь для обчислення /> – ймовірностей переходувід стану /> достану /> СМОз чергою, що має скінченне число місць в накопичувачі:
/>(14)
Якщоспостерігати СМО достатньо довгий час />, тоді розв’язок системи (14)можна знайти, якщо позначити /> (фінальні ймовірності) у вигляді:
/> (15)
Система(15) є лінійною, однорідною, алгебраїчною системою з невідомими />. Для того, щоб знайтиєдиний розв’язок системи (15) необхідно додати умову
/>.(16)
Ранішебуло доведено, що для усіх /> діє формула:
/>, де /> />
Теперрозглянемо />-ерівняння системи (15) і обчислимо />,
/>
/>.
Отже,одержали зв’язок /> і />
/> де />(17)
Нехайформула (17) є правильною для />. Необхідно довести, що вонаправильна і для />. Для цього із системи (15)візьмемо рівняння з номером />, отже
/>
/>,
тобто
/>.(18)
Теперпотрібно перевірити, що (18) правильна і для />. Для цього необхідно взятиостаннє рівняння системи (15), з нього маємо
/>.(19)
Такимчином, якщо порівняти (18) і (19), можна записати:
/> />.(20)
Отже,/>, звідкиможна знайти />, тобто, якщо врахувати формулусуми геометричної прогресії />,
/>(21)
2. БагатоканальніСМО з очікуванням без обмеження на довжину черги
система масовеобслуговування очікування черга
Длятого, щоб скласти рівняння для перехідних імовірностей у випадку, коли СМО маєбезліч місць у накопичувачі, треба із системи (14) викреслити останнє рівнянняі покласти />.Питання існування фінальних ймовірностей для такої системи пов’язано з умовами,які дають можливість виконуватися рівності />, а це, якщо врахувати
/>, />,(22)
/>, />(23)
то(21) дає
/>.(24)
Другийдоданок у (24) є нескінченний ряд, який утворений із геометричної прогресії іззнаменником />.Отже, для того, щоб він був збіжний, потрібно, щоб />. Це є умовою, для існуванняфінальних імовірностей />, коли />. З точки зору практичноговикористання цієї умови необхідно, щоб середня кількість заявок, які надходятьдо системи за середній час обслуговування однієї заявки одним каналом, буластрого меншою ніж кількість каналів. Тоді формула (21) спрощується:
/> при умові />(25)
Основніхарактеристики СМО з очікуванням. Зупинимось на таких характеристиках СМО зочікуванням, коли довжина черги нескінченна, як середнє число заявок у черзі,середнє число заявок у СМО, функція розподілу часу очікування початкуобслуговування, середній час перебування заявки
у СМО.
1. Середнє число заявок у черзі
Оскількичисло заявок в черзі є випадковою величиною із значеннями
0, 1, 2, … і ймовірностями відповідно />, тоді середнє число заявок учерзі є математичне сподівання цієї величини, тобто:
/>.(26)
Длятого, щоб знайти суму ряду />, спочатку знайдемо суму ряду />, який утвореновід геометричної прогресії із знаменником />, тобто />. Оскільки останній ряд єстепеневий ряд відносно />, то він рівномірно збігається дляусіх />,тому його можна почленно диференціювати по />. Тоді матимемо
/>(27)
Теперврахуємо (27) у рівності (26):
/>,(28)
де /> і /> обчислюєтьсяза формулою (25).
Середнєчисло заявок у СМО обчислюється:
/>
(29)
/>.
Оскільки
/>
тоді(29) можна спростити:
/>
/>.
Такимчином середнє число заявок у СМО є
/>,(30)
тобтоскладається із середнього числа заявок, що находять за середній час обслуговуванняоднієї заявки і середнього числа заявок, що очікують у черзі.
3.Функція розподілу часу очікування початку обслуговування
Нехай/> євипадкова величина часу, який заявка чекає у СМО до початку обслуговування.Необхідно визначити функцію розподілу цієї величини, тобто />. Якщо використативизначення функції розподілу, то матимемо:
/>.
Знайдемо/> приумові, що час очікування обслуговування /> є випадкова подія, коли усіканали вільні, чи коли зайнятий хоча б один з /> каналів, тобто
/>
/>.
Такимчином
/>(31)
Теперобчислимо />.По-перше, позначимо ймовірність /> того, що за час /> обслуговуватиметьсябільше ніж /> заявок,при умові, що зайняті усі /> каналів. Крім того, оскількипотік обслуговування заявок є пуассонівським з параметром />, то ймовірністьобслуговування /> заявок одним каналом обчислюєтьсяза формулою />.
Якщона обслуговуванні два канали, тоді кожний канал обслуговує одну заявкунезалежно від другого. Отже ймовірність того, що /> заявок будуть обслужені двомаканалами обчислюється за формулою суми двох незалежних подій
/>.
Далі,продовжуючи аналогічні міркування, можна записати таку формулу для ймовірностіобслуговування за час /> /> заявок, якщо /> каналів зайняті:
/>(32)
Такимчином, якщо врахувати (32)
/>(33)
Обчислимоймовірність /> за умови (33):
/>
(34)
/>.
Востанній рівності поміняємо порядок сумування змінних /> і />. Тоді (34) можна записати увигляді:
/>
/>
/>.
Теперможна записати значення />:
/>(35)
Враховуючи(31) і (35) до рівності (28) маємо вираз для функції розподілу часу очікуванняпочатку обслуговування у вигляді
/>(36)
Вираз(36) можна спростити і тоді:
/>(37)
Випадковавеличина /> неє дискретною, бо в точці /> і 1 функція розподілу /> має розрив.Якщо ввести функцію /> що має похідну />, тоді можна записатищільність розподілу часу очікування обслуговування />, тобто
/>
(38)
/>,
де />.
4.Середній час очікування початку обслуговування
Якщоврахувати (38) і формулу обчислення математичного сподівання випадковоївеличини, тоді можна обчислити середній час очікування початку обслуговування:
/>
(39)
/>.
Відомо,що />, томудругий інтеграл у (39) дорівнює нулю, тоді
/>.(40)
Оскількидля існування фінальних ймовірностей достатньо, щоб />, тоді />, звідки />. Враховуючи це в (40), отримаємо:
/>.(41)
5.Середній час перебування заявки у СМО
Позначимосередній час перебування заявки в СМО через />. Середній час перебування заявкив системі складається із часу очікування обслуговування і часу, що йде наобслуговування, тобто
/>,
тоді
/>.
Враховуючи(41) і те, що />, маємо
/>. (42)
6.Функція розподілу випадкового часу перебування заявки у СМО
/>
(43)
/>,
де /> – щільністьрозподілу випадкового часу очікування обслуговування, що обчислюється заформулою (38), а /> – щільність розподілу випадковогочасу обслуговування.
/>