Систематична похибка опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності
Підкреслимо одну важливу особливістьрезультатів опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності у порівнянні зрезультатами прямих багаторазових вимірювань. Якщо в результатах одноразовихспостережень систематичні похибки вилучені, то математичне сподіваннясереднього арифметичного ряду прямих рівнорозсіяних спостережень дорівнюєістинному значенню вимірюваної величини, тобто результати прямих виправленихспостережень вільні від систематичних похибок. На відміну від цього, математичнесподівання похибки результату опосередкованих вимірювань при нелінійній залежності,яка визначається певною формулою, не дорівнює нулю, тобто похибка результатутакого опосередкованого вимірювання, поряд з випадковою складовою, має і систематичнускладову. А це означає, що математичне сподівання результату опосередкованихвимірювань при нелінійній залежності не дорівнює істинному значенню вимірюваноївеличини, або інакше, що оцінка є зміщеною, якщо хоча будь-яка одна середдругих похідних в не дорівнює нулю. Покажемо це.
Обчислимо математичне сподівання абсолютноїпохибки опосередкованих вимірювань />Y з урахуванням:
/>
/>.
У цьому виразі перша сума дорівнює нулю,оскільки /> заумовою проведення експерименту, а друга сума визначає систематичну похибку. Отже,якщо вимірювані величини корельовані між собою, то, враховуючи рівність
/>,
для систематичної похибки результатуопосередкованих вимірювань дістаємо
/>
Оцінку коефіцієнта кореляції /> або визначають заекспериментальними даними, або задають функціональною залежністю чи у виглядіматриці.
За умови, що вимірювані величини некорельовані, маємо
/>
Тоді систематична похибка результатуопосередкованих вимірювань
/>.
Отже, опосередковані вимірювання принелінійній залежності мають специфічну систематичну похибку, яка обумовленаненульовими частинними похідними />.
Щоб вилучити цю систематичну похибку, треба врезультат опосередкованих вимірювань, обчислений за формулою, ввести поправкуП, яка дорівнює систематичній похибці за значенням і обернена їй за знаком,тобто />.
Опосередковані вимірювання при лінійнійзалежності вказаної вище специфічної систематичної похибки не мають, тому щодля них />.Результат і похибка опосередкованих вимірювань
Довірчі границі випадкової похибки і границіне вилученої систематичної похибки результату опосередкованого вимірювання знелінійною залежністю визначають за певними формулами, підставляючи в останнізамість коефіцієнтів /> відповідно перші похідні />.
Довірчу повну похибку результатуопосередкованого вимірювання обчислюють певним чином.
Остаточний результат опосередкованихвимірювань записується у вигляді
/> при, (4.35)
де/> — границі допустимої випадковоїпохибки опосередкованих вимірювань.
Формули для оцінки СКВ і результатуопосередкованих вимірювань справедливі за умови, що відомі оцінки дисперсії (іСКВ) початкових величин. Значення коефіцієнта /> визначається для заданої довірчоїймовірності P, виходячи із закону розподілу результату опосередкованоговимірювання. Якщо закон розподілу результату опосередкованих вимірювань можнавважати нормальним, то для визначення /> (і довірчих границь />) використовуєтьсяінтегральна функція нормованого нормального розподілу при великому числівимірювань />.При малому числі /> нормально розподілених результатівспостережень /> слід користуватися розподіломСтьюдента з “ефективним” числом степенів вільності, що визначається виразом
/>.
Якщо числа спостережень усіх аргументіводнакові />,то
/>.
При лінійній функціональній залежностіопосередкованих вимірювань маємо /> і одержуємо приведені ранішеформули для ефективного числа степенів вільності />.
Оскільки число /> звичайно є дробовим, то дляпошуку величини /> за таблицею розподілу Стьюдентанеобхідно використовувати інтерполяцію.
Довірчі границі повної похибки опосередкованихвимірювань (з урахуванням випадкової і не вилученої систематичної складовихпохибки вимірювань) знаходять за відповідною методикою.
Отже, загальна методика статистичної обробкирезультатів опосередкованих вимірювань передбачає такий алгоритм:
1) вилучення відомих (виявлених) систематичнихпохибок з результатів вимірювань кожного аргументу;
2) перевірку відповідності реального розподілурезультатів прямих вимірювань кожного аргументу нормальному закону за одним ізкритеріїв згоди. Якщо така відповідність підтверджується, то проводятьперевірку надмірних похибок і їх вилучення з результатів вимірювань;
3) обчислення оцінок аргументів та їх похибок;
4) перевірку відсутності кореляції міжрезультатами вимірювань аргументів попарно, при її наявності обчислюютьвідповідні коефіцієнти кореляції;
5) обчислення результату опосередкованоговимірювання;
6) обчислення довірчої випадкової похибки ізагальної похибки результату опосередкованого вимірювання; при нелінійнійзалежності знаходять систематичну похибку опосередкованих вимірювань,обумовлену перехресними членами у рівнянні.
При прямих одноразових вимірюваннях початковихвеличин /> процедуравизначення результату Y опосередкованих вимірювань зберігається такою самою, які при багаторазових вимірюваннях. Проте при прямих одноразових вимірюванняхпочаткових величин /> для оцінки характеристик похибкиопосередкованих вимірювань широко використовуються абсолютні і відноснізначення похибок. Для визначення абсолютної похибки результату опосередкованихвимірювань використовують співвідношення, аналогічне за формою виразу беззалишкового члена, а за абсолютною похибкою знаходять відповідні відносні похибкиз рівності.
Формули обчислення абсолютних і відноснихпохибок опосередкованих вимірювань для тих функціональних залежностей, якічасто зустрічаються в практиці, наведені в табл. 1. Якщо похибки єсистематичними, то формули в табл. 1. використовують з урахуванням знаківпохибок. Для випадкових похибок здійснюється підсумовування за модулем, тобтоарифметичне підсумовування, причому за величину беруть границі допустимихпохибок (максимальні значення).
Табл. 1. свідчить, що піднесення аргументу доцілого степеня значно збільшує, а добування цілого степеня аргументу зменшуєпохибки результату. Тому вимірювання величин, які у формулу входять у вигляді /> - ціле додатне число),необхідно виконувати з більшою точністю, а вимірювання величин, які входять уформулу (1.6) у вигляді />, може здійснюватися з меншоюточністю. Якщо результат опосередкованих вимірювань виражається через степеневуфункцію аргументів, наприклад,
/>,
то для відносної систематичної похибкиодержимо
/>,
а для оцінки “зверху”, тобто максимальногозначення відносної випадкової похибки
/>
Таблиця 1. Функції Y П о х и б к и Абсолютна, Відносна,
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Проте така оцінка дає завищені результати і їїзастосування доцільно при 2 або 3 складових похибки. При більшому числіскладових випадкової похибки опосередкованих вимірювань (за числом аргументів m),абсолютну випадкову похибку результату опосередкованих вимірювань слідобчислювати за правилами підсумовування незалежних випадкових величин, тобтогеометрично
/>.
Величину /> називають середнім квадратичнимзначенням абсолютної випадкової похибки опосередкованих вимірювань.
Тоді СКЗ відносної випадкової похибкиопосередкованих вимірювань
/>.
При роздільній оцінці систематичних івипадкових похибок результату опосередкованих вимірювань необхідно мати наувазі таке. Очевидно, що оцінити систематичну похибку результатуопосередкованих вимірювань неможливо, не знаючи оцінок систематичних похибокпочаткових величин />. Але якщо вони відомі, то їхнеобхідно вилучити з результатів прямих вимірювань />, а потім оцінити результатопосередкованого вимірювання за цими виправленими значеннями />. Водночас така оцінкасистематичної похибки може бути проведена після закінчення експерименту. Тодіїї у вигляді поправки необхідно врахувати в остаточному результатіопосередкованого вимірювання. Оцінка систематичної похибки можевикористовуватися також під час підготовки до експерименту, як орієнтовнаоцінка. Наприклад, якщо припустити, що похибка результату опосередкованоговимірювання визначається тільки похибкою ЗВТ при вимірюванні величин />, причому в цихЗВТ переважаючою є систематична похибка (випадковою похибкою можна знехтувати),то на підставі оцінки систематичної похибки за певною формулою при (провівшиформальну заміну />, />) можна вибрати ЗВТ з такими границямидопустимих систематичних похибок, щоб похибка результату опосередкованихвимірювань величини Y не перевищувала заданого значення. Оцінка результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань
Загальною ознакою сумісних і сукупнихвимірювань, відповідно до їх визначення (див. § 1.5), є те, що значенняшуканих величин визначають, розв’язуючи систему рівнянь, які зв’язують шуканівеличини з деякими іншими величинами, вимірюваними прямими або опосередкованимиметодами, причому вимірюють декілька комбінацій значень цих величин. Вимірювання,проведені для кожної комбінації, дозволяють одержати одне рівняння, асукупність цих рівнянь для всіх комбінацій являє собою систему рівнянь, в якувходять також усі значення шуканих величин. Цю систему рівнянь, відповідно до (1.7),запишемо для стислості записів у вигляді
/>, (4.36)
де/> — значення шуканих величин,;
/> - значення величин, вимірюванихпрямими або опосередкованими методами в q-му досліді,;
n — число дослідів;
k — число величин, які вимірюються в кожному досліді;
m — число шуканих величин.
Рівняння, як і рівняння, за формою однаковідля сумісних і сукупних вимірювань. Їх відмінністю є тільки фізична сутьшуканих величин.
Якщо /> є значеннями тієї самої фізичноївеличини (наприклад, масами гир певного набору або довжинами лінійних мір), товимірювання сукупні. Якщо ж /> - значення різних фізичнихвеличин (наприклад, опору і температури), то вимірювання сумісні. Ще разпідкреслимо, що такий поділ вимірювань дуже умовний, але він традиційно існує.
Після проведення n дослідів одержують nкомбінацій значень вимірюваних величин />. Підставляючи /> у початкову систему іпроводячи необхідні перетворення, одержимо систему рівнянь
/>
Рівняння (4.37) містять у собі шукані величини/> і числовікоефіцієнти />.Для визначення m невідомих значень шуканих величин необхідно мати m рівнянь. Тодірезультати вимірювань величин /> і довірчі границі їх похибокможна знайти за методиками обробки результатів опосередкованих вимірювань. Проте,з метою зменшення похибок результатів вимірювань, дослідів проводять дещо більше,ніж число m невідомих величин/>, тобто.
Оскільки точність вимірювання величин /> обмежена, тоумовні рівняння одночасно не перетворюються в тотожності при жодних значенняхшуканих величин />, а отже, не виникає можливостівизначення їх істинних значень. Тому задача зводиться до знаходження оцінокшуканих величин />, найбільш наближених до істиннихзначень. Позначимо такі оцінки />. Якщо значення /> підставити в умовнірівняння, то їх ліві частини, в загальному випадку, будуть відрізнятися відправих частин. Такі рівняння і названі умовними. Для одержання тотожностівведемо в праві частини умовних рівнянь деякі величини, які називаютьзалишковими похибками умовних рівнянь або відхилами. Звідси маємо
/>. (4.38)
Для розв’язання системи умовних рівнянь застосовуєтьсяметод найменших квадратів (МНК), згідно з яким оцінки /> вибирають так, щоб мінімізуватисуму квадратів відхилів
/>.
Розв’язання задачі в самому загальномувипадку, коли умовні рівняння нелінійні, а результати окремих вимірюванькорельовані, дещо утруднено. Тому розглянемо окремий випадок, коли умовнірівняння лінійні або приведені до лінійного вигляду, а результати вимірюваньвеличин /> рівноточніі некорельовані. Тоді оцінки, одержані методом найменших квадратів, будутьобґрунтованими і незміщеними, а при нормальному розподілі результатіввимірювань ще й ефективними. У цьому випадку система рівнянь може бутиприведена до вигляду
/> (4.39)
де/> — коефіцієнти, одержані ізсистеми рівнянь після її лінеаризації (якщо вона нелінійна) і підстановкизначень величин />, причому q - рядок, j — стовпчик;
/> - постійна величина.
Сума квадратів відхилів визначається ізсистеми рівнянь
/>
Як відомо, необхідною умовою мінімумудиференціальної функції багатьох змінних, у даному випадку />, є виконання рівнянь:
/>
Їх можна розглядати як рівняння відносновеличин />уматематичній статистиці вони називаються нормальними рівняннями.
Використовуючи рівність, знайдемо частинніпохідні і прирівняємо їх до нуля:
/>
Запишемо одержану систему рівнянь укомпактному вигляді
/>
Ця система рівнянь є лінійною відносно шкаливеличин />. Внаслідокрозв’язання системи нормальних рівнянь одержують m невідомих величин />. Для спрощеннязапису цієї моделі використовують позначення Гаусса для сум:
/>; />; />.
З урахуванням цих позначень система нормальнихрівнянь набуває вигляду
/>
Як відомо, розв’язання такої лінійної системиє лінійними комбінаціями величин />:
/>
де коефіцієнти /> знаходять, розв’язуючи системурівнянь (4.44) за допомогою визначника для кожної з шуканих величин:
/>,
де />;
/>.
Визначник /> одержаний заміною у визначнику /> j-го стовпцястовпцем вільних членів у (4.44).
Отже, />.
Визначивши з відхили /> і підставивши їх у рівняння (4.42),одержимо такі рівності:
/>,
що виражають властивості відхилів />. Ці рівностізастосовуються для перевірки правильності визначення оцінок /> шуканих величин післярозв’язання системи рівнянь.
Визначення оцінок /> шуканих величин /> пов’язано з великимобсягом обчислень, який швидко збільшується із збільшенням числа умовнихрівнянь. Останнє необхідно для підвищення точності одержаних оцінок. У сучаснідні обробка результатів сумісних і сукупних вимірювань виконується за допомогоюЕОМ за стандартними програмами. Тому точність оцінок істинних значеньвимірюваних величин може бути значно підвищена при збільшенні числа умовнихрівнянь до кількох десятків і навіть сотень, а в деяких випадках і більше.
Для оцінки точності одержаного розв’язаннясистеми рівнянь звичайно припускають, що точність визначення коефіцієнтів /> значно вищавід точності визначення коефіцієнтів />. Це припущення, як правило,виправдане в багатьох практичних випадках. При його виконанні похибки оцінок /> шуканихвеличин /> визначаютьсятільки дисперсіями результатів вимірювання останніх. А враховуючи, що згідно зрівняннями оцінки /> є лінійними комбінаціями величин />, маємо
/>,
де/> — оцінка дисперсії шуканихвеличин />
/> - оцінка дисперсії коефіцієнтів/>.
Якщо припустити, що всі результатиспостережень є рівноточними, а отже, всі дисперсії /> у виразі однакові
/>,
то оцінка СКВ
/>
Для обчислення /> рекомендується досить простийвираз
/>,
в якому залишкові похибки /> визначають із рівнянь післявизначення оцінок /> згідно з системою рівнянь.
Якщо точність визначення усіх коефіцієнтів />системи рівнянь(4.45) приблизно однакова, то оцінку СКВ результату вимірювань величин визначають за формулою
/>
де/> — алгебраїчні доповненняголовного визначника D, які одержують виключенням з нього j-го рядка та j-гостовпця.
З рівнянь випливає, що точність сукупних ісумісних вимірювань залежить від співвідношення числа шуканих величин m і числаумовних рівнянь n. Чим значніша умова, тим точніше результати обробки. Якщо mі n близькі, то результати обробки визначаються з грубими похибками.
Довірчі інтервали для істинних значень усіхвимірюваних величин одержують за розподілом Стьюдента при числі степеніввільності.
Якщо при сукупних і сумісних вимірюванняхумовні рівняння нелінійні, то застосовують їх лінеаризацію.
Таким чином, методика обробки результатівсукупних і сумісних вимірювань така:
1. Записують систему умовних рівнянь при /> підстановкоюекспериментальних даних у рівняння початкової залежності.
2. Систему умовних рівнянь приводять донормального вигляду. Для обчислення коефіцієнтів нормальних рівнянь складаютьдопоміжну табл. 2, яка дозволяє також перевірити правильність визначенняшуканих величин.
Таблиця 2.q
/>
/> ...
/>
/> ...
/> ...
/> ...
/>
/>
/> ...
/> 1
/>
/> ...
/>
/> ...
/> ...
/> ...
/>
/>
/> ...
/> 2
/>
/> ...
/>
/> ...
/> ...
/> ...
/>
/>
/> ...
/> ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n
/>
/> ...
/>
/> ...
/> ...
/> ...
/>
/>
/> ...
/>
/> ...
/>
/> ...
/> ...
/> ...
/> …
/> ...
/>
Визначають оцінки шуканих величин />,розв’язуючи систему нормальних рівнянь, для чого використовують один із методів:
а) метод, який ґрунтується на послідовномувиключенні невідомих (метод Гаусса);
б) метод із застосуванням визначника.
4. Перевіряють правильність визначення оцінокшуканих величин за рівняннями.
5. Знаходять оцінку СКВ результатіввимірювань шуканих величин /> запевними формулами.
6. Визначають довірчі інтервали для всіхвимірюваних величин на підставі розподілу Стьюдента при числі степеніввільності їх вимірювань.