РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СВЕТОВОДАХ
1. Падение плоскойволны на границу раздела двух сред
Рассмотрим плоскуюграницу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями />и />. Индексы i, r,t – относятся к падающей, отраженной и прошедшей волнам.
1.1 Нормальное падение
Для простотынапряженности поля плоской волны будем рассматривать как скалярные величины,подразумевая, что соответствующие векторы направлены так, как показано на рис.1 (в начальный момент напряженность /> направлена в сторонуотрицательного направления оси y, а напряженность /> – в сторону положительногонаправления оси z).
Волновые сопротивления икомпоненты поля связаны следующими соотношениями
/>. (1)
/>
Рис. 1. − Отражениеплоской волны от границы раздела двух сред при
нормальном падении
Знак “–“для отраженной волны появляется вследствие учета изменения направленияраспространения волны и принятой скалярной формы записи компонент поля.
На границе раздела должнывыполняться условия непрерывности касательных составляющих электрического имагнитного полей
/>. (2)
Последние выраженияпозволяют получить полезное соотношение
/>.
При отражении волны всреде 1 от границы со средой 2 полное волновое сопротивление (волновоесопротивления для полного поля) равно волновому сопротивлению среды 2.
Из (1) и (2) легкополучить коэффициенты отражения и прохождения для напряженности электрическогополя:
/>. (3)
Учитывая выражения дляпоказателей преломления
/>
получаем классическиеформулы
/>, (4)
где />.
Выражение для вектораПойнтинга и (3) позволяют получить формулы для коэффициентов отражения ипрохождения по мощности
/>,
Прямые вычисленияпоказывают, что
/>,
и это находится в полномсогласии с законом сохранения энергии.
1.2 Произвольноепадение на границу раздела
В этом случае необходиморассмотреть два случая: Е – поляризации и Н- поляризации, которые отличаютсяориентацией вектора Е падающей волны. При Е поляризации вектор в плоскостипадения лежит вектор Е, а при Н поляризации – вектор Н. Однако рассмотрениядвух случаев можно избежать, если воспользоваться принципом двойственности дляуравнений Максвелла, согласно которому система уравнений Максвелла инвариантнаотносительно замены />.
Этот принцип в нашемслучае позволяет:
а) найти коэффициентыотражение и прохождения для магнитных полей, зная эти коэффициенты дляэлектрических полей,
б) получитьсоответствующие выражения для случая Е поляризации, зная выражения для Нполяризации и наоборот.
Поэтому ниже мырассмотрим только случай Н поляризации.
/>
Рис. 2. − Наклонноепадение плоской волны
Для упрощения процедурынахождения R и T при наклонном падении плоской волны на границу разделавоспользуемся ещё одним соображением. В случае произвольного падения (рис. 2)можно всегда разложить волну на две плоские волны: одну, распространяющуюся внаправлении ” -x”, вторую − в положительном направлении оси z. Для этогодостаточно разложить поле Н в плоскости падения (пл. XZ) на две компоненты: Hxи Hz. Первая образует плоскую волну, распространяющуюся вдольграницы раздела и она не претерпевает никакого отражения. Вторая – плоскуюволну, нормально падающую на границу раздела (с волновым числом />, согласно рис. 2) иприводящую к появлению отраженной и прошедшей волн. Таким образом, мы опятьприходим к нормальному падению и можем воспользоваться уже полученными ранеевыражениями. Однако при этом нужно учесть, что для рассматриваемой нормальнопадающей волны, волновые сопротивления будут определяться уже другимисоотношениями, которые имеют следующий вид:
Н поляризация
/>,
/>, (5)
Е поляризация
/>,
/>, (6)
/>
Рис. 3. − Зависимостькоэффициента отражения от угла падения
Учитывая все сказанное,по (3) и (4) с учетом (5) и (6) получим следующие зависимости коэффициентовотражения и прохождения от углов падения q и преломления j.
Н поляризация
/>, />, (7)
Е поляризация
/>, />. (8)
Это и есть классическиеформулы Френеля, которые мы получили достаточно просто.
Кривые зависимостикоэффициентов отражения и прохождения от угла падения приведены на рис. 3.
Из (7), (8) и рис. 3.следуют известные закономерности.
1. Для Е поляризованнойволны существует особый угол падения qB,называемый углом Брюстера, при котором коэффициент отражения равен нулю. Этоявление часто используют для получения поляризованного света при отражении (вчастности, в газовых лазерах с этой целью используют окно Брюстера).
2. В случае нормальногопадения Н поляризованной волны на оптически более плотную среду (h>1) она приобретает при отражениифазовый сдвиг, равный p.
3. При отражении Нполяризованной волны от поверхности оптически менее плотной среды (h
/>, (9)
и который соответствуетполному внутреннему отражению, поскольку в этом случае />.
Физические процессы,происходящие при углах больших чем q=qс, требуютболее тщательного рассмотрения в силу их важности для анализа направленногораспространения волн.
1.3 Полное внутреннееотражение
Рассмотрим отражение Нполяризованной волны при q> qс и при h
/>, (10)
чисто мнимая величина.Положим />,тогда согласно (7)
/>, (11)
где />, />. (12)
Из (11), (12) следуют дваважных вывода
1. При углах падениябольших или равных критическому углу qсимеет место полное внутренне отражение.
2. Отраженная волна приобретаетфазовый сдвиг, зависящий от угла падения.
Чтобы более прояснитьфизическую картину происходящего, проанализируем энергетические соотношения.Рассмотрим подробнее волну в среде 2 (рис. 2). Будем считать напряженностьэлектрического поля, вектор которой параллелен оси OY, вещественной величиной.Тогда, опять раскладывая вектор напряженности магнитного поля на двесоставляющие />и /> получим что
/> – вещественная величина,
/> - мнимая величина
и соответствующие имкомпоненты вектора Пойнтинга во второй среде
/> – вещественный,
/> – мнимый.
Таким образом, вдоль осиz имеется поток распространяющейся энергии, а вдоль оси x – поток реактивнойэнергии. Это эквивалентно наличию неоднородной волны, распространяющейся вдольграницы раздела. Эквифазные поверхности этой волны – плоскости,перпендикулярные оси z, а поверхности постоянной амплитуды – плоскости,параллельные оси z. Действительно, для компонент волнового вектора нетруднополучить из рис. 2
/>, (13)
/>. (14)
Соотношение (14)показывает, что волна во второй среде обязательно должна экспоненциальнозатухать вдоль оси OX. Глубина ее проникновения определяется выражением
/>.
и она уменьшается сувеличением угла падения. Отметим, что d обратно пропорционально частоте и это значительно отличаетсяот зависимости глубины проникновения от частоты для среды с проводимостью(поглощающей среды).
Следовательно,качественно эволюцию физической картины, имеющей место при изменении углападения Н поляризованной волны на границу раздела двух сред можно представитьследующим образом. При /> обеих средах возникают плоскиеоднородные волны, распространяющиеся под некоторыми углами к границе раздела.По мере роста q направленияраспространения и скорости этих волн сближаются и при критическом угле падения /> направления ихраспространения и скорости становятся равными. Происходит как бы вырождение этихдвух волн в одну плоскую однородную волну, распространяющуюся вдоль границыраздела. Поскольку волна однородная, то ее поверхности постоянной фазы иамплитуды совпадают – это плоскости, перпендикулярные границе раздела. Однакопри дальнейшем увеличении угла падения (q>qс) частьэтой волны, находящаяся во второй (менее плотной среде), начинает претерпеватьизменения. Её амплитуда начинает уменьшаться по мере удаления от границыраздела, при этом скорость распространения вдоль границы раздела остается такойже как и в первой среде. Для части волны, находящейся в первой среде такогоизменения не происходит – плоскости постоянной амплитуды и фазы по-прежнемусовпадают. Таким образом, при /> получаем плоскуюнеоднородную волну, у которой в части пространства (в первой, более плотной,среде) поверхности постоянной фазы и амплитуды совпадают, а в менее плотнойсреде эти поверхности ортогональны. Кривые, иллюстрирующие зависимость фазы иамплитуды этой волны для двух углов падения: критического и большекритического, показаны на рис. 4.
/>/>
Рис. 4. − Зависимостифазы и амплитуды от координаты x в сечении
z = const при полномвнутреннем отражении
2. Металлическийсветовод
2.1 Оптическоеприближение (концепция плоских волн)
В этом разделе будетрассмотрен плоский металлический световод, образованный слоем диэлектрика,ограниченного двумя бесконечными, идеально проводящими металлическимиплоскостями, параллельными друг другу и оси OZ. Выбор для изучения такого типасветовода в какой-то степени ограничит общность результатов, поскольку:во-первых, реальные световоды имеют прямоугольную или круглую форму поперечногосечения, а во-вторых, ограничивающие поверхности как правило не являютсяметаллическими. Однако, такой выбор значительно упростит все вычисления ипозволит с наименьшими усилиями понять основные явления в них происходящие, атакже проследить взаимосвязь между оптическим и электромагнитных подходами кизучению поля в световодах. (взаимосвязь между результатами, полученными приоптическом и электромагнитном походами к изучению поля в световодах). Болеетого, нам не понадобится подробное рассмотрение электродинамического подхода.Мы воспользуемся основными результатами, полученными в курсе электродинамикипри изучении прямоугольного волновода, положив, что размер узкой стенки “b”стремится к бесконечности. Цилиндрические и другие типы оптических световодовбудут рассмотрены в последующих разделах.
Геометрия металлическогосветовода представлена на рис. 5. Он образован двумя бесконечными идеальнопроводящими плоскостями, уравнения которых таковы: x = ± a. Заполняющая его внутреннюю частьсреда – вакуум. Будем рассматривать только Н поляризованные волны вгеометрооптической терминологии (Н волны – в электродинамической).
Пусть в пространствемежду проводящими плоскостями возбуждена каким-то образом плоская
однороднаямонохроматическая Н поляризованная волна с длиной волны l… Волновой вектор лежит в плоскостиXOZ и образует с осью z угол q. Назовем такую волну “восходящей”. Вектор параллелен оси Y — имееттолько одну составляющую Е1y
/>.
В результате отражения отверхней плоскости появится отраженная (“нисходящая”) волна
/>,
где R – коэффициентотражения.
В любой точкепространства между плоскостями полное поле есть результат интерференции этихдвух волн и напряженность электрического поля его определится выражением
/>. (16)
/>
Рис. 5. − Металлическийпланарный (плоский) световод.
В силу граничных условийЕy должна обращаться в нуль при x = ± a. Выполнение граничного условия при x=a позволяетопределить R
/>,
а при x = -a приводит к соотношению
/>, (17)
где m – целоеположительное число.
Тогда выражение дляполного поля запишется следующим образом
/>. (18)
Согласно (18) поле всветоводе может существовать в виде набора плоских неоднородных бегущих вдольоси OZ волн с постоянной распространения
/>. (19)
Каждой волнесоответствует свой индекс “m”, определяющий характер распределения амплитуды впоперечной плоскости. Такие волны принято называть распространяющимися модами.Неоднородность их обусловлена тем, что поверхности постоянной амплитуды естьплоскости x =const, а эквифазные поверхности – плоскости z =const. Характерзависимости от координаты x будет различным для четных и нечетных m (рис. 6).
Пусть m четное число,т.е. m =2p, тогда
/>, p=1,2,3,... (20а)
если же m нечетное число(m = (2p-1))
/>, p=1,2,3,.... (20b)
Соотношение (17) можнорассматривать как дисперсионное уравнение. Оно позволяет определить постояннуюраспространения в световоде в зависимости от частоты и геометрическихпараметров системы. Из (17) и (19) следует
/>. (21)
В заключение еще разподчеркнем, что в металлическом световоде электромагнитное поле в общем случаеможет существовать в виде дискретного множества плоских волн. При этом каждуюволну (моду) из этого множества можно рассматривать (трактовать) либо какплоскую неоднородную волну, распространяющуюся вдоль продольной оси OZ спостоянной распространения b (21), либо как плоскую однородную волну, распространяющуюся в световоде,путем многократного отражения от стенок, на которые она падает под углом />, где
/>.
Изучим более детальносвойства указанных волн.
/>
Рис. 6 − Кструктуре мод в плоском металлическом световоде
2.2 Распространяющиесяи затухающие волны
Пусть частота w задана. Рассмотрим такой вопрос: подкакими углами q могутраспространяться волны в световоде. Ответ следует из соотношения (17). Есливвести обозначение
/>, (22)
то
/>. (23)
Отсюда видно, что при /> в световодевообще невозможно распространение света (электромагнитной волны), так как приреальных углах qсинус должен быть меньше единицы. Частота wсполучила название критической частоты. Иными словами, не существует такого углаq, введенная под которым в световод,плоская волна с частотой /> сталабы в нем распространяться. Для каждой моды на заданной частоте существует свойугол, такой, что введенная под этим углом в световод волна будет в немраспространяться в виде соответствующей моды. Эти углы определяются очевиднымравенством
/>.
Зависимости углов q от частоты для различных модраспространения показаны на рис. 7.
Очевидно, что при w = mwс m-ой моде соответствует угол q = p/2 и распространение отсутствует. По мере роста w (при w> wс) угол q уменьшается и в пределе при w ® ¥(l ® 0)стремится к нулю. Волна становится квазиосевой.
/>
Рис. 7. − Зависимостьугла падения от частоты для различных мод
Фазовая скорость соответствующеймоды определяется соотношением
/>, (24)
а групповая скоростьможет быть рассчитана по формуле
/>. (25)
Зависимости /> и /> от частотыпоказаны на рис. 8.
/>
Рис. 8. − Кривыедисперсии для металлического световода
Видно, что фазовая игрупповая скорости мод зависят от частоты. Следовательно, в световоде имеетместо дисперсия даже в отсутствии диспергирующей среды. Этот тип дисперсииполучил название модовой дисперсии.
Все сказанное вышеотносилось к случаю w> wс. Выясним теперь, что будет происходить при w 1, q должно быть мнимой величиной и
/> (26)
Выражение длянапряженности поля приобретает вид
/>.
Волна затухает вдольпродольной оси. Глубина проникновения волны в световод равна
/>. (27)
Величина d тем меньше, чем меньше w по сравнению с wс.
Таким образом, под какимбы углом плоская волна не вводилась бы в световод при w
Общий итог проведенныхисследований следующий. На заданной частоте в световоде может существоватьопределенной число мод, число которых зависит от геометрических размеровсветовода. Каждая мода обладает дисперсией. Общее поле будет линейнойкомбинацией этих мод с коэффициентами, зависящими от условий на концахсветовода (в частности от конструкции и свойств возбудителя – элемента ввода).При /> имеет место одномодовыйрежим.
2.3Электродинамический подход
волнаполяризованный световод диэлектрический
Как уже отмечалось вышеизученной задаче полностью соответствует рассмотрение поля в прямоугольномволноводе, у которого размер стенки b ® ¥.Из результатов, полученных в курсе электродинамики нетрудно установить, что врассмотренном световоде могут существовать волны только типа />. Каждойполученной нами m-ой распространяющейся моде соответствует волна /> Формулы,описывающие характер распределения поля в поперечном сечении, групповую ифазовую скорости, полностью идентичны полученным нами в оптическом приближении.
Следовательно, подход наоснове концепции плоских волн (оптическое приближение) и электродинамическийподход дают одни и те же результаты. Переход от одной концепции к другойосуществляется без труда, если учесть, что поперечное волновое число g для волноводных типов волн и угол q связаны соотношением
/>.
В случае металлическогосветовода нет никаких причин отдать предпочтение какому-либо из подходов.Однако при анализе диэлектрических световодов это не так.
3. Диэлектрическийсветовод
3.1 Определение полявнутри световода
Геометриядиэлектрического световода показана на рис. 9. Он предоставляет собой плоскуюдиэлектрическую пластину толщиной 2а с диэлектрической проницаемостью e1 (показатель преломления n1) и окружендиэлектрическими полупространствами с проницаемостью e1 (показатель преломления n2). Предположим.что e1 >e2 (n1> n2). Такой выбор значений диэлектрических проницаемостейобусловлен тем, что только в этом случае существует полное внутренне отражениео границ раздела сред, подобно тому, что имеет место в металлическом световодеи, кроме того, большая часть энергии (или вся) распространяется вдольпродольной оси z.
Применим такой же методанализа, что и для металлического световода. Несмотря на схожесть геометрии,результаты анализа должны быть другими, поскольку в случае диэлектрическогосветовода граничные условия отличаются от граничных условий на стенкахметаллического световода (у последнего они однородные, т.е. /> на границах раздела).
/>
Рис. 9. − Планарныйдиэлектрический световод
Введем в световод плоскуюоднородную волну. Её волновой вектор /> имеет две компоненты: /> вдоль оси z, /> — вдоль оси x.Во второй среде волновой вектор /> с компонентами /> и />. Очевидно (ранее этобыло показано), что должно выполняться равенство />.
Сразу ограничимся случаемкогда />,поскольку именно он представляет наибольший практический интерес, и рассмотри мопять только Н поляризованную волну. (Изучение случая Е поляризованной волнырекомендуется провести самостоятельно).
Напряженностиэлектрического поля падающей и отраженной волн в первой среде по-прежнемуописываются выражениями (16) и (17), а напряженность полного поля (18)
/>. (30)
В среде 2 дляпреломленного поля соответственно имеем
/>. (31)
В выражениях (30) и (31)– R и T коэффициенты отражения и прохождения соответственно,
/>,
в показателе экспонентызнак “-” – для />, знак “+” – для />.
Полное поле (30) должноудовлетворять граничным условиям (условиям непрерывности при переходе черезграницу раздела) при />. Учтем вначале ГУ при />. Поскольку ГУв данном случае отличаются от ГУ для металлического световода мы не можемвоспользоваться результатами из раздела 2. Однако, рассматриваемая ситуация вточности совпадает с той, которая имела место при изучении явления полноговнутреннего отражения. Поэтому мы можем использовать все результаты этогораздела. При этом нужно учесть только некоторые отличия чисто геометрическогохарактера: ось x направлена в противоположную; граница раздела смещена изначала координат на величину +a; угол q отчитывается не от нормали к границе раздела, а от самойграницы. Учитывая эти отличия, из (12, 30) получим
/>, (32)
/>, (33)
где />. (34)
Удовлетворяя теперь ГУ нанижней границе />, приходим к соотношению
/>. (35)
Равенство (35) будетиметь место при
/>. (36)
Соотношение (36) являетсяпо сути дисперсионным уравнением.
Из (32) с учетом (36)можно записать окончательное выражение для полного поля внутри диэлектрическогосветовода
/>.
Откуда при m четных />
/>, (37а)
и при m нечетных />
/>. (37b)
Итак, внутри диэлектрическогосветовода, как и внутри металлического, суперпозиция падающей и отраженной волндает бегущую вдоль оси z плоскую волну и стоячую волну вдоль оси x (или плоскуюнеоднородную волну распространяющуюся вдоль оси z). Возможны четные и нечетныеволны, соответствующие четному или нечетному закону распределения вдоль оси x.По обе стороны световода имеются две бегущие вдоль его границы плоскиенеоднородные волны, амплитуда которых экспоненциально убывает при удалении отграничной поверхности (рис. 10).
/>
Рис. 10. − Распределениеамплитуды поля в поперечном сечении
диэлектрическогосветовода: a) четная волна, b) нечетная волна
3.2 Дисперсионноеуравнение. Распространяющиеся моды
Полученное ранеедисперсионное уравнение (36) можно привести к виду
/>, (38)
откуда для четных инечетных m имеем
если />, то />. (39)
Решение его ваналитическом виде невозможно, ибо это трансцендентное уравнение. Однако можнопредложить простой и наглядный графический способ его решения, если учесть, чтоg и a должны удовлетворять условию, которое может бытьполучено из следующих очевидных соотношений (см. рис. 9)
/>
Откуда искомое условие
/>. (40)
Графический способпроиллюстрируем для /> (рис. 11). Строим зависимость /> от /> согласно (39).Для каждой частоты решение должно удовлетворять также (40), т.е. должно лежатьна пересечении построенных кривых с окружностью радиуса V, равного
/>. (41)
Величина V получиланазвание приведенной частоты.
Таким образом, задавая w, находим V, затем определяем точкупересечения с кривой зависимости /> от /> и соответствующее значение />. С ростомчастоты V увеличивается и, как видно из рисунка 11, увеличиваются /> и />.
/> Каждое p определяетзакон изменения поля вдоль поперечной координаты (37) и величину продольноговолнового числа, поскольку ему соответствует свое значение />. Каждая такая волнаназывается модой. Очевидно, что в диэлектрическом световоде на определеннойчастоте и при определенных размерах его может существовать дискретное множествомод. Каждая мода возникает на частоте при которой окружность впервые пересечет(или коснется) соответствующую кривую на рис. 11, то есть при выполненииусловия
/> (42)
Откуда критическаячастота p-ой моды равна
/> (43)
Величину wс можно назвать критической частотой данного световода.Физический смысл ее таков – это критическая частота моды с индексом p=1.
/>
Рис. 11. − К решениюдисперсионного уравнения
Таким образом, новые модывозникают на частотах /> и существуют соответственно при />. Для четныхмод наблюдается существенное отличие от металлического световода, а именно,существование нулевой моды с p=0. Следовательно, для диэлектрического световоданет нижнего частотного порога.
Все распространяющиесямоды возникают, когда угол q удовлетворяет условию />, т.е. />, где угол qс – критический угол. Иными словами, распространяющиесямоды могут существовать только в случае, когда «первоначальная» плоская волнавводится под углами />.
Однако, какая мода (скаким номером) при этом возникает зависит от частоты (43). Возбудившаяся модабудет существовать для всех />. С ростом частоты угол />, под которым онараспространяется, будет уменьшаться (/>при />).
Рассмотрим как изменяетсяпри этом структура и фазовая скорость возникшей моды. Вблизи критическойчастоты /> и/>. Откудафазовая скорость её равна />, т.е. фазовой скорости во внешнейсреде. Поскольку />, тоэлектрическое поле этой волны не убывает при удалении от границы раздела вовторую среду. В этой среде поле имеет вид однородной плоской волны (рис. 12.а).Мощность, распространяющаяся внутри световода, составляет малую часть от всеймощности волны. С ростом частоты /> и /> возрастают.
/>
Рис. 12. − Изменениеструктуры моды (p=3) в зависимости от частоты
Глубина проникновенияполя во вторую среду и угол уменьшаются. Мощность волны концентрируется внутрисветовода (рис. 12.б). В пределе, когда />, величина также стремится к />, а />. Волнаполностью удерживается в световоде и её фазовая скорость стремится к /> (рис. 12.в).
/>
Рис. 13. − Дисперсионныекривые для диэлектрического световода
3.2 Дисперсия
Более детальное изучениезависимостей фазовой и групповой скорости от частоты при отсутствии соответствующиханалитических соотношений можно провести качественно, если воспользоватьсяследующим приемом. Ранее было определено, что для каждой моды фазовая скоростьменяется от /> до /> при изменении частоты от критическойдо бесконечности. Следовательно, если построить зависимости/>, то они будут выглядетьследующим образом.
Изображенные кривыеназывают диаграммами дисперсии (кривыми дисперсии). Они позволяют достаточнолегко определить зависимости />и /> от />.
Действительно, если,например, взять точку М на кривой, соответствующей основной моде, то ясно, чтотангенс угла наклона луча ОМ, равный />, есть не что иное как />/>, а тангенс угла наклонакасательной в этой точке есть />. На основании рис. 13 нетруднопостроить следующие зависимости.
Отметим следующиеособенности поведения рассматриваемых величин по сравнению с аналогичными дляметаллического световода (рис. 8). Обе скорости на /> равны />,а при /> стремятсяк />. Кривые /> на некоторой частотеимеют точку перегиба (например, при /> для основной моды). В этой точкепроизводная от /> по частоте имеет экстремум.Зависимость /> имеетчетко выраженный минимум при частоте соответствующей точке перегиба кривой />. Наличие этого минимумаможно легко установить, если проследить за углом наклона касательной к кривой /> на рис. 13.Так, если точка М соответствует частоте />, то, очевидно, что касательнаясовпадает по направлению с прямой />. По мере перемещения точки Мвправо угол наклона касательной уменьшается. При этом видно, что есть областьчастот, в которой этот угол меньше, чем у луча />, т.е. />. Затем при дальнейшем перемещенииточки М угол наклона касательной начинает стремится к направлению прямой />.
/>/>
Рис. 14. − Зависимостьфазовой и групповой скоростей от частоты.
Частота /> соответствует точкеперегиба кривой /> для основной
моды.