ОГЛАВЛЕНИЕ
введение
1. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
1.1 Анализ исходной системы
1.2 Анализ системы с пропорциональным регулятором
1.2.1 Определение коэффициента усиления пропорциональногорегулятора
1.2.2Проверка устойчивостизамкнутой системы
1.2.3 Определение показателей качества
1.2.4 Анализ системы на соответствие ТЗ
1.3 Синтез регулятора
1.4 Анализ скорректированнойсистемы
1.4.1 Построение частотных характеристик, определение устойчивости системы
1.4.2 Определение частотных ПК, запасов устойчивости, критического коэффициентаусиления
1.4.3 Определениеоценок прямых ПК
1.4.4 Определение корневых оценок прямых ПК
1.4.5 Оценка точности системы
2. ОТРАБОТКА ТИПОВЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ
2.1 Единичный ступенчатый сигнал
2.1.1 Начальные и конечные значенияпереходных функций по передаточным функциям системы
2.1.2 Переходные функций системы, прямые ПК
2.1.3 Сравнение начальных и установившихся значенийпереходных функций
2.1.4 Определим величину Y0ступенчатого сигнала, при котором система работает в зонелинейности УМ
2.2 Сигнал с постоянной скоростью
2.3. Гармонический сигнал
2.3.1 Определение частоты ω0
2.3.2 Реакция системы на гармонический входной сигнал
2.3.3 Определение амплитудно-фазовых искажений
3.ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ
4.АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМНЕЛИНЕЙНОСТИ УМ
4.1Отработка ступенчатыхсигналов
4.2 Определение автоколебаний в замкнутой системе
4.3 Отработка гармонических сигналов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
введение
В курсовойработе рассматривается замкнутая, одномерная, стационарная, непрерывная,следящая система с частично заданной структурой, то есть большинство ееэлементов уже выбраны в соответствии с принятым принципом управления,функциональным назначением и условиями согласования с объектом управления. Системаявляется нелинейной, однако анализ проводится как с учетом, так и без учетанелинейностей ее отдельных элементов.
Припроектировании системы с частично заданной структурой основной проблемой являетсясинтез линейной системы, т.е. определение параметров корректирующего устройства,обеспечивающего заданные требования к качеству регулирования.
Вшироком смысле выбор оптимального корректирующего устройства осуществляется наоснове требований к массе, габаритным размерам, стоимости и других параметров,определяемых условиями эксплуатации. В более узком смысле, необходимообеспечить качество системы в установившемся и в переходном режимах.
Длярассматриваемой системы, кроме обеспечения заданных требований, необходимовыполнить некоторые ограничения:
- ограничения на коэффициент усиления: его увеличение может неблагоприятносказаться на возрастании влияния помех, что вызывает проблемы при конструированиии наладке системы;
- ограничения на положение высокочастотных асимптот логарифмическойамплитудной характеристики: желательно иметь больший наклон асимптот;
- ограничения на порядок модели корректирующего устройства: не вышевторого порядка;
- ограничения на величину частоты среза: ее уменьшение неблагоприятносказывается на быстродействии системы.
/>1. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНОЙСИСТЕМЫ
1.1Анализ исходной системы
Составимфункциональную схему замкнутой системы. Система содержит последовательновключенные в прямой цепи: усилитель мощности (УМ) и объект управления (ОУ), вцепи обратной связи: датчик обратной связи (ДОС), связанный с ОУ при помощикинематической связи (КС). Схема показана на рис. 1.1.
/>
Рис. 1.1. Функциональнаясхема исходной системы
Составимструктурную схему исходной системы. УМ предполагается безынерционным, но сограниченной зоной линейности />. В КСмежду ОУ и ДОС присутствует люфт (зазор) величиной 2∆. Схема изображенана рис. 1.2.
/>
Рис. 1.2. Структурная схемаисходной системы
Проведемлинеаризацию исходной системы. Для этого необходимо пренебречь наличиемнелинейных эффектов, то есть считать, что УМ имеет неограниченную зонунелинейности, зазор (люфт) в КС отсутствует, а коэффициент передачи равенединице.
Рассчитаемкоэффициент УМ:
/>.
Втехническом задании (ТЗ) коэффициент передачи датчика угла /> имеет размерность В/град.Для согласования размерностей в системе необходимо привести /> к размерности В/рад. Для этоговведем коэффициент согласования /> град/рад:
/> В/рад.
Структурнаясхема линеаризованной системы в общем виде изображена на рис. 1.3, с числовымипараметрами на рис. 1.4.
/>
Рис. 1.3. Структурнаясхема линеаризованной системы в общем виде
/>
Рис. 1.4. Структурнаясхема линеаризованной системы с числовыми параметрами
Передаточнаяфункция разомкнутой системы (ПФ РС):
/>.
Проведеманализ устойчивости исходной системы по алгебраическому критерию Гурвица [1, §6.2].Для этого запишем характеристическое уравнение замкнутой системы (ХУ ЗС):
/>,
/>,
/>,
/>,
/>; />;/>; />; />.
Все коэффициенты ХУ ЗСположительны (/>), следовательно, необходимое условие устойчивостивыполняется.
Проверимдостаточное условие устойчивости. Для этого все nопределителей Гурвица, где n – порядок системы, должныбыть положительны. Составим определители для системы четвертого порядка:
/>,
/>, />
/>.
Все определителиположительны, следовательно, исходная система устойчива.
Проведеманализ системы на соответствие требованиям ТЗ.
1. Дляопределения амплитудно-фазовых искажений запишем передаточную функцию замкнутойсистемы (ПФ ЗС) по выходу ДОС, а также выражения для логарифмических частотныххарактеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ):
/>,
/>,
/>,
/>.
Заданные в ТЗ и рассчитанныезначения амплитудно-фазовых искажений приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
/>, Гц 0…0,15 0,15…0,5 0,5… 1,3
/>, с-1 0,942 3,142 8,168 Заданные значения
/>, дБ 0,1 0,4 2,5
/>, град 3 5 16 Расчетные значения
/>, дБ 0,025 0,294 2,354
/>, град 8,57 28,68 73,35
2.Для определения величины показателя колебательности системы [4, §4.2] запишем выражениеамплитудной частотной характеристики замкнутой системы (АЧХ ЗС) по выходу ДОС ипостроим график (рис. 1.5):
/>
/>.
/>
Рис. 1.5. АЧХ замкнутойсистемы
Показательколебательности определяется по формуле:
/>,
где />− максимальноезначение АЧХ ЗC;
/>− начальное значение АЧХ ЗC.
/>.
Исходяиз требований ТЗ, показатель колебательности не должен превышать 1,25.
Вывод:исходная система не соответствует требованиям ТЗ, так как амплитудно-фазовыеискажения превышают допустимые значения.
1.2 Анализ системы с пропорциональным регулятором
1.2.1Определение коэффициента усиления пропорционального регулятора
Структурнаясхема линеаризованной системы с пропорциональным регулятором в общем виде изображенана рис. 1.6.
/>/>
Рис. 1.6. Структурнаясхема системы с пропорциональным регулятором
Расчетминимального коэффициента усиления разомкнутой системы оформим в виде таблицы(см. табл. 1.2).
Таблица 1.2
/>, Гц 0…0,15 0,15…0,5 0,5…1,3
/>, с-1 0,942 3,142 8,168
/> , дБ 0,1 0,4 2,5
ΔAn= /> 0,011 0,045 0,25
/> , град 3 5 16
/> 0,0108 0,043 0,2
sin /> 0,052 0,087 0,276
ρn=/> 0,0108 0,043 0,2
/> 87,222 73,07 40,82
/> с-1.
Припостроении ЛЧХ системы с пропорциональным регулятором необходимо чтобы график ЛАЧХпроходил выше так называемой запретной области. Асимптотическая ЛАЧХ системы сполученным таким образом коэффициентом /> будетобеспечивать данное условие. Необходимо проверить данное условие для расчетнойЛАЧХ.
Выражениедля построения ЛАЧХ системы:
/>.
Воспользовавшисьданными из табл. 1.2 запишем координаты запретной области и сравним их созначениями ЛАЧХ системы на тех же частотах (табл. 1.3).
Таблица 1.3
/>, Гц 0…0,15 0,15…0,5 0,5…1,3
/>, с-1 0,942 3,142 8,168
ρn 0,0108 0,043 0,2 Координаты запретной области
/> -0,026 0,497 0,912
/> 39,332 27,331 13,979 Значения расчетной ЛАЧХ
/> 39,322 28,76 19,885
Из таблицы(см. табл. 1.3) видно, что на частоте /> расчетнаяЛАЧХ заходит в запретную область. Следовательно, ЛАЧХ необходимо поднять на 0,011дБ. Таким образом, минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы будетравен:
/> с-1.
Коэффициентусиления пропорционального регулятора рассчитывается по формуле:
/>.
Структурнаясхема системы с пропорциональным регулятором с числовыми параметрами изображенана рис. 1.7.
/>
Рис.1.7. Структурная схема системы с пропорциональным регулятором
/>1.2.2 Проверка устойчивости замкнутой системы
Проверимустойчивость системы по алгебраическому критерию Гурвица (см. п.1.1).
ХУ ЗС:/>,
/>,
/>,
/>,
/>; />;/>; />; />.
Необходимое условие устойчивостивыполняется, так как />.
Проверимдостаточное условие устойчивости. Для системы четвертого порядка достаточнопроверить выполнение условия:
/>,
/>,
/>.
Условиевыполняется, следовательно, система устойчива.
Проверимустойчивость системы по критерию Найквиста [1, §6.5, §6.6].
1. Сиспользованием амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ):
ЗапишемПФ РС:
/>.
Для того чтобы судить об устойчивости замкнутойсистемы, необходимо проверить устойчивость разомкнутой системы. Для этогозапишем характеристическое уравнение разомкнутой системы (ХУ РЗ) и найдем корниуравнения:
/>,
/>; />; />; />.
Таккак один из корней равен нулю (/>), а всеостальные корни с отрицательными вещественными частями (левые), то можносделать вывод, что разомкнутая система находится на апериодической границе устойчивости.
Далее необходимопостроить АФЧХ разомкнутой системы (годограф Найквиста). Запишем выражение дляпостроения АФЧХ и выделим действительную и мнимую части:
/>
Задаваясьразличными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, построимгодограф Найквиста (рис. 1.8) по характерным точкам (табл. 1.4):
Таблица 1.4ω
/>
/> -5,146 -∞ 46,7 -0,7 290,3 0,008
/>
/>
Рис. 1.8. ГодографНайквиста
Таккак годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечнобольшого радиуса, не охватывает особую точку (−1;j0),то замкнутая система устойчива.
2. Сиспользованием ЛЧХ:
Запишемвыражения и построим ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 1.9):
/>
/>.
/>
Рис. 1.9. ЛЧХ системы
Замкнутаясистема устойчива, если выполняется неравенство:
/>,
где />– частота среза, прикоторой />;
/>– критическая частота, прикоторой />.
/>
Таккак неравенство /> выполняется,следовательно, замкнутая система устойчива.
Проверимустойчивость системы по критерию Михайлова [1, §6.3].
ЗапишемХУ ЗС:
/>,
/>,
/>,
/>.
Подставимв этот полином чисто мнимое значение />. Приэтом получим функцию Михайлова, как характеристический полином, состоящий из вещественнойи мнимой части:
/>
Задаваясьразличными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, построимгодограф Михайлова (рис. 1.10) по характерным точкам (табл. 1.5):
Таблица 1.5
/>
/>
/> 87,336 38,82 11,7 46,424 -36,683 287,71 -10763,5 ∞ ∞ ∞
Таккак годограф системы, имеющей четвертый порядок, при изменении ω от 0 до ∞,начинается на вещественной положительной полуоси и при увеличении ω вположительном направлении последовательно проходит четыре квадранта, и при этомне обращается в 0, то можно сделать вывод, что замкнутая система устойчива.
/> /> Рис. 1.10. Годограф Михайлова (справаувеличен вблизи начала координат)
1.2.3 Определение показателей качества
1.Частота среза разомкнутой системы.
Частотасреза разомкнутой системы была определена в анализе системы по критериюНайквиста с использованием ЛЧХ (см. п.1.2.2):
/>.
2.Запасы устойчивости.
Запасыустойчивости по амплитуде и по фазе определяются по формулам:
/>, />,
где />, />,/> и /> – ЛЧХ разомкнутой системы(см. п.1.2.2):
/> дБ, /> град.
3.Критический коэффициент усиления системы.
Коэффициент/> определим поалгебраическому критерию Гурвица (см. п.1.1).
ХУЗС:/>,
/>,
/>,
/>,
/>; />;/>; />; />.
Условиенахождения системы на границе устойчивости:
/>,
/>,
/>.
4.Прямые показатели качества.
Прямыепоказатели качества системы определяются по графику переходной характеристики замкнутойсистемы по выходу ДОС [1, §8.4]. Запишем выражение и построим график (рис.1.11):
/>.
/>
Рис. 1.11. Переходнаяхарактеристика замкнутой системы по выходу ДОС
Перерегулированиеопределяется по формуле:
/>,
где hmax= 1,793 – максимальное значение переходнойхарактеристики;
hуст= 1 – установившееся значение переходнойхарактеристики;
h(0) = 0 – начальное значение переходной характеристики.
/>.
Времярегулирования определяется на уровне вхождения графика h(t) в интервал />. Границыинтервала [0,95;1,05] отмечены на рис. 1.11. Время регулирования определяем науровне пересечения графиком h(t)нижней границы:
tр = 1,136 с.
5. Показательколебательности.
Показательколебательности определяется по АЧХ ЗС по выходу ДОС (рис. 1.12):
/>
/>.
/>
Рис. 1.12. АЧХ замкнутойсистемы с пропорциональным регулятором
Показательколебательности (см. п.1.1):
/>.
6. Частотасреза замкнутой системы.
Частотасреза замкнутой системы определяется по графику АЧХ ЗС (см. рис. 1.12) науровне />:
/> .
1.2.4 Анализ системы на соответствие ТЗ
Определимамплитудно-фазовые искажения системы с пропорциональным регулятором. Заданные ирассчитанные по формулам из п.1.1 значения приведены в табл. 1.6.
Таблица 1.6
/>, Гц 0…0,15 0,15…0,5 0,5… 1,3
/>, с-1 0,942 3,142 8,168 Заданные значения
/>, дБ 0,1 0,4 2,5
/>, град 3 5 16 Расчетные значения
/>, дБ 0,005 0,052 0,361
/>, град 0,618 2,065 5,419
Вывод:система с пропорциональным регулятором не соответствует требованиям ТЗ, так какпоказатель колебательности (/>)превышает допустимое значение (/>).
1.3 Синтез регулятора
Синтезсистемы управления – это направленный расчет, имеющий конечной целью отысканиерациональной структуры системы и установления оптимальных величин параметров ееотдельных звеньев. Более узкая цель синтеза – это определение вида параметровкорректирующего устройства (КУ), которое необходимо ввести в исходную систему,для обеспечения требуемого качества ее функционирования, то есть обеспечения совокупноститребований ТЗ, утвержденного заказчиком.
Существуетбольшое количество методов синтеза систем автоматического управления. Наиболееизвестными и хорошо разработанными являются методы синтеза системы в частотнойобласти.
Рассмотримметод логарифмических частотных характеристик, используемый для синтезаминимально-фазовых систем. Процесс синтеза включает в себя следующие операции:
1. ПостроениеЛАЧХ исходной (располагаемой) системы.
2.Построение ЛАЧХ желаемой системы в соответствии с требованиями ТЗ.
3.Определение вида и параметров передаточной функции последовательного КУ.
4.Проверочный расчет, подтверждающий правильность проведенного синтеза.
1.Построение ЛАЧХ исходной системы.
Запишемвыражение для построения ЛАЧХ исходной системы (см. п.1.1):
/>,
/>
ГрафикЛАЧХ исходной системы изображен на рис. 1.16.
2.Построение ЛАЧХ желаемой системы в соответствии с требованиями ТЗ.
ЖелаемуюЛАЧХ условно разделяют на три участка: низкочастотный, среднечастотный,высокочастотный.
Низкочастотныйучасток отвечает за точность системы в установившемся режиме, причем, чем ширеэтот участок (по оси />), тем большийдиапазон частот воспроизводится системой без заметного ослабления. На этомучастке ЛАЧХ должна проходить выше запретной области (см. табл. 1.3). Минимальныйкоэффициент усиления, обеспечивающий данное условие рассчитан в п.1.2.1:
/>.
Такженеобходимо чтобы желаемая ЛАЧХ проходила как можно ближе к границе запретнойобласти, поэтому низкочастотный участок состоит из двух асимптот. Первая асимптотапересекает ось /> в точке /> и имеет наклон -20 дБ/дек.Вторая асимптота с наклоном -40 дБ/дек начинается на частоте сопряжения />, которая соответствуетнаиболее близкому расположению асимптоты к запретной области. Точке пересечениявторой асимптоты с осью /> соответствуетбазовая частота:
/>,
где /> – первая постояннаявремени желаемой ЛАЧХ.
/>.
Среднечастотныйучасток определяет устойчивость, запасы устойчивости и, следовательно, качествопереходных процессов. Так как в ТЗ задан показатель колебательности, то дляпостроения данного участка необходимо воспользоваться методом Бесекерского.Постоянные времени определяются по формулам:
/>,
/>,
где />; />; />.
Тогда:
/>, />.
Таким образом,среднечастотный участок ЛАЧХ начинается на частоте
/>,
имеет наклон -20 дБ/дек,и продолжается до следующей частоты сопряжения
/>
соответствующейвысокочастотному участку.
Высокочастотный участокЛАЧХ определяет устойчивость системы к помехам. Чтобы уменьшить влияниевысокочастотных помех, необходимо иметь как можно больший наклон асимптот. Высокочастотныйучасток начинается на частоте /> и затем формируется путемпоследовательного увеличения наклонов на сопрягающих частотах
/>
и
/>.
3.Определение вида и параметров передаточной функции последовательного КУ.
Передаточнаяфункция полученной желаемой ЛАЧХ:
/>.
Передаточнаяфункция последовательного КУ определяется по формуле:
/>
ПоследовательноеКУ включается в прямую цепь непосредственно после элемента сравнения (рис.1.13и рис.1.14).
/>/>
Рис. 1.13. Структурнаясхема скорректированной системы в общем виде
/>
/>
Рис. 1.14. Структурнаясхема скорректированной системы с числовыми параметрами
4.Проверочный расчет, подтверждающий правильность проведенного синтеза
Проведеманализ скорректированной системы на соответствие требованиям ТЗ.
1.Заданные в ТЗ и рассчитанные значения амплитудно-фазовых искажений (см. п.1.1)приведены в табл. 1.7.
Таблица 1.7
/>, Гц 0…0,15 0,15…0,5 0,5… 1,3
/>, с-1 0,942 3,142 8,168 Заданные значения
/>, дБ 0,1 0,4 2,5
/>, град 3 5 16 Расчетные значения
/>, дБ 0,009 0,095 0,417
/>, град 0,624 2,262 7,653
2.Для определения величины показателя колебательности системы запишем выражениеАЧХ ЗС по выходу ДОС и построим график (рис. 1.15):
/>
/>
Рис. 1.15. АЧХ замкнутойсистемы
Показательколебательности (см. п.1.1):
/>.
Исходяиз требований, показатель колебательности не должен превышать 1,25.
Соответствиепоказателя колебательности требованиям ТЗ также можно определить по графикуЛФЧХ скорректированной разомкнутой системы. Для этого на графике ЛФЧХнеобходимо построить запретную зону [2, §7.5]. В диапазоне частот:
/>,
графикЛФЧХ не должен заходить в зону, ограниченную прямой -180o и кривой -180o +/>,где
/>; />; />.
Нарис. 1.16 видно что график ЛФЧХ не заходит в эту запретную зону, следовательно,показатель колебательности не превышает заданного в ТЗ значения.
Вывод:корректирующее устройство рассчитано верно, скорректированная системасоответствует требованиям ТЗ.
1.4 Анализ скорректированной системы
1.4.1Построение частотных характеристик, определение устойчивости системы
Запишемвыражения для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:
/>,
/>
ГрафикиЛАЧХ и ЛФЧХ построены на рис. 1.16.
Определимустойчивость системы по графикам ЛАЧХ и ЛФЧХ по критерию Найквиста (см. п.1.2.2):
/>
Таккак неравенство /> выполняется, тозамкнутая система устойчива.
Изрис. 1.16 видно, что частота среза скорректированной системы больше чем усистемы с пропорциональным регулятором, что благоприятно сказывается на качествепереходных процессов. Также видно, что график ЛФЧХ системы с пропорциональнымрегулятором заходит в запретную зону, следовательно, не соответствуеттребованиям к показателю колебательности.
Запишемвыражение для построения АФЧХ разомкнутой системы (годограф Найквиста):
/>
Построимгодограф Найквиста (рис. 1.17) по характерным точкам (табл. 1.8):
Таблица 1.8ω
/>
/> -9,78 -∞ 530,8 0,006 152,4 -0,178
/>
/>
Рис. 1.17. АФЧХразомкнутой системы
Таккак годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечнобольшого радиуса, не охватывает особую точку (−1;j0),то замкнутая система устойчива.
Изрис. 1.17 видно, что годограф скорректированной системы наиболее удален отособой точки (−1;j0), следовательно, имеет наибольшиезапасы устойчивости в отличие от системы с пропорциональным регулятором.
Построимгодограф Михайлова замкнутой системы (см. п.1.2.2).
/>
ГодографМихайлова изображен на рис. 1.18 по характерным точкам (табл. 1.9):
Таблица 1.9ω
/>
/> 87,336 20,037 190,39 64,71 -687,1 158,94 -7673 534,97
/>
Таккак годограф системы, имеющей пятый порядок, при изменении ω от 0 до ∞,начинается на вещественной положительной полуоси и при увеличении ω вположительном направлении последовательно проходит пять квадрантов, и при этомне обращается в 0, то можно сделать вывод, что система устойчива.
/>/>
Рис. 1.18. Годограф Михайлова(справа увеличен в начале координат)
1.4.2 Определение частотных ПК, запасов устойчивости,критического коэффициента усиления
1.Частота среза разомкнутой системы.
Частотасреза разомкнутой системы была определена в п.1.4.1:
/>.
2.Запасы устойчивости.
Изп.1.4.1: />, />,
/> дБ, /> град.
3.Критический коэффициент усиления системы.
Коэффициент/> определим аналогично п.1.2.3.
ХУ ЗС:/>,
/>,
/>,
/>,
/>; />;/>; />; />; />
Условиенахождения системы на границе устойчивости:
/>,
/>,
/> с-1.
4.Показатель колебательности.
Из п.1.3: />.
5.Частота среза замкнутой системы.
Частотасреза замкнутой системы определяется по графику АЧХ ЗС (рис. 1.15) на уровне />:
/>.
Сравнимпоказатели качества системы с пропорциональным регулятором и скорректированнойсистемы (табл. 1.10).
Таблица 1.10
С пропорциональным
регулятором Скорректированная система
/>, /> разомкнутой системы 38,639 43,67
/>, /> замкнутой системы 54,961 55,807
/>, /> 46,424 152,356
/>, дБ 3,038 14,958
/>, град. 7,813 54,935
/> 7,721 1,113
/>, /> 123,904 490,257
1.4.3Определение оценок прямых ПК
Выражениедля построения вещественной частотной характеристики (ВЧХ) системы по выходуДОС (рис. 1.19):
/>/>.
/>
Рис. 1.19. ВЧХ по выходуДОС
Пографику ВЧХ замкнутой системы можно оценить прямые ПК [1, §8.5].
1.Оценка перерегулирования.
Вданном случае график /> имеетположительный максимум и отрицательный минимум. Тогда верхняя оценка перерегулирования:
/>,
где /> – положительный максимумВЧХ;
/> – отрицательный минимумВЧХ;
/>– начальное значение ВЧХ.
Следовательно:/>.
2.Оценка времени регулирования.
Времярегулирования находится в пределах:
/>,
где /> – частота положительности.
Тогда:/>.
Выражениядля построения ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы по выходу ДОС (рис. 1.20):
/>,
/>,
/>.
/>
Рис. 1.20. ЛЧХ замкнутойсистемы по выходу ДОС
1.4.4 Определение корневых оценок прямых ПК
Оценитьпрямые ПК можно также по корням ПФ ЗС:
/>.
Нулипередаточной функции – корни полинома числителя:
/>.
Полюсапередаточной функции – корни полинома знаменателя:
/>,
/>,
/>,
/>,
/>,
/>.
Изобразимнули и полюса на комплексной плоскости (рис. 1.21).
/>
Рис. 1.21. АФЧХразомкнутой системы
Чтобыоценить прямые ПК необходимо определить доминирующие полюса. Близкорасположенные нуль и полюс компенсируют друг друга. Полюс, скомпенсированныйнулем, не участвует в оценке прямых ПК. Если выполняется хотя бы одно изнеравенств критерия «близости», то нуль компенсирует полюс:
/>,
/>.
Проверимвыполнение критерия «близости» нуля /> иполюса />:
/>,
/>.
Ниодно из неравенств не выполняется, следовательно, близко расположенных нулей иполюсов нет.
Доминирующимявляется вещественный полюс />, таккак он наиболее близко расположен к мнимой оси. Из этого следует, что системаимеет апериодическую степень устойчивости />,равную величине вещественной части доминирующего полюса (/>).
1.Оценка времени регулирования.
Верхняяоценка времени регулирования определяется по формуле:
/>,
где />; />.
Тогда:/>, />.
2.Оценка перерегулирования.
Нижняяоценка перерегулирования:
/>,
где /> – колебательность;
/> – наиболее близкие кмнимой оси комплексно-сопряженные корни.
Тогда:/>.
1.4.5 Оценка точности системы
Точностьсистемы характеризует величина установившейся ошибки, для определения которойвоспользуемся методом коэффициентов ошибок.
ЗапишемПФ ЗС по ошибке:
/>
Даннуюфункцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням s:
/> ,
где />– коэффициенты ошибок.
Переходяот изображения к оригиналу, выражение для установившейся ошибки можнопредставить в виде:
/> ( 1)
Известнодва способа, определения коэффициентов ошибки />:
1.Вычисление производных соответствующих порядков ПФ ЗС в точке s=0:
/>,
/>
/>.
2. Делениеуголком полинома числителя ПФ ЗС на полином знаменателя. Для этого необходимокоэффициенты числителя и знаменателя записать в порядке возрастания степени s, начиная со свободного члена:
/>.
Делитьвесь полином числителя нет необходимости, так как необходимо узнать толькопервые три коэффициента ошибки:
/>
/>, />, />.
Вданном случае система астатическая первого порядка, так как в прямой цеписистемы имеется интегрирующее звено, а также />.С увеличением коэффициента усиления разомкнутой системы Кр значениякоэффициентов ошибки /> и /> уменьшаются, однакоувеличение Кр приводит к ухудшению показателей качества переходной характеристики,а при Кр больше граничного значения система оказывается неустойчивой.
Рассчитаемустановившуюся ошибку для заданных в ТЗ сигналов:
1. Единичноеступенчатое воздействие />. Ошибкуопределим по формуле (1):
/>.
2.Сигнал с постоянной скоростью />. Поформуле (1):
/> B.
3.Гармонический сигнал />, где /> (из п.2.3).
Ошибкасистемы определяется выражением вида:
/>,
где /> – амплитуда;
/> – сдвиг фаз.
/>,
/> .
Тогдаустановившаяся ошибка системы:
/>.
2. ОТРАБОТКА ТИПОВЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ
2.1Единичный ступенчатый сигнал
2.1.1 Начальные и конечные значения переходныхфункций по передаточным функциям системы
ПФ ЗСпо выходу системы:
/>.
ПФ ЗСпо выходу ДОС:
/>.
ПФ ЗСпо выходу УМ:
/>.
Начальноеи конечное значение переходной функции />,зная ПФ ЗС />, можно рассчитать исходяиз свойств преобразования Лапласа [3, §2.2]:
/>,
/>.
Рассчитанныеначальные и конечные значения переходных функций (/> и />) по всем выходам приведеныв табл. 2.1.
Таблица 2.1
/>
/>
/>
/> 4415,98
/> 0,0873 1
Конечноезначение переходной функции по выходу системы определяется как отношениекоэффициентов в прямой цепи системы (/>, />, />) к коэффициенту усиления разомкнутойсистемы />.
Конечноезначение переходной функции по выходу ДОС от величин параметров системы независит.
Начальноезначение переходной функции по выходу УМ зависит от коэффициентов /> и />, а также от всехпостоянных времени системы.
2.1.2 Переходные функций системы, прямые ПК
Построимпереходную характеристику системы (рис. 2.1) по выходу ОУ (по выходу системы).Выражение для построения:
/>
/>
Рис. 2.1. Переходная характеристикасистемы по выходу системы
Определимпрямые ПК по выходу системы (см. п.1.2.3).
Перерегулирование:
/>,
где hmax= 0,101;
hуст= 0,0873;
h(0) = 0.
/>.
Границыинтервала для установившегося значения [0,083;0,092].
Времярегулирования: tр = 0,104 с.
Построимпереходную характеристику системы (рис. 2.2) по выходу ДОС. Выражение дляпостроения:
/>
/>
Рис. 2.2. Переходнаяхарактеристика системы по выходу ДОС
Определимпрямые ПК (см. п.1.2.3).
Перерегулирование:
/>,
где hmax= 1,151;
hуст= 1;
h(0) = 0:
/>.
Границыинтервала для установившегося значения [0,95;1,05].
Времярегулирования: tр = 0,106 с.
Полученныепрямые ПК по выходу системы и по выходу ДОС, а также оценки ПК, найденные впп.1.4.3 и 1.4.4 занесем в таблицу (табл. 2.2).
Таблица 2.2 По выходу системы По выходу ДОС Оценки прямых ПК Нижняя граница Верхняя граница
/> 15,4 15,14 6,65 35
tр, с 0,104 0,106 0,053 0,292
ПКнайденные по выходу системы и по выходу ДОС различаются незначительно. Этообъясняется тем, что в обратной связи имеется малая постоянная времени,практически не влияющая на динамические свойства системы.
Изтаблицы также видно, что полученные ПК находятся в пределах нижней и верхнейграниц, найденных в пп.1.4.3 и 1.4.4.
2.1.3 Сравнение начальных и установившихся значенийпереходных функций
Определимначальное и установившееся значение переходной функций по выходу УМ:
/> />, />.
Начальныеи установившиеся значения переходных функций, рассчитанные в пп.2.1.1 и 2.1.2,совпадают. Эти значения приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> 4415,98 4415,98
/> 0,0873 0,0873 1 1
2.1.4 Определим величину Y0ступенчатого сигнала, при котором система работает взоне линейности УМ
Допустимаявеличина ступенчатого сигнала Y0, при которомсистема работает в зоне линейности УМ:
/>,
где /> B– максимальное выходное напряжение УМ;
/> – максимальное значениевыходного сигнала УМ на единичное ступенчатое воздействие.
Тогда:
/>B.
2.2 Сигнал с постоянной скоростью
Воздействиев виде сигнала с постоянной скоростью имеет вид:
/>.
Выражениедля построения ошибки системы при обработке такого сигнала имеет вид:
/>,
где /> – ПФ ЗС (из п.1.4.4);
/>/>
–изображение по Лапласу сигнала с постоянной скоростью.
Тогда:
/>.
Значениеустановившейся составляющей ошибки было вычислено в п.1.4.5:
/> В.
Графикошибки и ее установившейся составляющей изображен на рис. 2.3.
/>
Рис. 2.3. График ошибки иее установившейся составляющей при подаче сигнала с постоянной скоростью
Вынужденныйрежим устанавливается на уровне вхождения графика /> винтервал />.
Границыинтервала [0,098;0,108].
Времяустановления вынужденного режима:
tв = 0,313 с.
Времяустановления вынужденного режима при воздействии сигнала с постоянной скоростью(tв = 0,313 с) больше времени регулирования(tр = 0,106 с).
2.3 Гармонический сигнал
2.3.1Определение частоты />
Запишемвыражение для АЧХ по выходу УМ и построим график (рис. 2.4):
/>/>.
/>
Рис. 2.4. АЧХ по выходу УМ
По графикуАЧХ системы по выходу УМ определим такую частоту входного гармоническогосигнала />, для которой амплитудаустановившихся колебаний равна />=110 Впри амплитуде входного сигнала />:
/>/>.
2.3.2 Реакция системы на гармонический входной сигнал
Воздействиев виде гармонического сигнала имеет вид:
/>.
Выражениедля построения реакции системы по выходу ДОС при обработке такого сигнала имеетвид:
/>,
где /> – ПФ ЗС по выходу ДОС;
/>
–изображение по Лапласу гармонического сигнала.
Запишемвыражение реакции системы на гармонический сигнал и построим график (рис. 2.5):
/>.
/>
Рис. 2.5. График реакциисистемы на гармонический входной сигнал
2.3.3 Определение амплитудно-фазовых искажений
Амплитудныеискажения определяются по формуле:
/>,
где />– максимальное значениеамплитуды выходного сигнала;
/> – максимальное значениеамплитуды входного сигнала.
Пографику реакции системы на гармонический сигнал (рис. 2.5):
/>,
/>.
Тогдаамплитудные искажения:
/> дБ.
Фазовыеискажения определяются по формуле:
/>,
где />– временной сдвиг междувходным и выходным сигналом.
Пографику реакции системы на гармонический сигнал (рис. 2.5):
/>.
Тогдафазовые искажения:
/> град.
Определимамплитудно-фазовые искажения по частотным характеристикам (см. п.1.1) начастоте />/>:
/> дБ,
/> град.
Полученныезначения занесем в таблицу (табл. 2.4).
Таблица 2.4 При отработки гармонического сигнала По частотным характеристикам
/>, дБ 0,701 0,698
/>, град 16,23 15,93
Изтабл. 2.4 видно, что рассчитанные разными способами амплитудно-фазовыеискажения практически совпадают. Различие можно объяснить округлением значений прирасчетах.
3. ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ
Рассчитаеми построим область устойчивости с использованием критерия Гурвица (см. п.1.1)на плоскости параметров «постоянная времени корректирующего устройства /> – коэффициент усиленияразомкнутой системы />».
ХУЗС: />,
/>,
/>; />;/>; />; />; /> .
Необходимое условие устойчивости/>, />.
Достаточноеусловие нахождения системы пятого порядка на границе устойчивости:
/>.
Таким образом, достаточноеусловие нахождения системы на границе устойчивости:
/>,
/>,
/>/>.
Областьустойчивости изображена на рис. 3.1.
/>
Рис. 3.1. Областьустойчивости в области параметров К/>
ТочкаА[0,109;87,336], соответствующая параметрам системы /> и/>, удалена от границы инаходится внутри области устойчивости, что соответствует большим запасамустойчивости системы.
ТочкаВ[0,109;490,257], соответствующая параметрам системы /> и />, находится на границеустойчивости и совпадает с найденным в п.1.4.2 критическим коэффициентомусиления />.
4. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ УМ
4.1 Отработкаступенчатых сигналов
Исследуемсистему с учетом нелинейности УМ (рис. 4.1 и рис. 4.2).
/>/>
Рис. 4.1. Структурнаясхема системы с учетом нелинейности УМ в общем виде
/>/>/>
Рис. 4.2. Структурнаясхема системы с учетом нелинейности УМ с числовыми параметрами
Построимреакции системы по выходу УМ (рис. 4.3), скорости выхода системы (рис. 4.4) ипо выходу ДОС (рис. 4.5) на ступенчатый входной сигнал величины Y0, 2Y0, 5Y0и 1 В, где /> В.Построение выполнено в программе VisSim.
/>
Рис.4.3. Реакции системы по выходу УМ на ступенчатый сигнал
/>
Рис. 4.4. Реакции системыпо выходу системы на ступенчатый сигнал
/>
Рис. 4.5. Реакции системыпо выходу ДОС на ступенчатый сигнал
Попостроенным реакциям (рис. 4.4 и рис. 4.5) найдем прямые ПК по выходу системы ивыходу ДОС по формулам из п. 2.1.2 и сравним их с ПК, полученными в п. 2.1.Результаты занесем в таблицы (табл. 4.1 и табл. 4.2).
Таблица 4.1
ПК по выходу системы Без учета нелинейности С учетом нелинейности
/>В
/>В
/>В 1 В
/> 15,4 15,517 8,343 5,307 9,759
tр, с 0,104 0,102 0,095 0,209 0,31
Таблица 4.2
ПК по выходу ДОС Без учета нелинейности С учетом нелинейности
/>В
/>В
/>В 1 В
/> 15,14 15,36 8,3 5,034 9,76
tр, с 0,106 0,106 0,097 0,19 0,309
Приподаче на вход ступенчатого воздействия /> В, значения прямых ПК близки значениям ПК линейной системы, так как притаком воздействии система работает в зоне линейности УМ. При воздействиях 2Y0и 5Y0 времярегулирования увеличивается, следовательно, ухудшается быстродействие системы,но перерегулирование уменьшается. Этот процесс аналогичен уменьшениюкоэффициента усиления разомкнутой системы, при котором увеличивается времярегулирования и уменьшается показатель перерегулирования.
4.2 Определение автоколебаний в замкнутой системе
Дляопределения возможности возникновения автоколебаний в замкнутой системевоспользуемся частотным методом анализа симметричных автоколебаний. Однакопрежде чем использовать этот метод необходимо линеаризовать нелинейный элементс помощью метода гармонической линеаризации.
Согласнометоду гармонической линеаризации нелинейный элемент, описываемый уравнением />, заменяется наэквивалентный линейный. Условием эквивалентности является совпадение /> линейного и нелинейногоэлементов при обработке одинаковых гармонических сигналов />.
Такимобразом, эквивалентный линейный элемент описывается уравнением:
/>,
где /> – эквивалентныйкомплексный коэффициент усиления (ЭККУ);
/> – амплитуда автоколебаний.
ЭККУможно представить в виде:
/>,
где /> коэффициенты гармоническойлинеаризации.
Вданном случае рассматривается нелинейный элемент типа «насыщение», описываемыйоднозначной нелинейностью. Для всех однозначных нелинейностей />. Следовательно, ЭККУпримет вид:
/>.
Линейнаячасть системы такова, что выполняется гипотеза фильтра, то есть график ЛАЧХлинейной части системы состоит из асимптот с наклоном не менее -20 дБ/дек.Следовательно, выходной сигнал нелинейного элемента раскладывается в ряд Фурьеи рассматривается только первая гармоника разложения.
Такимобразом:
/>.
РассчитаемЭККУ, причем параметры нелинейности примем />,/>, а коэффициент усиленияучтем при построении годографа Найквиста:
/>
Такимобразом, ЭККУ нелинейного элемента:
/>.
Исследуемвозможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе с помощьючастотного метода. Для этого на одной координатной плоскости (рис. 4.6) изобразимгодограф Найквиста (АФЧХ разомкнутой системы из п.1.4.1) и годограф ЭККУ (инверсныйЭККУ взятый с обратным знаком):
/>,
/>.
/>
Рис. 4.6. ГодографыНайквиста и ЭККУ
Изрис. 4.6 видно, что годографы Найквиста и ЭККУ не пересекаются, следовательно,возможности возникновения автоколебаний в системе нет.
4.3 Отработка гармонических сигналов
Построимреакции системы с учетом насыщения в УМ по выходу УМ (рис. 4.7) и по выходу ДОС(рис. 4.8) на гармонический входной сигнал с амплитудой 1 В, 3 В и 5 В, и счастотой />/>.Построение выполнено в программе VisSim.
/>
Рис. 4.7. Реакции системыпо выходу УМ на гармонический сигнал
/>
Рис. 4.8. Реакции системыпо выходу ДОС на гармонический сигнал
Рассчитаемамплитудно-фазовые искажения по выходу ДОС и сравним их со значениями,полученными в п.2.3.3 (табл. 4.3).
Таблица 4.3 Без учета нелинейности С учетом нелинейности А = 1 В А = 3 В А = 5 В
/>, дБ 0,701 0,642 6,472 9,525
/>, град 16,23 16,232 85,217 102,261
Приподаче на вход гармонического сигнала с амплитудой А = 1 В, система работает в зоне линейности УМ и амплитудно-фазовыеискажения близки значениям полученным при исследовании линейной системы. При увеличении амплитуды входного сигнала системаработает в зоне нелинейности УМ, вследствие чего сигнал на выходе заметноискажен по амплитуде и по фазе, что заметно ухудшает работу системы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Врезультате проделанной работы произведен расчет корректирующего устройства,удовлетворяющего заданной совокупности требований, а также обеспечивающегорациональную структуру системы и установление оптимальных величин параметров ееотдельных звеньев.
Соответствиехарактеристик рассчитанной системы, требованиям технического задания приведенов табл. 4.5.
Таблица 4.5Амплитудно-фазовые искажения
/>, Гц 0…0,15 0,15…0,5 0,5… 1,3
/>, с-1 0,942 3,142 8,168 Заданные значения
/>, дБ 0,1 0,4 2,5
/>, град 3 5 16 Расчетные значения
/>, дБ 0,009 0,095 0,417
/>, град 0,624 2,262 7,653 Показатель колебательности Заданное значение
/> 1,25 Расчетное значение 1,113
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования: монография/ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1975. – 768 c.
2. Макаров, И.М. Линейные автоматические системы: учебное пособие / И.М. Макаров,Б.М. Менский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1982. – 504 c.
3. Зырянов, Г.В. Динамический синтез систем автоматического управления: учебноепособие / Г.В. Зырянов, А.А. Кощеев. – Челябинск: ЮУрГУ, 2001. – 40 c.
4. Павловская, О.О. Теория автоматического управления: учебное пособие /О.О. Павловская, Е.В. Плотникова. — Челябинск: ЮУрГУ, 2000. – 60 c.