оптимальність у системах керування
1. Умовиоптимальності у неавтономних системах керування
У загальному випадкунеавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функціяцільового функціонала залежать явно від часу />, тобто закон руху має вигляд:
/>, (1)
а цільовий функціоналдорівнює
/>. (2)
Тут функції /> і /> – неперервніпо сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних />, />, />.
Також вважатимемо, щомомент часу />,який відповідає початковому стану />, відомий, а момент часу /> проходженнячерез кінцеву точку /> не заданий і повинен бутизнайдений, тобто сформульована задача – це задача з вільним часом.
Поставлена задачаможе бути зведена до автономної задачі введенням додаткової змінної />. До законуруху при цьому додається рівняння
/>,
а до початкових умов– співвідношення />.
Тепер систему (2)можна переписати у вигляді:
/> (3)
а функціонал /> дорівнюватиме
/>, (4)
де /> (відповідно до доданогоу початкову систему рівняння).
Отже, неавтономну />-вимірну задачубуло зведено до автономної задачі з розширеним фазовим простором. У новійзадачі потрібно знайти оптимальну траєкторію, що поєднує точку /> розширеного фазовогопростору з деякою точкою /> на прямій, яка проходить черезточку /> паралельноосі />.Оскільки кінцеве значення /> змінної /> невідоме, то нова задача – цезадача з фіксованим лівим і рухомим правим кінцями.
Якщо в задачіоптимального керування (3) – (4) відомі і початковий момент часу /> й кінцевий момент часу />, то задачаназивається задачею з фіксованим часом. Перетворення цієї задачі введеннямдодаткового змінного приводить до задачі з фіксованими кінцями в такомуформулюванні. Потрібно знайти керування />, що переводить фазову точкусистеми (2) зі стану /> в момент часу /> у стан /> в момент часу />, причомуфункціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважимо, що момент часу /> попадання вточку /> можнане вважати фіксованим, оскільки в силу тотожності /> попадання в точку /> може відбутися тільки вцей момент часу. Таким чином, до даної задачі можна застосувати теорему,відповідно до якої для одержання необхідних умов екстремуму функціоналанеобхідно максимізувати функцію Понтрягіна
/>, (5)
де /> – загальний виглядфункції Понтрягіна з теореми 1, у якій не врахована додаткова, (/>)-ша змінна. Спряженасистема для цієї задачі за умов /> набуває вигляду:
/> (6)
Має місце такатеорема.
Припустимо, />, /> – оптимальнийпроцес для задачі з фіксованим часом. Тоді існує ненульова вектор-функція />, щовідповідає цьому процесу, така що:
1. Для будь-якого /> функція /> змінної /> набуваємаксимального значення в точці />, тобто:
/>: />.
2. />, />.
Оскільки, як іраніше, />,то умову 2 цієї теореми достатньо перевірити в якій-небудь одній точці відрізка/>.
Розглянемо випадок,коли при фіксованому /> правий кінець вільний. Ця задачаполягає в тому, щоб із заданого стану /> за заданий час /> пройти по траєкторії здовільним кінцевим станом за умови мінімізації цільового функціонала. Умовитрансверсальності для цієї задачі набувають вигляду:
/>, />. (7)
Для цього випадкунеобхідна умова оптимальності полягає в тому, щоб функція /> досягала максимальногозначення для кожного /> на оптимальному керуванні /> і мала місцеумова (7).
2 Поняттяособливого керування
На практиці частозустрічаються задачі оптимального керування, у яких функція Понтрягіна лінійнозалежить від всіх керувань або від частини з них (наприклад, в лінійних задачахоптимальної швидкодії). Однак у нелінійних задачах оптимального керування (якщофункція Понтрягіна є нелінійною по одній або декількох фазових змінних) можливаситуація, коли на оптимальній траєкторії коефіцієнт при одній з компонентвектора керування /> обертається на нуль всюди надеякому інтервалі часу, і тоді умова максимуму функції /> за /> не дозволяє однозначно визначитиоптимальне керування. Ця ситуація називається особливим режимом керування.Дослідимо її детальніше.
Розглянемо автономнузадачу оптимального керування
/>,
Де />; />, />, />, />,
/> – довільна множина з />;
/> – лінійний простіркусково-неперервних на /> функцій.
Крайові умови задачімають вигляд:
/>, />.
Потрібно знайти такеприпустиме керування />, що переводить систему зі стану /> у стан />, причомувідповідний припустимий процес /> доставляє мінімальне значенняфункціоналу
/>,
де функції />, /> неперервні посукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних />.
Вважатимемо, щофункція Понтрягіна /> для цієї задачі є лінійною зачастиною компонент вектора />. Виділимо із цих компонент групуз /> керувань(з тих, за якими функція /> лінійна) і позначимо їх через />, а інші /> керуваньзберемо у вектор /> (він також може включатикомпоненти, за якими функція /> лінійна). За таких умов законруху набуває вигляду:
/>,
де />.
Складемо функціюПонтрягіна для даної задачі:
/>.
Очевидно, що
/>, />. (8)
Припустимо, що процес/> разом зрозв’язком /> спряженоїсистеми
/>, />, (9)
задовольняє принципумаксимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу /> має місцерівність
/>, (10)
або, враховуючи (10),
/>, />, />. (11)
Ця ситуація означає,що коефіцієнти при /> на деякому часовому відрізкудорівнюють 0, і оптимальне керування визначити неможливо. У цьому випадкувектор керувань /> називається особливим керуваннямна відрізку />,процес /> –особливим режимом, траєкторія /> – траєкторією особливого режиму,а відрізок часу /> – ділянкою особливого керування.
З формули (11)випливає, що на ділянці особливого режиму функція Понтрягіна не залежить від />. Дійсно, />:
/>.
Тому в даній ситуаціїумова максимуму по /> не дає жодної інформації проконкретні значення керувань />.
Оскільки на ділянціособливого режиму має місце співвідношення (11), то очевидно, що
/>, />
і т.д. Останніспіввідношення разом з умовою (10) дозволяють визначити всі особливі режими.
3. Лінійна задачаоптимальної швидкодії
Розглянемо лінійнузадачу оптимальної швидкодії:
/>, />, (12)
де />, />,
/>, /> – числові матрицірозмірності /> та/> відповідно.
Область керуваннязадачі /> –замкнутий обмежений багатогранник в />:
/>, />, (13)
Якщо для будь-якоговектора />,паралельного будь-якому ребру багатогранника />, система векторів />, />, …, /> (14) є лінійно незалежною, то багатогранник /> задовольняє умові спільностіположення відносно системи (14).
Для перевіркилінійної незалежності векторів (13) достатньо перевірити, чи матриця, стовпцямиякої є стовпці (12), є невиродженою, тобто
/>.
Перепишемо формулу(10):
/>, />,
де />, /> – />-і рядки матриць /> і />.
Функція Понтрягіналінійної задачі оптимальної швидкодії має вигляд:
/> (15)
Оскільки першийдоданок у формулі (15) не залежить від />, то функція /> досягає максимуму зазмінною /> одночасноз функцією
/>.
Спряжена система уцьому випадку може бути записана у вигляді:
/>, />,
або у векторній формі
/>. (16)
Позначимо через />. З теореми 2випливає, що якщо /> – оптимальне керування, то існуєтакий ненульовий розв’язок /> системи (16), для якого в кожниймомент часу функція /> набуватиме максимального значенняза змінною />:
/>. (17)
Оскільки система (17)з постійними коефіцієнтами не містить невідомих функцій /> і />, то всі її розв’язкиможна легко знайти, після чого, використовуючи їх для розв’язання задачімаксимізації функції /> на множині />, знаходимо оптимальнікерування />.
Для будь-якогонетривіального розв’язання /> системи (11) співвідношення (14)однозначно визначає керування />, причому це керування кусковостале, а значеннями керування в точках неперервності є вершини багатогранника />.
Точки розривуоптимальної функції керування /> відповідають зміні значеннякерування і називаються точками перемикання. Якщо /> – точка перемикання, то ліворучвід неї керування має одне значення, наприклад, />, а праворуч інше – />.
Позначимо через /> підмножину у /> виду
/>. (18)
Якщо всі кореніхарактеристичного рівняння матриці /> з (14) є дійсними, то длябудь-якого розв’язання /> рівняння (18) кожна з функцій /> є кусковосталою і має не більше ніж /> перемикань (/>– порядок системи(16)).
Керування /> називаєтьсяекстремальним керуванням, якщо воно задовольняє принципу максимуму.
Для лінійної задачіоптимальної швидкодії з областю керування – багатогранником /> керування /> єекстремальним, якщо існує таке нетривіальне розв’язання /> системи (17), для якогоматиме місце співвідношення (18).
Зрозуміло, щобудь-яке оптимальне керування є екстремальним. Тому, щоб знайти оптимальнекерування, що переводить фазову точку зі стану /> у стан />, треба відшукати всі екстремальнікерування з цими крайовими умовами, а потім серед них вибрати те, що здійснюєперехід за найменший час.
У загальному випадкуможуть існувати кілька оптимальних керувань, що переводять фазову точку зістану /> устан />, алеякщо початок координат у просторі керувань є внутрішньою точкою багатогранника />, тоекстремальне керування єдине. Отже, у лінійних задачах оптимальної швидкодіїпринцип максимуму дозволяє не тільки визначити вид оптимальних керувань, але йодержати умови єдиності оптимального керування.
Припустимо, щопочаток координат є внутрішньою точкою багатогранника /> припустимих керувань. Якщо /> і /> – дваекстремальних керування, що переводять фазову точку зі стану /> у стан /> за час /> і /> відповідно, то /> і />, />.
У теоремі має місцеумова />.
Теорема. Якщо існуєхоча б одне керування, що переводить систему (17) зі стану /> у стан />, то існує й оптимальнепо швидкодії керування, що також переводить систему з /> у />.
4. Умовиоптимальності у задачі з рухомими кінцями
У задачі з рухомимикінцями або початковий стан />, або кінцевий стан />, або обидва ці станиневідомі. Задані тільки множини /> і />, що містять точки /> та />.
Гіперповерхня – цемножина всіх точок />, які задовольняють співвідношенню
/>,
де /> – скалярнадиференційована функція. Якщо /> – лінійна функція, тогіперповерхня називається гіперплощиною і описується рівнянням
/>. (19)
Якщо />, то гіперплощина (19) є(/>)-вимірнимлінійним підпростором в />.
Будь-який (/>)-вимірнийпідпростір /> можебути заданий як множина розв’язань лінійної однорідної системи з /> рівнянь із /> невідомими,матриця якої має ранг />:
/> />.
Такий лінійнийпідпростір називається />-вимірною площиною. Множинарозв’язань системи нелінійних рівнянь
/>
де функції />, …, /> диференційованіі ранг матриці Якобі цієї системи функцій дорівнює />, є />-вимірним гладким різноманіттям.
Задача оптимальногокерування з рухомими кінцями полягає в тому, щоб знайти таке припустимекерування /> длясистеми із законом руху
/>, />, />,
яке переводить фазовуточку з деякого, заздалегідь невідомого, стану /> на />-вимірному різноманітті /> (/>) у деякий стан/> на />-вимірномурізноманітті /> (/>) і надає найменшого значенняфункціоналу
/>.
Задача оптимальногокерування з фіксованими кінцями є окремим випадком цієї задачі при />, тобто колирізноманіття /> і /> вироджуються в точку.
Відсутність рівнянь,що задають початковий і кінцевий стани, приводить до того, що системанеобхідних умов перестає бути повною. У цьому разі для одержання відсутніхрівнянь використовують умови, що називаються умовами трансверсальності.
Умовитрансверсальності. Вектор спряжених змінних /> із принципу максимуму задовольняєумові трансверсальності на лівому кінці траєкторії />, якщо вектор /> ортогональний дотичнійплощини до різноманіття /> в точці />, тобто
/>, (20)
де /> – довільний вектор, щолежить у дотичній площини. Аналогічно формулюється умова на правому кінці.
Якщо />, /> – оптимальний процес узадачі з рухомими кінцями />, />, то ненульова вектор-функція />, що існуєвідповідно до теореми 3, задовольняє на кожному з кінців траєкторії умовамтрансверсальності.
Розглянемо окремийвипадок задачі з рухомими кінцями, коли, наприклад, правий кінець траєкторіївільний (тобто />). Тоді умови трансверсальностізводяться до співвідношення />. Повний вектор спряжених змінних
/>
визначається зточністю до довільної сталої, зокрема, вважають, що /> (відповідно до принципу максимуму/>, />) і тоді
/>.