Основитеорії сигналів
Спектральний методаналізу, заснований на поданні сигналу у вигляді суми (або інтегралу)гармонічних складових (гармонік) і подальшому розрахунку проходження кожної згармонік через коло. Вихідний сигнал знаходиться на основі принципу накладанняу вигляді суми відгуків на кожну з гармонік вхідного сигналу. Сукупністьгармонік, на які розкладаються сигнали, називається їх спектрами.
Вивчення спектріврозпочинається з періодичних імпульсних відеосигналів.
Імпульсниминазиваються струми і напруги кінцевої енергії, миттєві значення яких відміннівід нуля впродовж деякого (як правило, досить невеликого) інтервалу часу.
Періодичніпослідовності імпульсів (рис. 1) відносяться до періодичних несинусоїднихпроцесів і знаходять широке використання в радіоелектроніці.
/>
Рисунок 1 – Періодичнапослідовність імпульсів
Періодичніпослідовності імпульсів характеризуються їх формою, тривалістю />, />періодом повторення /> (або частотою /> />), висотою (максимальнимзначенням) –/>.
Тривалість імпульсів /> знаходять надеякому рівні від висоти /> (у границі на нульовому рівні),або як інтервал часу, в якому міститься визначена потужність імпульсу (зазвичай90/>абобільше).
Інколи вводиться такожвторинний параметр – щілинність:
/>/>.
Періодичнапослідовність імпульсів, описується функцією/>, яка задовольняє умови Діріхле іможе бути подана нескінченим рядом (рядом Фур’є) гармонік з частотами, кратнимичастотам слідування />, />:
/>, (1)
де /> – комплексна амплітуда />-ї гармоніки,/>– постійнаскладова імпульсів (середнє значення).
Сукупність амплітудгармонік /> називаютьспектром амплітуд або амплітудно-частотним спектром (АЧС).
Сукупність початковихфаз /> називаютьспектром фаз або фазочастотним спектром (ФЧС).
АЧС і ФЧС зображують увигляді графіків, в яких за віссю абсцис відкладають частоту (/>або />), а за віссю ординат –амплітуди гармонік у АЧС і початкові фази у ФЧС (рис. 2). Властивістюспектра періодичного коливання є поступове зменшення амплітуд гармонік зізростанням їх частоти. Це дозволяє оперувати з нескінченними межами сум у (1),а з сумами обмеженими />. Кожній парі ординат графіків АЧСі ФЧС відповідна частота однієї з гармонік, тобто />,/>,/>повністю визначають параметрицієї гармоніки. Наприклад, на рис. 3 побудована у функції часу другагармоніка спектра з частотою />, амплітудою /> і зсувом максимумукосинусоїди вправо (відносно />) на відрізок часу пропорційний />.
Оскільки середняпотужність періодичного сигналу є сумою потужностей гармонічних складовихсигналу і потужності сталої складової, ширина спектра визначається частотоюколивання з амплітудою />, яка ще впливає на значеннясередньої потужності на заданому рівні:
/>.
/>
Рисунок 2 – ГрафікиАЧС (а) і ФЧС (б)
/>
У тих випадках, коли /> – парнафункція часу, /> в (1) дорівнює нулю або />. Для непарноїфункції, навпаки, ряд Фур’є складається тільки із синусоїдних коливань, тобто /> дорівнює /> або />.
У двох послідовностяхімпульсів /> і/>, яківідрізняються тільки початком відліку часу, АЧС однакові, а відрізняютьсятільки їх ФЧС. Дійсно, якщо />, тоді
/> (2)
Таким чином, при зсувісигналу на /> фазийого гармоніки змінюється на />.
Як ілюстрації наведеморезультати розкладу в ряд Фур’є періодичної послідовності прямокутних імпульсів(рис. 4), яку аналітично можна записати у вигляді:
/>
/>
Рисунок 4 – Періодичнапослідовність прямокутних імпульсів
На підставі (2) /> можна подати увигляді:
/>
/>. (3)
Обвідна амплітудспектра визначається значеннями функції:
/>,
де />, при />, тобто />, /> і амплітуди гармонікдорівнюють нулю.
Позитивним значенням /> відповідаютьнульові значення фаз гармонік, від’ємним – початкові фази рівні />, тому що />, тобтопочаткові фази гармонік у (3) визначаються як:
/>
Графіки АЧС і ФЧСнаведено на рис. 5 Графіки побудовано для щільності />. Такі спектри маютьназву дискретних.
/>
При змінюваннітривалості імпульсів або частоти їх повторення змінюються і спектри.Рис. 6 ілюструє зміни у спектрах при збільшенні тривалості імпульсів /> і незміннійчастоті повторення />. При збільшенні тривалості імпульсіввідбувається «стиснення» спектра – гармонічні складові, які мають найбільшіамплітуди, зсуваються в область більш низьких частот. Інтервали міжспектральними лініями за частотою не змінюються.
Рис. 7 ілюструєзміни у спектрах при збільшенні періоду і незмінній тривалості імпульсу.Збільшення періоду (зменшення частоти слідування) призводить до зменшенняінтервалу між спектральними лініями. При цьому зменшується і амплітуда всіхскладових спектра, що фізично пояснюється зменшенням потужності у періодичноїпослідовності імпульсів.
Якщо спрямувати періоддо нескінченності, амплітуди зменшаться до нескінченно малих величин, аспектральні лінії наблизяться одна до одної, тобто спектр стане суцільним.Відбудеться перехід від періодичної послідовності до одиночного імпульсу.
/>
Рисунок 6 – Впливтривалості імпульсів на АЧС
Якщо початок відлікучасу не збігається з серединою імпульсів (рис. 8, а), відповідно до формули(3) змінюється тільки ФЧС, як показано на рис. 8, б.
Спектри неперіодичниходиночних сигналів оцінюється, так званою, спектральною густиною />, у відповідності зперетворенням Фур’є:
/>.
/>
Модуль спектральноїгустини має розмірність В/Гц або А/Гц в залежності від розмірності сигналу (Вабо А).
Відновлення одиночногосигналу за його спектральною густиною виконується за допомогою оберненогоперетворення Фур’є:
/>.
/>
Рисунок 8 – Впливпочатку відліку часу на ФЧС
Спектральна густинаодиночного прямокутного імпульсу висотою /> і тривалістю /> описується виразом:
/>.
Частотна залежністьмодуля спектральної густини /> (АЧС) і частотна залежністьаргументу спектральної густини /> (ФЧС) одиночного прямокутногоімпульсу наведені на рис. 9.
Для розрахунку відгуккіл спектральним методом використовують комплексний коефіцієнт передачі кола />, який дозволяєвизначити вихідні сигнали у випадках:
а) періодичногосигналу –
/>
періодичнийпослідовність імпульс спектр амплітуда
де />, />,/>– комплексна амплітуда,амплітуда і початкова фаза />-ї гармоніки вхідного сигналувідповідно; />,/>, /> – комплекснийкоефіцієнт передачі, значення АЧХ і ФЧХ кола для частоти />-ї гармоніки вхідногосигналу відповідно;
б) неперіодичногосигналу –
/>,
де /> – спектральна густинавхідного сигналу.
Розглянуті вищесигнали мають спектри в області низьких частот і такі сигнали називаютьвідеосигналами. На відміну від них, радіосигнали з амплітудною, частотною абофазовою модуляцією мають спектри, сконцентровані поблизу носійної частоти />.
/>
Рисунок 9 – АЧС (а) і ФЧС (б) одиночного прямокутногоімпульсу наведеного на рис. 8, а
Якщо у носійногоколивання />,амплітуда змінюється за законом /> відносно деякого середнього рівня/>,формується амплітудно-модульоване коливання (АМК), яке можна записати увигляді:
/>,
де постійнийкоефіцієнт /> вибранийтаким, щоб амплітуда коливань була завжди додатною.
Якщо модулюючеколивання /> міститьдекілька гармонічних складових, які подані рядом:
/>, (4)
тоді модульованеколивання набуває вигляду:
/>, (5)
де величини /> – парціальні(часткові) коефіцієнти модуляції, />.
Подамо модулюючийсигнал (4) в іншому вигляді, пронормувавши амплітуди гармонік за амплітудоюпершої гармоніки.
/>,
де />; /> – нормовані амплітудигармонік.
Тоді у виразі (5)парціальний коефіцієнт модуляції />-ї гармоніки можна подати як:
/>.
Спектр АМК (1) післятригонометричних перетворень набуває вигляду
/> (6)
Якщо АЧС модулюючогоколивання має вигляд, наведений на рис. 2, а), тоді у відповідності до (2) матимемоспектр АМК, представлений на рис. 10.
/>
Рисунок 10 – АЧСамплітудно-модульованого коливання
Таким чином, спектрАМК можна подати як перенесений на носійну частоту спектр модулюючоговідеосигналу. Спектр містить носійне коливання і дві бокові смуги частот –«нижню» з частотами /> і «верхню» з частотами />. Рівеньбокових частот визначається відповідними коефіцієнтами глибини модуляції />, а ширинаспектра дорівнює />. Такий спектр відповідаєрадіосигналу.
Частковим випадком АМКє балансна модуляція або амплітудна маніпуляція, коли радіосигнал отримуємо увигляді:
/>.
При цьому у випадкумодулюючого сигналу /> з дискретним спектром (4) спектррадіосигналу (2) відрізнятиметься відсутністю носійного коливання.
У випадку, колибалансна модуляція здійснюється неперіодичним сигналом, спектральна густинарадіосигналу має вид:
/>,
де />– спектральна густинамодулюючого відеосигналу.
Наприклад, спектральнагустина радіосигналу на разі модулюючого коливання у вигляді одиночногопрямокутного радіоімпульсу за умов балансної модуляції описується виразом:
/>.
Таким чином,амплітудна маніпуляція одиночним сигналом призводить до переносу спектрамодульованого сигналу в область частот />.
Наявність від’ємнихчастот при спектральному аналізі пояснюється комплексною формою запису ряду Фур’є,або інтеграла Фур’є, в яких дійсна змінна часу коливання /> формується за допомогоювекторів, що обертаються як у додатному напрямі з частотою />, так і у від’ємному зчастотою />.