Качество линейныхнепрерывных САУ и методы ее оценки
1. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ САУ
310181 замкнутый линейный квадратичная интегральная ошибка
Устойчивость является необходимым, но недостаточным условиемработоспособности САУ. К ним предъявляют определенные требования качества.
Наиболее полной характеристикой качества системы является текущая ошибка
/>
/> (1)
/> - фактическое возмущающеедвижение
/> - заданное невозмущающеедвижение
Если />, где /> - заданное воздействие, тоошибка совпадает с величиной на выходе сравнивающего устройства.
Если на систему действуют два внешних воздействия — задающее /> и возмущение />, причем />
/>/>/> (2)
/>/> />
/>
/> - ошибка от задающеговоздействия
/> — ошибка от возмущения
/>
Из (2) видно, что ошибка /> зависиткак от свойств системы, так и от видов входных воздействий />. Для одной и той жесистемы она различна в зависимости от входных воздействий. Поэтому приопределении качества системы используют так называемые типовые воздействия:
— /> - ступенчатое;
— /> - линейное;
— /> - гармоническое.
Различают качество системы в переходном и установившемся режимах.
Качество в переходном режиме — свойство системы на начальном отрезкевремени />, где /> - момент приложения насистему воздействия.
Качество в установившемся режиме — свойство системы в асимптотике при
/>.
Для оценки качества в переходном режиме используют ступенчатое воз-действие/>, т.к. вид кривойпереходного процесса не зависит от
/>.
/> где
/> и /> - переходные функции.
/>
/>
Оценивать качество систем и сравнивать их между собой по текущим ошибками переходным функциям неудобно. Поэтому для оценки качества систем используютчисловые показатели, которые, так или иначе, определяют характерные свойстваошибок и переходных характеристик.
Прямые показатели качества определяются непосредственно по переходнойхарактеристике.
2. Алгебраические критерииустойчивости
Алгебраическими критериями называются критерии, которые основаны напроверке определенных соотношений, составленных из коэффициентовхарактеристического уравнения.
Поэтому при использовании алгебраических критериев нужно иметь толькохарактеристическое уравнение вида: />
Если исследование устойчивости проводится с помощью алгебраическихкритериев, нужно, прежде всего, проверить выполнение необходимого условияустойчивости, так как его проверка не требует никаких вычислений и приневыполнении этого условия дальнейших исследований проводить не нужно.
Необходимое условие устойчивости. Для того чтобы система была устойчива,необходимо, чтобы коэффициенты ее характеристического уравнения были одногознака:
/> или/> (3)
Если необходимое условие не выполняется, то система неустойчива.
Если же необходимое условие выполняется, то система при n ³ 3(n — порядок системы) может быть устойчивой инеустойчивой и для установления устойчивости нужно воспользоваться каким-либокритерием устойчивости. Как уже установлено, в случае систем первого и второгопорядков необходимое условие (3) является и достаточным.
Перейдем к формулировке критерия Гурвица. Составим из коэффициентовхарактеристического уравнения определитель Гурвица п-го порядка
/>
На главной диагонали к располагаются коэффициенты в порядке возрастанияих индексов, начиная с /> и кончая />. В каждом столбце при движении отэлемента, находящегося на главной диагонали, вверх индексы коэффициентоввозрастают, вниз – убывают. При этом на место элементов с индексами,превышающими п (при движении вверх), и отрицательными индексами (при движениивниз) проставляются нули.
Определители Гурвица – это миноры, входящие в главный определительГурвица
Запишем главные миноры определителя/>:
/>, />, />,…
Эти миноры, включая определитель/>называются определителямиГурвица. Примем для определенности />. Это допущение не нарушаетобщности, так как если />, то обе частихарактеристического уравнения можно умножить на —1.
Критерий Гурвица. Для того чтобы система была устойчива, необходимо идостаточно, чтобы все определители Гурвица, составленные из коэффициентов еехарактеристического уравнения, были больше нуля при
/>): />, /> (2)
Из этого критерия следует, что при n =3необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид:
/>, />, />, />
Следовательно, уже при п = 3 необходимое условие устойчивости (1) неявляется и достаточным. Для устойчивости систем третьего порядка кроменеобходимого условия (3) должно выполняться неравенство />, (т.е. разность междупроизведением средних коэффициентов и произведением крайних коэффициентовдолжна быть положительной).
Пример: Исследуем устойчивость системы с единичной отрицательной обратнойсвязью, в разомкнутом и замкнутом состояниях, если задана передаточная функцияразомкнутой системы />. Характеристическое уравнение разомкнутойсистемы: />.
Необходимое условие не выполняется: при /> коэффициент />. Поэтому разомкнутаясистема неустойчива.
Характеристическое уравнение замкнутой системы />. Необходимое условие устойчивостивыполняется. Поэтому достаточно проверить условие (4):
/>, />, />, />.
Замкнутая система устойчива.
Критерий Льенара—Шипара. При выполнении необходимого условия (1) дляустойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительны или всеопределители Гурвица с четными индексами, или все определители Гурвица снечетными индексами.
Следовательно, для того чтобы система была устойчива, необходимо идостаточно, чтобы
/>, />,…, />; />, />, />…
Или
/>, />,…, />; />, />, />…
Таким образом, для исследования устойчивости нет необходимости вычислятьвсе определители Гурвица.
3. Оценка качества САУ впереходном режиме. Показатели качества.
Показатели качества в переходном режиме:
1 Прямые показатели качества:
1.1Времярегулирования
1.2Перерегулирование
Время регулирования /> - минимальноевремя, по истечение которого (с момента подачи ступенчатого воздействия)отклонение выходной величины от установившегося значения не превышает некоторойзаданной величины
/>, где /> - установившееся значение переходнойха-рактеристики.
Перерегулирование –максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения
/>.
Если /> (при />)
/>
/>
Порядок построения переходной характеристики не зависит от местаприложения входного воздействия. Поэтому достаточно рассматривать, как строитсяпереходная характеристика при действии какого-либо одного воздействия, напримерзадающего.
/>
/>
Пусть /> - дробно — рациональная функция. Если полюсы />
/> этой функции простые, то
/>
Если полюсы /> кратные, тоформула усложняется (через предел).
Пример.
Пусть /> - п.ф. разомкнутой системы,тогда п.ф. замкнутой системы
/>
/>
/>
/>.
2 Косвенные показатели качества:
2.1 Корневые
2.2 Частотные
2.3 Интегральные.
2.1.1 степень устойчивости
Корневые
2.1.2 колебательность
Качество системы можно рассматривать, когда все корни характеристическогоуравнения левые, т.е. система устойчива.
Степень устойчивости — расстояние от мнимой оси до ближайшего корня
/>, где /> - корнихарактеристического уравнения
характеризует быстродействие системы. При прочих равных условиях чембольше />, тем быстрее затухаетпереходной процесс.
Колебательность — мера склонности системы к колебаниям
/>
2.2 Частотные показатели качества:
2.2.1 Запас устойчивости по амплитуде
2.2.2 Запас устойчивости по фазе.
По ЛАЧХ и ФЛЧХ По АФЧХ
/>
/> - частота, при которойсдвиг фазы
/>
/>
/> - частота среза
Чем меньше запасы по амплитуде
и фазе, тем медленнее затухает процесс.
/>
2.3 Интегральные показатели качества.
2.3.1 Интегральная ошибка – определяется при апериодическом и монотонномпереходном процессе – />
2.3.2 Квадратичная интегральная ошибка – определяется при колебательномпереходном процессе– />
Ошибку системы можно представить в виде суммы />,где
/> - переходная составляющаяошибки;
/> - установившаяся ошибка.
/>
/> - квадратичнаяинтегральная ошибка
/>