Введение
Современнаятеория автоматического регулирования является основной частью теорииуправления. Система автоматического регулирования состоит из регулируемогообъекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при измененииодной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов(управления или возмущения), изменяются регулируемые переменные. Цель же регулированиязаключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемыепеременные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи вомногих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех). При этомнеобходимо выбирать такой закон регулирования, при котором сигналы управленияпроходили бы через систему с малыми искажениями, а сигналы шума практически непропускались.
Теорияавтоматического регулирования прошла значительный путь своего развития. Наначальном этапе были созданы методы анализа устойчивости, качества и точностирегулирования непрерывных линейных систем. Затем получили развитие методыанализа дискретных и дискретно-непрерывных систем. Можно отметить, что способырасчета непрерывных систем базируются на частотных методах, а расчетадискретных и дискретно-непрерывных — на методах z-преобразования.
Внастоящее время развиваются методы анализа нелинейных систем автоматического регулирования.Нарушение принципа суперпозиции в нелинейных системах, наличие целого рядачередующихся (в зависимости от воздействия) режимов устойчивого, неустойчивогодвижений и автоколебаний затрудняют их анализ. Еще с большими трудностямивстречается проектировщик при расчете экстремальных и самонастраивающихсясистем регулирования.
1.Импульсные системы авторегулирования. Влияние дискретизации по времени напроцессы в САР
Если в системе автоматическогорегулирования рассогласование y(t) – xз(t) измеряетсяне непрерывно, а в течение конечных интервалов времени, следующих с некоторымипромежутками, то такие системы называются системами прерывистого регулированияили импульсными системами. Информация о величине рассогласования в такихсистемах передается с помощью импульсной модуляции (АИМ, ВИМ или ШИМ).
В импульсной системе выделяют импульсныйэлемент (ИЭ) и непрерывную часть (НЧ), как показано на рис. 1.
/>
Рис. 1
Импульсный элемент осуществляет импульснуюмодуляцию, а все устройства аналоговой обработки процессов объединены в непрерывнуючасть. Рассмотрим системы с амплитудно-импульсной модуляцией. Различают АИМпервого и второго рода (см. рис. 2).
/>
Рис. 2
Амплитудно-импульсный модулятор первогорода можно представить в виде ключа, периодически замыкающегося на время t. Системы авторегулирования с такиммодулятором называют системами с конечным временем съема данных. За времяимпульса система работает как непрерывная, а в течение паузы она становитсяразомкнутой и регулирование происходит по законам экстраполяции, задаваемымпередаточной функцией разомкнутой системы. В простейшем случае, когданепрерывная часть представляет собой интегратор, управляющее напряжение втечение паузы остается постоянным. Если помимо интегратора в непрерывную частьвходят другие звенья, например инерционное, то в течение паузы напряжение будетизменяться, и это изменение может оказаться настолько большим, что системастанет неустойчивой, хотя исходная непрерывная система устойчива.
Системы с конечным временем съема данныхмогут использоваться для периодической подстройки радиоустройств под нужныепараметры. В этом случае за длительность импульса t процесс регулирования заканчивается. Еслиже длительность импульса мала по сравнению с временем регулирования внепрерывной системе, то процесс регулирования растягивается. Длительность этогопроцесса будет тем больше, чем меньше отношение t/T, где Т – интервал дискретизации.
В системах с АИМ-II измерение рассогласования и процесс регулирования разделены, тоесть изменение рассогласования за время длительности импульса не сказывается нарезультате измерения. Напряжение на выходе импульсного элемента представляетсобой последовательность импульсов формы S(t), следующих с периодом Т ипромодулированных по амплитуде входным процессом U(t):
/>.
Импульс S(t) можно представить как реакцию линейногоустройства, которое называют формирующим фильтром (ФФ), на d-импульс. Передаточная функцияформирующего фильтра:
/>.
Тогда модель импульсной системыпреобразуется к виду, представленному на рис. 3.Формирующий фильтр ФФ инепрерывная часть НЧ объединяются в приведенную непрерывную часть ПНЧ.
/>
Рис. 3
В этой модели существует два типасигналов: непрерывные – x(t), U(t), y(t) и импульсный:
/>,
представляющий собой последовательность d-функций, промодулированных по площадисигналом U(t). Обатипа сигналов можно описать решетчатыми функциями: несмещенной — дляимпульсного процесса и смещенной – для непрерывных процессов.
импульс система регулирование
/>
Рис. 4
Тогда импульсная модель системыпреобразуется в дискретную модель, показанную на рис. 4. На рис. 5 показано,как непрерывная функция y(t) заменяется смещенной решетчатой функцией y[nT,eT]. Здесь n определяет значение функции в момент дискретизации nT, а e, принимающая непрерывные значения от 0 до 1, — значения функции винтервале от nT до (n + 1)T.
/>
Рис. 5
В дискретной модели процессы нормированыпо времени, то есть являются функциями относительного времени /> = t/T. Дискретная передаточная функцияприведенной непрерывной части Кпнч(z,e) равнаотношению дискретных преобразований Лапласа (в форме Z-преобразования) выходного y[n,e] и входного u*[n]процессов. Ее можно найти по обычной передаточной функции Кпнч(р),пользуясь расширенными таблицами Z-преобразования.Обычно считают, что выходной процесс ключа, осуществляющего временнуюдискретизацию, равен входному процессу, взятому в моменты времени,предшествующие моменту дискретизации. Для непрерывного процесса значения справаи слева от момента дискретизации равны и U[n,0] = U[n,-0] = U[n]. Поскольку из-за принятых допущенийчасто нельзя сказать, будет ли выходной процесс непрерывным или можетизмениться скачком в момент дискретизации, то лучше всегда брать значениепроцесса слева от момента дискретизации. Поэтому значение выходного процесса вмомент дискретизации равно (см. рис.5): y[n] = y[n,-0] = y[n-1,1]. Так как Z-преобразование такого процесса Z{y[n – 1,1]} =z-1Y(z,1), то это отразится в записи знаменателяпередаточной функции замкнутой системы:
/>.
Переходная характеристика системы можетбыть найдена по ее изображению, равному произведению изображения единичногоскачка на передаточную функцию замкнутой системы:
/>.
Рассмотрим в качестве примера систему,импульсный элемент которой формирует прямоугольные импульсы длительностью t, а непрерывная часть представляет собой интеграторс передаточной функцией К(р) = К/р. Так как прямоугольный импульс единичнойамплитуды можно представить как разность единичных скачков 1(t) и 1(t — t), то
/>
и
/>.
Числитель передаточной функции являетсяиррациональным. В передаточной функции замкнутой системы иррациональным будет изнаменатель Анализ системы с такой передаточной функцией затруднителен, поэтомуизбавимся от иррациональности. Если допустить, что t мало и рt
/>
Рис. 6
Таким образом, если пренебречь неточностьюописания процессов в течение длительности импульса, то можно принять Кпнч(р)= Кt/p. Перейдемк нормированному времени /> = t/T. В соответствии со свойствомпреобразования Лапласа (изменение временного масштаба):
/>.
По таблицам Z-преобразования:
/>.
Дискретная передаточная функция замкнутойсистемы:
/>.
Для устойчивости дискретной системытребуется, чтобы корни характеристического уравнения (полюсы передаточнойфункции) находились внутри окружности единичного радиуса. Корень z = 1 — Kt. Системаустойчива, если |1 — Кt|
Изображение переходной характеристики:
/>.
По таблицам Z-преобразования:
h[n,e] = 1 – (1 — Kt)n+ 1.
Переходная характеристика h[n,e] будет монотонной при 0
h[n] = 1 – (1 — Kt)n (19)
Эти значения на переходных характеристикахотмечены точками.
/>
Рис. 7
Если вместе с задающим воздействиемпоступает и возмущающее воздействие, представляющее собой стационарныйслучайный процесс, то регулирование будет происходить со случайной ошибкой.Отношение дисперсии ошибки s2ош к дисперсии возмущающего воздействия s2возпри условии, что значения возмущающего воздействия, отстоящие на интервалдискретизации, некоррелированы, определяется выражением:
/>,
где g[n] – импульсная характеристика замкнутойсистемы.
Так как импульсная характеристика являетсяпервой разностью переходной характеристики, то
g[n] = h[n+1] – h[n] = 1 – (1 — Kt)n+1 – 1 + (1 — Kt)n = Kt(1 — Kt)n.
Тогда:
/>.
По формуле для суммы членов геометрическойпрогрессии:
/>. (20)
Исследование импульсной системы проводитсяна модели, представленной на рис. 8.
/>
Рис. 8
В верхней части модели собранавспомогательная схема, формирующая очень короткие импульсы, которые с выходаблока CrossDetect подаются на схему Semple-Holde (S&H – слежение –запоминание), и импульсы длительностью t, которые подаются на импульсный модулятор. Длительность этихимпульсов равна времени задержки блока задержки. Для сравнения процессов вимпульсной и непрерывной системах собрана модель непрерывной системы с одниминтегратором.
Импульсная модуляция производится блокомперемножения, на один из входов которого подается модулируемый процесс, а навторой – импульс единичной амплитуды. Для задания типа АИМ используется блок S&H. Выходной процесс этого блока совпадает с входным приуправляющем сигнале
2. Цифровые системы авторегулирования. Влияниеквантования по уровню на процессы в САР
В цифровых САР обработка информациипроизводится в цифровой форме. Как правило, цифровые САР содержат и аналоговыеустройства – объекты регулирования (ОР) — генераторы, двигатели и др.,измерительные устройства (ИзмУ) — дискриминаторы. Структура такой системыприведена на рис. 9.
/>
Рис. 9
Все вычисления производятся цифровымуправляющим устройством ЦУУ. АЦП и ЦАП могут быть как самостоятельнымиустройствами, так и частью измерительного устройства (цифровые дискриминаторы)или объекта регулирования (ОР с цифровым управлением). Операциианалого-цифрового и цифро-аналогового преобразования являются нелинейными. ВАЦП производится замена процесса, который может принимать любые значения,процессом, принимающим конечное число значений, а в ЦАП производится округлениечисла, так как разрядность ЦУУ, как правило, больше разрядности ЦАП.
Преобразование непрерывной величины вквантованную с наименьшей ошибкой осуществляется в устройствах квантования сдвумя типами характеристик. Первая характеристика (рис. 10, а) имеет вокрестности нуля зону нечувствительности, а вторая (рис. 10, б) – релейнуюхарактеристику. Для обеих характеристик отклонение квантуемого процесса от квантованногоне превышает половины шага квантования h. Характеристика стандартного АЦП приведена на рис. 10, в. Для неемаксимальное отклонение входного и выходного процессов равно шагу квантования.Стандартный АЦП описывается уравнением: V = hE{U/h}. Здесь Е{a}означает целую часть числа a. Причемпод целой частью следует понимать ближайшее целое число, меньшее a. Например, Е{0,2} = 0, а Е{-0,2} = -1.Заметим, что для формирования характеристики рис. 10, а нужно к входномупроцессу стандартного АЦП добавить h/2, а для формирования характеристики рис. 10, б– добавить h/2 к выходному процессу.
/>
Рис. 10
Для исследования влияния квантования поуровню на процессы в системе авторегулирования обратимся к простейшей моделицифровой системы (рис. 11).
/>
Рис. 11
В цепиобратной связи введена задержка на интервал дискретизации, так как вычисленноев данном интервале значение выходного процесса используется для регулированиятолько в следующем интервале. Элементы модели цифровой системы описываютсяследующими уравнениями:
вычитающее устройство:
u[n] = x[n] – y[n – 1], (21)
квантователь с характеристикой рис. 10, а:
v[n] = hE{u[n]/h + 0,5}, (22)
квантователь с характеристикой рис. 10, б:
v[n] = h(E{u[n]/h} + 0,5) (23)
и интегратор:
y[n] = y[n – 1] + Kv[n]. (24)
Найдем переходную характеристику системы,решая эти уравнения методом шагов для x[n] = 1[n] при нулевыхначальных условиях. Примем следующие значения параметров: h = 0,5 и К= 0,4. Система с квантователем, имеющим зону нечувствительности, описываетсяуравнениями: (21), (22), (24). Решение запишем в виде таблицы.n Нач.усл 1 2 3 4 x[n] 1 1 1 1 1 u[n] 1 0,6 0,4 0,2 0,2 v[n] 1 0,5 0,5 y[n] 0,4 0,6 0,8 0,8 0,8
Так как начальные условия нулевые, то при n = -1 все процессы равны нулю. Заполняем строку x[n] = 1 при п ³ 0. Поуравнению (21) находим: u[0] = x[0] – y[-1] = 1. Поуравнению (22): v[0] = 0,5E{u[0]/0,5 + + 0,5} = 0,5E{1/0,5 + 0,5} = 1. По уравнению (24): y[0] = y[-1] + 0,4v[0] = = 0,4*1 = 0,4.Далее по уравнению (21) находим u[1] и т.д.
Аналогично находим переходнуюхарактеристику системы с квантователем, имеющим релейную характеристику вокрестности нуля. Результаты расчета тоже представлены в таблице.n Нач.усл. 1 2 3 4 5 6 x[n] 1 1 1 1 1 1 1 u[n] 1 0,5 0,2 0,1 -0,1 v[n] 1,25 0,75 0,25 0,25 0,25 -0,25 0,25 y[n] 0,5 0,8 0,9 1,0 1,1 1,0 1,1
На рис.12 показаны эти переходныехарактеристики. Там же для сравнения изображена переходная характеристика длядискретной системы, не содержащей квантователя, которая рассчитана по формуле h[n] = 1 – (1 – K)n+ 1, полученной в предыдущей лабораторной работе. Видим, что вдискретной системе ошибка в установившемся режиме стремится к нулю. В цифровойсистеме она принципиально не может быть равной нулю и будет либо постоянной,либо знакопеременной. Зона нечувствительности в характеристике квантователяприводит к появлению постоянной ошибки, а релейная зависимость – к появлениюпериодических колебаний в установившемся режиме. Величина этих ошибок непревышает половины шага квантования.
/>
Рис. 12
Такие же ошибки возникают и при любыхдругих воздействиях. В данной лабораторной работе на модели исследуютсяпроцессы в системе при линейно изменяющемся воздействии. В принципе, этипроцессы тоже можно рассчитать методом шагов. Мы не будем этого делать и найдемтолько скоростную ошибку в дискретной системе, чтобы в дальнейшем сравнивать сней величину шага квантования. Передаточная функция разомкнутой системы:
Кр(z) = =Kинт(z)z-1/>.
Тогда
/>.
Коэффициенты ошибок:
S0= = Kош(z = 1) = 0 и />.
Скоростная ошибка dск = Dx/K, где Dx – разность входного процесса, то есть приращение входногопроцесса за интервал дискретизации.
Отмеченная разница в переходныххарактеристиках существенна только при большом шаге квантования. При уменьшениишага квантования переходные характеристики сближаются. К тому же характеристикаквантователя может перемещаться по обеим осям из-за помех, возникающих до ипосле квантователя.
/>
Рис. 13
При малом шаге квантования и произвольном входномвоздействии эти режимы могут переходить друг в друга и разница в процессах приразличных характеристиках квантователя становится мало ощутимой. В выходномпроцессе будет присутствовать случайная составляющая, обусловленная процессомквантования. Как уже отмечалось, квантование по уровню является нелинейнойоперацией. Выходной процесс квантователя uкв[n], как видно из рис. 13, можно представить в виде суммыквантуемого процесса u[n] и так называемого шума квантования hкв[n], а сам квантователь – в видепараллельного соединения линейного устройства с коэффициентом передачи, равным1 и нелинейного устройства с характеристикой hкв =F(u) (см. рис. 14). Эту характеристику можнополучить как разность значений выходного и входного процессов квантователя(рис. 15).
/>
Рис. 14
Когда шаг квантования мал по сравнению сквантуемым процессом, шум квантования приобретает случайный характер ипрактически теряет связь с видом квантуемого процесса, поэтому его считаютстационарным случайным процессом, равномерно распределенным в интервале (-h/2,h/2). Дисперсияэтого шума:
/>.
Более того, значения шума квантования,отстоящие друг от друга на интервал дискретизации, слабо коррелированы, и егосчитают белым. Тогда ошибку, вызванную шумом квантования, можно рассчитать поимпульсной характеристике gз[n]:
/>
или по частотной характеристике замкнутойсистемы:
/>
либо
/>,
где />,/>,
l — абсолютная псевдочастота.
Рассчитанное по любой из этих формулзначение дисперсии:
/>. (25)
Исследование системы проводится на модели,изображенной на рис.16. За основу принята импульсная модель с АИМ-II, исследованная в лабораторной работе № 7,в которую введен квантователь по уровню импульсного сигнала рассогласования.Характеристика квантователя задается значением процессов, подаваемых насумматоры S1 (до квантователя) и S2 (послеквантователя). Если выход источника постоянного воздействия, равного h/2, подсоединен к входу S1, тореализуется характеристика, изображенная на рис. 10, а, если – к входу S2, то реализуется характеристика, изображенная на рис. 10, б. Если входы обоих сумматоров свободны,то реализуется характеристика, изображенная на рис. 10, в. Заданный для цифровойсистемы коэффициент передачи К равен произведению коэффициента передачиинтегратора Кинт на длительность импульса t. Для используемой модели t = 0,1 с, поэтому Кинт = К/t = 10К. Интервал дискретизации Т = 1 с.
/>
Рис. 16
Заключение
Формированиесистем автоматического регулирования, как правило, выполняют на основеаналитических методов анализа или синтеза. На этом этапе проектирования системрегулирования на основе принятые допущений составляют математическую модельсистемы и выбирают предварительную ее структуру. В зависимости от типа модели(линейная или нелинейная) выбирают метод расчета для определения параметров,обеспечивающих заданные показатели устойчивости, точности и качества. Послеэтого уточняют математическую модель и с использованием средств математическогомоделирования определяют динамические процессы в системе. При действииразличных входных сигналов снимают частотные характеристики и сравнивают срасчетными. Затем окончательно устанавливают запасы устойчивости системы пофазе и модулю и находят основные показатели качества.
Далее,задавая на модель типовые управляющие воздействия; снимают характеристикиточности. На основании математического моделирования составляют техническиетребования на аппаратуру системы. Из изготовленной аппаратуры собираютрегулятор и передают его на полунатурное моделирование, при котором объектрегулирования набирают в виде математической модели.
Развитиетеории автоматического регулирования на основе уравнений состояния иz-преобразований, принципа максимума и метода динамического программирования совершенствуетметодику проектирования систем регулирования и позволяет создаватьвысокоэффективные автоматические системы для самых различных отраслей народногохозяйства. Полученные таким образом системы автоматического регулированияобеспечивают высокое качество выпускаемой продукции, снижают ее себестоимость иувеличивают производительность труда.
Список литературы
1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебникдля вузов. М.: Радиотехника, 2003. 288 с.
2. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебникдля вузов. М.: Радио и связь, 1982. 296 с.
3. Радиоавтоматика: Учебное пособие / Подред. В.А. Бесекерского. М.: Высшая школа, 1985.271 с.
4. Системы радиоавтоматики и их модели:Учеб. пособие / Ю.Н.Гришаев; Рязан. радиотехн. институт. Рязань, 1977. 46 с.
5. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системыфазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.448 с.
6. Синтез частотных характеристик линейныхсистем автоматического регулирования: Метод. указания / Рязан. гос. Радиотехн. акад.;Сост. Ю.Н.Гришаев. Рязань, 2000. 12 с.