2

Міністерство освіти та науки України

Вінницький національний технічний університет

Факультет АКСУ

Кафедра АІВТ

Звіт на тему :

Зменшення „Блочного ефекту ” при передачі зображення

з дисципліни

“Основи науково-дослідної роботи”

Вінниця 2007

Зменшення „Блочного ефекту” при передачі зображення

Проблеми , що виникають при збільшенні чи передаванні зображення, задають чи мало клопоту для більш детального перегляду. Існує чи - мало методів для покращення зображення, серед яких вейвлет-метод та метод градієнтного потоку.

Розглянемо з існуючих методів покращення якості зображень ці два методи, які основані на субєктивному сприйняттю роздільної здатності і кількості кольорів. При однакових значеннях параметрів пристрою графічного виводу можна створити ілюзію збільшення роздільної здатності або кількості кольорів. При чому субєктивне покращення одної характеристики виконується за рахунок погіршення іншої.

Робота проводиться з метою виявлення можливостей та функцій, які надаються методам, а також для порівняння отриманих результатів.

1. Аналіз вєйвлет метода і метода градієнтського потоку.

2. Виявити можливості та основні функції

3. Проаналізувати та оцінити отримані результати.

4. Провести порівняльну характеристику.

5. Зробити висновки.

Зміст

Вступ

Аналіз вейвлет метода і метода градієнтського потоку

Можливості та основні функції

Аналіз та оцінка результатів

Порівняльна характеристика

Висновки

Використані джерела

Вступ

В даний час існує досить багато спеціалізованих автоматизованих систем для аналізу зображень. Як правило спеціалізовані АС жорстко привязані до обєкту діагностики, і їх адаптація до нового обєкту діагностики практично зводиться до розробки нової АС, яка б враховувала особливості обєкту діагностики.

Автоматизовані системи "загального призначення" як правило включають велику бібліотеку алгоритмів обробки зображень. Проте саме із-за їх універсальності особливості конкретного обєкту діагностики не можуть бути враховані.

Деякі ідеї теорії вейвлетов зявилися дуже давно. Наприклад, вже в 1910 році А.Хаар опублікував повну ортонормальну систему базисних функцій з локальною областю визначення (тепер вони називаються вейвлетами Хаара). Перша згадка про вейвлетах зявилася в літературі по цифровій обробці і аналізу сейсмічних сигналів (роботи А. Гроссмана і Ж.Морле). Останнім часом виникло і оформилося цілий науковий напрям, повязаний з вейвлет-аналізом і теорією вейвлет-перетворення. Вейвлети широко застосовуються для фільтрації і попередньої обробки даних, аналізу стану і прогнозування ситуації на фондових ринках, розпізнавання образів, при обробці і синтезі різних наприклад мовних, медичних, для вирішення завдань стискування і обробки зображень, при навчанні нейромережей і в багатьох інших випадках.

Вейвлет метод

У цифрових системах широко використається метод Wavelet. Послідовність дій, що використає метод стиску Wavelet, у цілому аналогічна алгоритму JPEG. Принципова різниця складається в способі перетворення відеосигналу: метод стиску JPEG використає дискретно-косинусное перетворення сигналу, тоді як метод стиску Wavelet представляє сигнал як суперпозицію кінцевих у часі негармонійних функцій - вейвлетів.

Метод стиску Wavelet перетворить зображення по наступному алгоритмі:

- Перетворення колірного простору

- Вейвлет-перетворення

- Квантування

- Кодування

Градієнтський метод

Різним обєктам на зображеннях відповідають області з більш-менш однаковими значеннями яскравості. На границях же яскравість істотно міняється. Мірою зміни деякої величини є її похідна. На зображенні величина яскравості змінюється в просторі. Просторова похідна - це градієнт, що крім величини має ще й напрямок, тобто являє собою вектор.

Величина або модуль вектора градієнта визначає "силу" границі, тобто наскільки в даній крапці границі відрізняються яскравості обєкта і його оточення. Напрямок вектора градієнта показує напрямок найбільшої зміни яскравості, тобто цей вектор спрямований перпендикулярно границі. Найчастіше напрямок границі не має значення, і в таких випадках досить визначити тільки величину модуля градієнта. Коли ж цей напрямок становить інтерес, необхідно обчислювати повний вектор градієнта.

Можливості та основні функції: Вейвлета і багатомасштабного аналізу.

Розглянемо завдання, що дуже часто зустрічається на практиці: у нас є сигнал (а сигналом може бути все, що завгодно, починаючи від запису показань датчика й чи оцифрованной мовою або зображенням). Ідея многомасштабного аналізу (multіscale analysіs, multіresolutіonal analysіs) полягає в тім, щоб глянути на сигнал спочатку впритул - під мікроскопом, потім через лупу, потім відійти на парі кроків, потім подивитися здалеку (мал.1).

Мал. 1. Приклад багатомасштабного аналізу зображення

Що це нам дає? По-перше, ми можемо, шляхом послідовного збільшення (або зменшення) сигналу виявляти його локальні особливості і підрозділяти їх по інтенсивності. По-друге, у такий спосіб виявляється динаміка зміни сигналу залежно від масштабу. Якщо різкі перегони (наприклад, аварійне відхилення показань датчика) у багатьох випадках видно неозброєним оком, то взаємодії подій на дрібних масштабах, що переростають у великомасштабні явища (так, потужний транспортний потік складається з руху багатьох окремих автомобілів), побачити дуже складно. І навпаки, зосередившись тільки на дрібних деталях, можна не помітити явищ, що відбуваються на глобальному рівні[1].

Ідея застосування вейвлетов для многомасштабного аналізу полягає в тім, що розкладання сигналу виробляється по базисі, утвореному зрушеннями й разномасштабними копіями функції-прототипу (тобто вейвлет-перетворення по своїй суті є фрактальним). Такі базисні функції називаються вейвлетами (wavelet), якщо вони визначені на просторі L2(R) (простір комплекснозначних функцій f(t) на прямій з обмеженою енергією), коливаються навколо осі абсцис і швидко сходяться до нуля в міру збільшення абсолютного значення аргументу (мал.2). Обмовимося відразу, що це визначення не претендує на повноту й точність, а дає лише якийсь словесний портрет вейвлета. Таким чином, згортка сигналу з одним з вейвлетов дозволяє виділити характерні риси сигналу в області локалізації цього вейвлета, причому чим більший масштаб має вейвлет, тим більше широка область сигналу буде впливати на результат згортки.

Мал. 2. Вейвлет Сомбреро

Відповідно до принципу невизначеності, чим краще функція сконцентрована в часі, тим більше вона розмазана в частотній області. При перемасштабуванні функції добуток тимчасового й частотного діапазонів залишається постійним і являє собою площу осередку в частотно-часовий (фазової) площині. Перевага вейвлет-перетворення перед, перетворенням Габора полягає в тім, що воно покриває фазову площину осередками однакової площі, але різної форми (мал.3). Це дозволяє добре локалізувати низькочастотні деталі сигналу в частотній області (переважні гармоніки), а високочастотні - у часовий (різкі перегони, піки й т.д.). Більше того, вейвлет-аналіз дозволяє досліджувати поводження фрактальних функцій [2].

Мал.3. Фазова площина вейвлет-перетворення

Ортогональне вейвлет-перетворення

Вейвлет-перетворення несе величезну кількість інформації про сигнал, але, з іншого боку, має сильну надмірність, тому що кожна крапка фазової площини впливає на його результат. Загалом кажучи, для точного відновлення сигналу досить знати його вейвлет-перетворення на деякої досить рідких ґратах у фазовій площині (наприклад, тільки в центрі кожного осередку на мал.3). Отже, і вся інформація про сигнал утримується в цьому досить невеликому наборі значень. Ідея тут полягає в тім, щоб масштабувати вейвлет у деяке постійне число раз, і зміщати його в часі на фіксовану відстань, що залежить від масштабу. При цьому всі зрушення одного масштабу повинні бути попарно ортогональні - такі вейвлети називаються ортогональними[3]. При такім перетворенні виконується згортка сигналу з деякою функцією (так званою скейлинг-функциєю і з вейвлетом, повязаним із цією скейлинг-функцією. У результаті ми одержуємо згладжену версію вихідного сигналу й набір деталей, що відрізняють згладжений сигнал від вихідного. Послідовно застосовуючи таке перетворення, ми можемо одержати результат потрібної нам ступеня детальності (гладкості) і набір деталей на різних масштабах - те, про що говорили на початку статті. Більше того, застосувавши вейвлет-перетворення до деталі сигналу, що зацікавила нас, ми можемо одержати її збільшене зображення. І навпаки, відкинувши несуттєві деталі й виконавши зворотне перетворення, ми одержимо сигнал, очищений від шумів і випадкових викидів (наприклад, забрати випадково, що потрапила в кадр птаха, на фотографії будинку).

Дискретне вейвлет-перетворення та інші напрямки вейвлет-аналізу:

Очевидно, ідея використати вейвлет-перетворення для обробки дискретних даних є досить привабливою (дискретизація даних необхідна, наприклад, при їхній обробці на ЕОМ). Основні труднощі полягають у тім, що формули для дискретного вейвлет-перетворення не можна одержати просто дискретизацією відповідних формул безперервного перетворення. На щастя, І. Добешу вдалося знайти метод, що дозволяє побудувати (нескінченну) серію ортогональних вейвлетів, кожний з яких визначається кінцевим числом коефіцієнтів. Стало можливим побудувати алгоритм, що реалізує швидке вейвлет-перетворення на дискретних даних (алгоритм Малла). Перевага цього алгоритму, крім усього вищесказаного, полягає в його простоті й високій швидкості: на розкладання, і на відновлення потрібно порядку cN операцій, де c - число коефіцієнтів, а N - довжина вибірки[4].

Останнім часом теорія вейвлет-перетворення переживає просто революційний ріст. Зявилися й розвиваються такі напрямки, як біортогональні вейвлети, мультівейвлети, вейвлет-пакети, ліфтинг і т.д.

Градієнтський метод

У літературі існує кілька підходів до аналізу многомасштабної інформації, тобто, до побудови картини контурів обєктів на основі градієнтних зображень різних масштабів[5]. Існують підходи, у яких аналіз градієнтних зображень проводиться від грубих масштабів до точних, також існують підходи де аналіз виконується, навпаки, від до точних масштабів до грубих і підходи, у яких аналіз не залежить від послідовності розглядання зображень. Дані підходи розрізняються й по принципах побудови градієнтного зображення одного масштабу, тобто , видом застосованого оператора градієнта. Але все-таки ключовим є питання про те, яким образом варто комбінувати наявну многомасштабную інформацію для побудови кінцевої картини границь. Бергольм, один з перших, хто звернувся до теми многомасштабного визначення контурів, пропонує метод, що полягає в послідовному аналізі многомасштабной інформації від грубих масштабів до точного. Такий підхід дозволяє значно зменшити вплив шуму, і в такий спосіб уникнути помилкового визначення контурів одержуваних внаслідок присутності на зображенні шуму, і, у теж час, дає прийнятну картину границь. Однак недоліком даного методу є можливий поділ контурів, обумовлених на грубих масштабах, на трохи окремих при переході до більше точного масштабу. Стратегії розглядання градієнтних зображень від грубих масштабів до точного також дотримуються й інші автори [6]. Однак у тих випадках, коли зображення містить невеликі обєкти з різкими границями, точне визначення границь цих обєктів, при русі від грубих масштабів д точних, нам представляється скрутним, тому що на градієнтних зображеннях грубого масштабу виникає значне переміщення положення різких контурів.

Мал. 4. (а) Профиль вихідного зображення. (б) Градієнтне зображення точного масштабу. (в) Градієнтне зображення грубого масштабу. (г) Многомасштабне градієнтное зображення

Інші автори дотримуються підходу, при якому остаточна картина границь складається на основі аналізу градієнтних зображень від точних масштабів до не точних. При цьому, основними завданнями при такому підході є зменшення впливу шуму, до якого чутливі оператори градієнта малого розміру, і комбінування границь, отриманих на точних масштабах, із плавними границями, які визначаються лише на великих масштабах. При успішному рішенні цих проблем підхід до аналізу градієнтних зображень від точних масштабів, представляється нам найбільш кращим для багатьох практичних випадків, у яких необхідно досить точне визначення контурів обєктів. Характерні приклади таких завдань - це сегментація сканованих зображень сторінок книг, газет, журналів, що містять велику кількість обєктів невеликого розміру, наприклад, букв і символів. Завдання сегментування таких зображень залишається, як і раніше, актуальної, особливо, для випадку кольорових зображень[7].

Багато методів сегментації, засновані на визначенні контурів обєктів, наприклад, ватершед-перетворення, використають як основу для проведення сегментації градієнтів зображення. Однак пропоновані в літературі методи многомасштабного визначення контурів дають як результат уже готову картину контурів, а не складене на основі многомасштабной інформації комбіноване градиінтне зображення, доступне для подальшої обробки. Тому, розробка методу, що дозволяє одержати градиєнтне зображення, складене на основі многомасштабной інформації, що далі можна було б використати в різних методах сегментації, заснованих на обробці градиентного зображення.

Багатомасштабний градієнтський аналіз

В результаті оператора градієнта, використовуваного для побудови градиєнтного зображення певного масштабу, був обраний дискретний випадок диференціального оператора Гаусса, тобто , першої похідної функції Гаусса певної на площині . Відомо, що диференціальний оператор Гаусса є єдиним оператором, що має необхідними для многомасштабного диференціювання зображень властивостями [8].

Основою стратегії аналізу многомасштабной інформації нами була обрана підхід послідовного комбінування градиентных зображень від точних масштабів до грубого. При розгляді точних масштабів основною проблемою є великий вплив шуму на градиентное зображення, на грубі ж масштабах велика помилка зсуву положення контурів обєктів, особливо різких, від їхнього реального місця розташування. Тут ми запропонуємо підхід, що дозволяє уникати помилки зсуву положення контурів, у наступній главі ми запропонуємо метод, що дозволяє уникати вплив шуму.

Розглянемо для простоти, спочатку, одномірний випадок застосування диференціального оператора Гаусса різного масштабу для профілю зображення, що містить різку й плавну границі. На мал.4 показані випадки застосування оператора Гаусса точного й грубого масштабів. На мал.4а наведений профіль зображення, що містить різку й плавну границі обєктів. При малому масштабі градиентного оператора (мал. 4б) положення різкої границі на профілі вихідного зображення відповідає значному сплеску інтенсивності на градиентном зображенні, однак для плавної границі сплеск інтенсивності значно менший, чим для різкої границі. З мал. 4в, що відповідає великому масштабу застосування диференціального оператора, можна помітити, що, зі збільшенням масштабу інтенсивність плавної границі на градиентном зображенні буде рости. Однак на градиентном зображенні малого масштабу її інтенсивність ще досить мала. Мала інтенсивність крапок контуру на градиентном зображенні може бути причиною втрати контуру при подальшому застосуванні до градиентному зображення методів виділення контурів. Тому при побудові градиентного зображення бажано одержувати найбільшу можливу інтенсивність крапок контуру. При великому масштабі градієнтного зображення (мал. 4в) інтенсивність плавної границі стає вже досить великий, далі, при збільшенні масштабу, залишається практично постійної. Неважко показати, що інтенсивність границі стає близької до максимально можливого, коли розмір маски диференціального оператора Гаусса досягає реальної ширини границі. Отже, для одержання максимального відгуку на градієнтном зображення для границі ширини достатнє застосування оператора градієнта маштаба не меншого чим s > WE , де s - параметр масштабу .

З малюнків 4(б) і 4(в) можна побачити, що ширина сплеску інтенсивності для різкої границі зі збільшенням масштабу збільшується й стає більшої, у порівнянні із шириною сплеску інтенсивності для цієї ж границі на зображенні малого масштабу. При цьому, максимальна величина сплеску інтенсивності залишається приблизно на одному рівні. Величину ширини сплеску інтенсивності WІ на градиентном зображенні масштабу s границі, яка має реальну ширину шляхом простих обчислень можна оцінити як W = WE + 2s. Отже, зі збільшенням масштабу s ширина сплеску інтенсивності W для границі шириною збільшується й може привести до його накладення на відгук від іншої сусідньої границі. Це й приводить до помилок зсуву границь на градієнтних зображеннях більших масштабів - сусідні, близько розташовані до один одному границі можуть зливатися в одну. У теж час, для визначення границі, тобто , для одержання максимально можливого відгуку, достатнє застосування диференціального оператора масштабу рівного реальній ширині границі. Таким чином, ми показали, що для зображень, що містять одночасно різкі й плавні границі, що часто зустрічається на практиці, застосування оператора одного масштабу або недостатньо для визначення плавних границь, або дає більшу помилку положення різких границь обєктів[9].

Пропонується наступний підхід до рішення даної проблеми, і представляємо наступний метод комбінування многомасштабной інформації при послідовному аналізі градієнтних зображень від точних масштабів до грубого. Починати побудова многомасштабного градієнтного зображення треба з масштабу s0, що відповідає найменшій передбачуваній ширині границі. Як уже було сказано вище, для визначення границі ширини необхідне застосування масштабу не меншого чим ширина границі s > WE . Якщо найменша ширина границі невідома, то починати треба з найменшого можливого масштабу.

Іншими словами, для усунення ефекту "розширення границь" при просуванні до більших масштабів, ми забороняємо обчислення градієнта більшого масштабу в крапках, що прилягають до вже відомих границь ближче чим розмір масштабу градієнта. Тим самим, ми не одержуємо помилкові значення градієнта поблизу відомих границь і, у результаті, можемо уникнути помилки зсуву або зєднання границь на більших масштабах. Дана послідовність дій завершується на деякому великому масштабі smax, розмір масштабу якого характеризує найбільшу можливу ширину границі обєкта.

На малюнку 4г зображений профіль градієнтного зображення, отриманого пропонованим нами методом в одномірному випадку. Можна бачити, що ширина сплеску інтенсивності для різкої границі залишилася вузької, як на зображеннях малого масштабу, у той час як інтенсивність відгуку плавної границі велика, як на градієнтному зображенні великого масштабу. Недоліком даного підходу є те, що при наявність на зображенні шуму, на малих масштабах, коли оператор градієнта особливо чутливий до наявності шуму, ми можемо одержувати помилкові контури обєктів. Ці помилкові границі, отримані внаслідок наявності шуму на зображенні, можуть перешкоджати обчисленню градієнтів більшого масштабу в їхніх околицях. Далі ми пропонуємо рішення даної проблеми для частого практичного випадку, коли вихідне зображення містить у переважній більшості обєктів із замкнутими контурами й имеющими границі зі слабко мінливим нахилом уздовж контуру[10].

Модифікація методу для зображень які містять шум

У даній главі розглядається застосування запропонованого методу для зображень, які можна характеризувати наступною моделлю. Будемо вважати, що вихідне зображення містить обєкти із замкнутими контурами, і нахил границі кожного обєкта уздовж контуру слабко міняється. Зображення, які можна описати даною моделлю часто зустрічаються на практиці. Дійсно, скановані зображення сторінок книг, газет, журналів, містять у переважній більшості, текст, заголовки, картинки в рамках, тобто , обєкти, що мають замкнуті контури. І, як правило, нахил границь даних обєктів уздовж контуру слабко міняється.

Дані припущення дозволяють використати в запропонованому нами методі, на кроці визначення картини границь Eі(x,y), відомий метод сегментації - ватершед-перетворені. Відомо, що ватершед-перетворення дозволяє одержувати завжди замкнуті границі обєктів, а обєкти з незамкнутими границями не визначаються. А тому що в припущеннях нашої моделі нахил границь обєктів уздовж контуру слабко міняється, то застосування ватершед-перетворення дозволить одержувати замкнуті контури обєкта повністю на одному кроці масштабу. Дійсно, незмінність нахилу границь обєктів уздовж контуру дозволяє одержувати однаковий відгук для всіх границь одного обєкта на градієнтному зображенні конкретного масштабу.

Мал. 5. Модифікація запропонованого алгоритму для зашумлених зображень

На мал.5 схематично зображена послідовність виконання операцій для даної модифікації пропонованого нами методу. Перший етапом побудови градиентного зображення Dі(x,y) масштабу sі залишається таким же, як він і був описаний у попередній главі й полягає в комбінованій побудові градиентного зображення масштабу sі на основі градиентного зображення Dі-1(x,y) масштабу sі-1 і картини границь Eі-1(x,y), отриманої на sі-1 кроці. Далі, на другому етапі, до отриманого градиентному зображенню застосовується метод ватершед- перетворення, що дозволяє одержати замкнуті контури обєктів і побудувати відповідну картину границь Eі(x,y). Після чого, на третьому етапі, виконується класифікація отриманих обєктів, використовуючи як критерій приналежності обєкта до шуму нечітку функцію f(q,e). Границі обєктів, віднесених до шуму, віддаляються із зображення границь Eі(x,y). Після чого, виконуються аналогічні послідовності дій для наступних кроків.

Аналіз та оцінка результатів Вейвлет методу

На малюнку 6 показано приклад зображення багато масштабного аналізу зображення. З більшенням певного обєкту на малюнку, при покращенні зображення ми спостерігаємо певну не чіткість, яка спостерігається зернистістю і меншою насиченістю кольорів. Зображення становиться більш темнішим.

Мал. 6. Приклад зображення яке містить обєкти з різкими і плавними контурами Градієнтського потоку

Малюнок 7 представлений приклад напівтонового зображення утримуючі обєкти, що мають різкі й плавні границі. Текст у верхній частині зображення має різкі контури, у той час як три латинські букви в нижній частині зображення мають плавні контури. На мал. 7а й мал. 7б представлено градієнтне зображення точного масштабу, отримане на основі вихідного зображення й, відповідно, результат застосування ватершед-перетворення. На мал. 7в і мал. 7г показані аналогічні зображення для випадку грубого масштабу. На мал. 4г і мал. 4б показаний результат використання пропонованого алгоритму. Легко бачити, що тільки у випадку застосування запропонованого алгоритму всі контури обєктів були визначені щонайкраще

Порівняльня характеристика

Незважаючи на те, що математичний апарат вейвлет-аналіза добре розроблений і теорія, загалом , оформилася, вейвлети залишають велике поле для досліджень. Досить сказати, що вибір вейвлета, найбільш підходящого для аналізу конкретних даних, являє собою скоріше мистецтво, чим рутинну процедуру. Крім того, величезне значення має завдання розробки додатків, що використають вейвлет-аналіз - як у перерахованих областях, так і в багатьох інших, перелічити які просто не представляється можливим[11].

Градієнтський метод дозволяє одержувати комбіноване зображення, що підсумує інформацію отриману на градієнтних зображеннях різного масштабу. На відміну від інших методів, заснованих на багатомасштабному аналізі градієнтних зображень, результатом яких є картина границь, цей метод дозволяє одержати багатомасштабного градієнта зображення, до якого далі можуть бути застосовані традиційні методи сегментації. Аналіз градієнтних зображень від точних масштабів до грубого дозволяє точно визначити різкі контури обєктів малого розміру, що є актуальним для часто, що зустрічаються на практиці зображень, що містять букви й символи. Пропонований метод дозволяє уникнути при переході до великих масштабів "розмазування" різких границь, отриманих на точних масштабах. Це досягається скасуванням застосування оператора градієнта великого масштабу на околицях різких границь. Але, у той же час, метод дозволяє визначити й плавні границі, одержувані тільки при застосуванні диференціального оператора великого масштабу.

Тому що пропонований метод є чутливим до шуму, то для зашумлених зображень пропонується модифікація методу, заснована на застосуванні ватершед-перетворення. Пропонована модифікація методу дозволяє значно зменшити негативний вплив шуму на результуюче градіентне зображення[12].

Висновки

Компютерна обробка зображень як фундаментальний науковий напрямок є невичерпною. Цей напрямок опирається на математику, фізику, біологію, інформатику. Методи й засоби компютерної обробки зображень мають найрізноманітніші застосування: наука, техніка, медицина, соціальна сфера. Практично вже зараз прогрес суспільства, особливо в сфері охорони здоровя, багато в чому залежить від досягнень компютерної обробки зображень. Надалі роль компютерної обробки зображень у житті людини буде зростати ще більше. В даній роботі було розглянуто основні два метода покращення зображення при зменшені „Блочного ефекту”. Робота проводилася з метою виявлення можливостей та функцій, які мають методи, також були проведені порівняння й оцінки отриманих результатів. В роботі наведена, коротка характеристика вейвлет методу та градієнтського потоку, в якій стисло надана інформація про методи та їхні можливості.

Використані джерела

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва, "РХД", 2001 г.

2. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. С.-Петербург, ВУС, 1999 г.

3. Смоленцев Н. К. Основы теории вейвлетов. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 304 с., ил.

4. Mallat S. A theory for multiresolutional signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1989, N7, p.674-693.

5. R.C. Gonzalez, R.E. Woods, Digital Image Processing, Prentice-Hall, Inc, Upper Saddle River, New Jersey, pp. 617-626, 2002.

6. S. Beucher, F. Meyer, The Morphological Approach to Segmentation: The Watershed Transformation, in “Mathematical Morphology in Image Processing”, E. R. Dougherty Editor, Marcel Dekker, Inc, New York, pp.433-481, 1992.

7. D. Ziou, S. Tabbone, “Edge Detection Techniques”- An Overview, technical report, No. 195, Dept Math & Informatique. Universit de Sherbrooke, 1997.

8. F. Bergholm. “Edge Focusing”. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 9(6), Nov 1987, pp. 726-741.

9. D.J. Williams and M.Shas. “Edge Contours Using Multiple Scales”. Computer Vision, Graphics and Image Processing, 51, 1990, pp.256-274.

10. V. Lacroix. “The Primary Raster: A Multiresolution Image Description”. In Proceedings of the 10th International Conference on Pattern Recognition, 1990, p. 903-907.

11. J.F. Canny. “A Computational Approach to Edge Detection”. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 8(6), Nov 1986, pp. 679-698.

12. D. Ziou and S. Tabbone. “A Multi-Scale Edge Detector”. Pattern Recognition, 26(9), 1993, pp.1305-1314.