Введение
Цифровые системы — это системы с цифровыми сигналамина входе и выходе. Их ядром обычно является ЦВМ. Человечество создало мало объектов,имеющих цифровую природу, поэтому общий термин цифровая система применяетсяредко. Гораздо чаще встречаются термины цифровой фильтр или система цифровогоуправления, которые ярко отражают основную область применения этих систем. Нередкосистему цифрового управления, так же называют цифровым фильтром. Итак, цифровойфильтр — это дискретно-временная система, выходной сигнал которой являетсямодифицированной версией входного сигнала.
Фильтры являются основой для большинства приложенийобработки сигналов. Типичное назначение — это извлечение или вырезка областиспектра входного сигнала или определенной частоты. Используемые для кондиционированиясигналов фильтры нередко называются частотно селектирующими, поскольку обычноразрабатываются на основе требований к частотной характеристике.
Методы расчета БИХ-фильтров
Расчет БИХ-фильтров можно вести вчастотной и временной областях. При расчете в частотной области используетсясинтез по аналоговому и цифровому прототипам. Численные методы расчетаразработаны для применения в частотной и временной областях.
Синтез по аналоговому прототипуоснован на преобразовании p-плоскостив z-плоскость, а характеристик и параметрованалоговых фильтров в соответствующие характеристики и параметры цифровыхфильтров. Передаточная функция аналогового фильтра на p-плоскости в общем виде может быть записана так
/>. (1)
Для перехода к функции /> и разностному уравнениюЦФ существуют следующие четыре метода.
Метод 1. Отображение дифференциалов.Это наиболее простой метод, сущность которого заключается в заменедифференциалов на конечные разности. В операторном уравнении (1), еслидифференциалы заменяются прямыми разностями, то
/> или />,
а если обратными, то
/> или />
Недостатком метода является неполноесоответствие частотно-избирательных свойств ЦФ свойствам аналогового прототипа.Кроме того, при использовании прямых разностей устойчивый аналоговый фильтр — прототип отображается в неустойчивый ЦФ. Поэтому, несмотря на простоту,применять этот метод не рекомендуется.
Метод 2. Инвариантное преобразованиеимпульсной характеристики (стандартное Z-преобразование). Сущность метода заключается в расчетеимпульсной характеристики (ИХ) ЦФ по аналоговому прототипу и вычислениисистемной (передаточной) функции ЦФ.
Достоинством данного метода являетсяподобие импульсных характеристик ЦФ и аналогового прототипа; простота.Недостатком же является наличие эффекта наложения частотных характеристик ЦФ,если полоса пропускания аналогового прототипа превышает />. Поэтому точность расчетовЦФ по данному методу тем выше, чем меньше отношение
/>
где /> - верхняя частота полосыпропускания ЦФ; /> - частота дискретизации.
Метод 3. Согласованное Z-преобразование. Полюсы и нули аналоговогопрототипа на p-плоскости отображаются в полюсы инули ЦФ на z-плоскости по правилу
/>
Для реализации этого методапередаточную функцию аналогового прототипа представляют в виде произведениясомножителей
/>
где />, /> - действительные иликомплексно-сопряженные коэффициенты. Метод согласованного Z-преобразования не применим, еслипередаточная функция аналогового прототипа имеет только полюсы (нулирасположены в бесконечности). Для устранения этого недостатка при расчетахфильтров с нулями в бесконечности рекомендуется вводить полюс того же порядка,что и нуль, в точке />.
Метод 4. Билинейное (дробно-линейное)Z-преобразование. При отображении p-плоскости в z-плоскость вся мнимая ось />, /> отображается в единичнуюокружность. Для этого необходимо выбирать нелинейную монотонную функциючастоты. Эта функция должна изменяться в пределах от /> до /> на оси частот дискретизации приизменении /> от/> до />. В качестветакой функции комплексных частот можно выбрать гиперболический тангенс
/> или />, (2)
которому при /> соответствует обычный тангенс
/>.
Гиперболический тангенс в выражении(2) можно представить следующим образом
/>. (3)
Таким образом, комплексная плоскость p преобразуется в комплексную z-плоскость заменой переменных (3).
С помощью билинейных Z-преобразований можно от аналоговогоФНЧ прототипа перейти к ЦФ нижних частот (НЧ), верхних частот (ВЧ), полосовому,режекторному, гребенчатому и др.
Билинейное Z-преобразование обладает следующими достоинствами: во-первых,физически реализуемый и устойчивый аналоговый фильтр отображается в физическиреализуемый и устойчивый ЦФ: во-вторых, отсутствуют проблемы, связанные сналожениями: в-третьих, нелинейность шкалы частот ЦФ, преобразованного изпрототипа, можно учесть для широкого класса фильтров.
Недостатком этого метода является несовпадение импульсной и фазовой характеристик рассчитанного прототипа, поэтомунеобходимо вводить корректоры и усложнять конструкцию ЦФ. Тем не менее методбилинейного Z-преобразования является самымраспространенным аналитическим методом расчета ЦФ.
Для синтеза БИХ ЦФ по цифровомупрототипу используются преобразования ЦФ НЧ с безразмерной частотой среза /> в ЦФ НЧ сдругой частотой среза, ЦФ ВЧ, полосовой, режекторный или гребенчатый фильтры. Методикарасчета по цифровому прототипу проще, чем методика расчета по аналоговомупрототипу, так как в ней отсутствует этап перехода от аналогового фильтра — прототипа к ЦФ. Применение методовоптимизации для расчета БИХ-фильтров
В последние годы широкоераспространение получил другой класс методов расчета БИХ-фильтров, называемыхметодами оптимизации. Отличительной чертой этих методов является то, чтосистема уравнений, составленная относительно коэффициентов фильтра, не можетбыть решена в явной форме. Поэтому для нахождения коэффициентов приходитсяиспользовать численные методы оптимизации, минимизирующие, согласно выбранномукритерию, некоторую ошибку.
В качестве такого критерияиспользуется критерий минимума среднеквадратической ошибки. При этом целеваяфункция задачи имеет вид
/>
где /> — (/>)-мерный вектор искомых коэффициентов,/> -получаемая амплитудная характеристика фильтра, /> - заданная амплитуднаяхарактеристика фильтра, />, /> - дискретный ряд частот, накоторых вычисляются отклонения получаемой и заданной характеристик фильтра.
Минимизация функции /> сводится к нахождениюоптимального значения параметрического вектора весовых коэффициентов фильтра />. Так какфункция /> являетсянелинейной, для ее минимизации необходимо использовать эффективные методыоптимизации.
При использовании методов оптимизацииучитывается поведение только амплитудной характеристики, поэтому некоторыеполюсы или нули после завершения итераций могут оказаться за пределамиединичного круга. В этом случае можно прежде всего заменить полюс с полярнымикоординатами />, оказавшийся вне единичногокруга, на полюс с координатами />, находящийся внутри единичногокруга. Амплитудная характеристика фильтра при такой замене остается неизменной,так как полюс заменяется своим зеркальным отображением. После того, как всеполюсы оказываются внутри единичного круга, появляется возможность с помощьюдополнительного анализа еще больше оптимизировать квадрат ошибки. Такаяситуация возникает достаточно часто, и в этих случаях оптимизация должна производитьсядвумя этапами:
1. Использованиепрограммы оптимизации для минимизации функции /> без каких-либо ограничений нарасположение нулей и полюсов.
2. После завершенияитераций инвертирование всех полюсов и нулей, оказавшихся вне единичного круга.После этого продолжение оптимизации для нахождения нового минимума />.
Расчет БИХ фильтров во временнойобласти
Наряду с методами расчета фильтров,обладающих заданными частотными характеристиками, существуют методы расчетафильтров с заданными импульсными характеристиками. Пусть z-преобразованиеимпульсной характеристики h(k) фильтра равно
/> (1)
причем требуется, чтобы импульснаяхарактеристика аппроксимировала заданную последовательность g(k) в диапазоне 0 ≤k ≤ Р-1. Используя различные предположения, Баррас и Парке, а также Брофии Салазар и другие авторы показали, что можно найти такой набор коэффициентоваi и bi что
/> (2)
будет минимальной. Здесь w(k) —положительная весовая функция последовательности ошибки. Посколькухарактеристика h(k) нелинейно зависит от параметров фильтра {аi} и {bi}, вобщем случае задача минимизации е может быть решена только методомпоследовательных приближений. В частном случае, когда Р = n+m-1, искомыепараметры фильтра, минимизирующие величину, можно найти, решив систему из(n+m) линейных уравнений. Рассмотрим этот метод подробнее. Для этого (считая,что а0= b0=1) представим импульсную характеристику фильтра в виде
/> (3)
/> (4)
В предположении, что g(k)= h(k) при k= 1, 2,… ., m, решим систему уравнений вида (4.141) относительнокоэффициентов ai, что дает g(k) = h(k) при k = m + 1, m + 2,… ., m + n.Решив систему уравнений вида (4.140) при определенных значениях ai, найдемтакие значения коэффициентов bi, для которых g(k} = h(k) при k = 1, 2,… .,m. Эта процедура сводится к приравниванию первых (n+m+1) членов степенногоразложения передаточной функции (1) z-преобразованию заданной импульсной характеристикифильтра g(k), усеченному за (n+m)-м членом. Такой метод аппроксимации степенныхрядов рациональной функцией часто называют аппроксимацией Падэ. При аппроксимациизаданной импульсной характеристики цифрового фильтра путем воспроизведения еепервых (n+m+1) отсчетов предполагается, что в целом импульсная и частотнаяхарактеристики получаемого в результате аппроксимации фильтра не будутсущественно отличаться от заданных характеристик. Однако простого метода длянахождения хотя бы даже приближенно оценок отклонений любой из этиххарактеристик пока не существует. Приведем несколько конкретных примеровиспользования Лого метода для расчета КИХ-фильтров (примеры взяты из статьиБрофи и Салазара).
На фиг. 6 и 7 представленыхарактеристики двух фильтров, рассчитанных с использованием аппроксимации Падэ,которые предназначены для работы в системах передачи данных. Кривая А на фиг. 6представляет собой требуемую амплитудную характеристику полосового фильтра.Частота дискретизации в данном и последующем примерах равна 7200 Гц. Этотфильтр должен обладать следующими характеристиками: ослабление на 3 дБ начастотах 200 и 3200 Гц, размах пульсаций в полосе пропускания менее 0,25 дБ,линейные фазовые характеристики в полосе пропускания и крутизна спада в полосе непропусканияне менее 12 дБ на октаву. Кривой Б представлена амплитудная характеристикафильтра 24-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации Падэ. Наибольшаяабсолютная величина ошибки отсчетов импульсной характеристики фильтра равна0,0018. Фазовая характеристика рассчитанного фильтра приведена на фиг. 6 внизу.
Аналогичные кривые для полосовогофильтра 10-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации амплитуднойхарактеристики в предположении, что она имеет спады косинусоидальной формы,представлены на фиг. 7.
/>
Фиг. 6. Расчет полосового фильтра сиспользованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару)
Необходимо учитывать, что, так какпри аппроксимации методом Падэ фильтр рассчитывается только во временнойобласти, получающаяся при этом аппроксимация амплитудной характеристики вчастотной области, как правило, не обеспечивает в полосе непропусканияослабления, превышающего 40 дБ. Однако коэффициенты фильтра, найденные этим методом,часто можно использовать в качестве начальных значений при расчетеБИХ-фильтров, обладающих заданными частотными свойствами, более сложнымиметодами оптимизации.
/>
Фиг. 7. Расчет полосового фильтра сиспользованием аппроксимации методом Падэ (по Брофи и Салазару)
Список литературы
1. Балашов Е.П. идр. Микро- и мини-ЭВМ / Е.П. Балашов, В.Л. Григорьев, Г.А. Петров: Учебноепособие для вузов. – Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1984
2. Калабеков Б.А.Микропоцессоры и их применение в системах передачи и обработки сигналов: Учеб.пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1988.
3. Микропроцессорныйкомплект К1810: Структура, прграммирование, применение: Справочная книга/ Ю.М.Казаринов, В.Н. Номоконов, Г.С. Подклетнов, Ф.В. Филиппов; Под ред. Ю.М.Казаринова.- М.: Высш. шк., 1900.
4. Микропроцессоры:системы программирования и отладки / В.А. Мясников, М.Б. Игнатьев, А.А. Кочкин,Ю.Е. Шейнин; Под ред. В.А. Мясникова, М.Б. Игнатьева. – М.: Энергоатомиздат,1985.