Федеральноеагентство по образованию
Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Северо-Западныйгосударственный заочный
техническийуниверситет
Институтуправления производственными и
инновационнымипрограммами
Кафедра информатики
Контрольная работа по дисциплине
«Математика.Часть 2.»
Тема: “Численные методы и расчеты в EXCEL.”
Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.
Анализ ипрогнозирование в EXCEL.
Задача 2. Решениесистем уравнений в EXCEL.
Задача 3. Комплексные числа.
Выполнила студентка: Шестакова МарияДмитриевна
ИУПиИП
Курс: II
Специальность: 80502.65
Шифр: 578030493
Преподаватель: Ходоровская ВалентинаСергеевна
Подпись преподавателя:
Санкт-Петербург
2007
Тема .
Численные методы и расчеты в EXCEL.
Задача 1.
Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.
Анализ и прогнозирование в EXCEL.
I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона.
II.Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках
x1 ; x2 ; x3 ; x4 :
1) при помощи полиномаНьютона для реализации ее в EXCEL ;
2) при помощи функций,осуществляющих прогноз вычислений
(ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).
Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами:
x
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
0.860
0.819
0.779
0.741
0.705
0.670
0.638
0.606
0.577
0.549
Значения
x1 = 0.149
x2 = 0.240
x3 = 0.430
x4 = 0.560
Основные понятия.
Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучениережимов экстраполяции данных в EXCEL.
Задачаинтерполяциисводится к требованию точного совпадения в узловых
точкахфункции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующейзависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится кпостроению интерполяционных многочленов (полиномов).
Поопределению интерполяция — это отыскание промежуточных значенийвеличины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяцияпроисходит от латинского “interpolation”, что в переводезначит “изменение, переделка”.
Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но приусловии, что x лежит вне интервала (x0, xn). Происходит от “экстра…” илатинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”.
Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или
функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими кисходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского“approximo”, что значит “приближаюсь”.
Графическизадача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующуюфункцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции.Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x)используются многочлены Pn (x). Задачасостоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn (x), обеспечивающийтребуемую интерполяцию е.
Наиболееуспешно для интерполяции используется полином Ньютона,для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящимиузлами используются конечные разности.
Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” — часть сложных слов,указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо(от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) илатинского “nomen”, т.е. имя.
Конечнойразностью первогопорядка называется разность:
Дyi = yi + 1 - yi , i = 0,1,…, n –1
Аналогично определяются конечные разности второгои более высоких порядков.
Интерполяционный полином Ньютона.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:
Pn(x) = y0 + (x-x0) · Дy0 /1!h + (x-x0)(x-x1)· ДІy0/2!hІ+....+ (x-x)(x-x1)…..(x-xn-1) · Дny/ n!hn
Решение.
Выполнениезадания I.
Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютонадля экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечныеразности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, чтозначения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастаютравномерно с шагом h = 0,05. Степень полиномаопределяется числом (порядком) конечных разностей ( вданном случае их девять ).
Pn(x) = P9(x)= y0 + (x-x0) Дy0 / 1!h + (x-x0) (x-x1)ДІy0 /2!h2+..
..+ (x-x0)(x-x1) (x-x2)(x-x3) (x-x4) (x-x5) (x-x6) (x-x7)(x-x8) (x-x9) Д9y0 / 9!h9 =
0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x-0,20) · 0,001 / 2! · 0,052 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,053 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) /4! · 0,054 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,055 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40)· 0,004 / 6! · 0,056+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40)(x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x-0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,058 +
(x— 0,15) (x— 0,20) (x— 0,25) (x— 0,30) (x— 0,35) (x— 0,40) (x— 0,45) (x— 0,50) (x— 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,059.
Выполнениезадания II.
1)Составление программы для вычисления значений функции взаданных точках при помощи полинома Ньютона.
Шагпервый:
Подготовкаисходных данных электронной таблицы в EXCEL:
а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:N4).
б) Введем номера по порядку в ячейки A5: A14.
в) Введем исходные данные в ячейки B5: C14.
Такимобразом подготовлена таблица для выполнения работы.
Шагвторой:
Вводформул:
а) Ввод формул для вычисления конечных разностейпервого порядка:
а.1)в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 = y1– y0, которая примет вид: =C6–C5;
a.2) копируем эту формулу в ячейки D6: D13. В результате в ячейке D6
получаем формулу =C7-C6 (т.е.Дy1 =y2 - y1= 0,779 – 0,819 = -0,040), в ячейке D7
получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy2 = y3 – y2= 0,741 – 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где
получаем формулу
=C14-C13(т.е. Дy8 = y9 – y8 = 0,549 – 0,577=-0,028)
б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка:
б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула
=D6-D5(т.е. ДІy0 = Дy1 - Дy0= -0,040 — (-0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6: E12.
Вячейке E12 получаем формулу =D13 — D1 (т.е. ДІy7 = Дy8 - Дy7= — 0,028 — ( -0,029) = 0,001).
в) Ввод формул для вычисления конечныхразностей вплоть до девятого порядка:
длявычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все
остальныебудут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, изF5 в G5 и т.д.
Отображениев режиме формул см. в “Приложении 1”.
Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”.
Шаг третий:
Вводформул:
а) Ввод формул для вычисления промежуточныхкоэффициентов:
а.1) длявычисления первого промежуточного коэффициента (x-x0/1!h)в ячейку M5 введем формулу
=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. В ячейке N2 находится текущее значение x. Прикопировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используемабсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции, адресэтой ячейки тоже абсолютный (значок $).
а.2) длявычисления второго промежуточного коэффициента
(x-x0) (x- x1)/2!hІ= (x-x0)/1·h · (x-x1)/ 2·h = a · b,
где a коэффициент в ячейке M5, a = (x-x0)/1h,
bкоэффициент, на которыйнужно умножить M5, b = (x-x1) / 2h,
вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2.
а.3) после ввода данных в M5 и M6, длявычисления остальных промежуточных коэффициентов
копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:
=M6*($N$2– B7) / (A7 + 1) / $F$2, в ячейке M8 мы увидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1)/ $F$2 и
т.д.
Шаг четвертый:
Ввод формул:
а) Ввод формул для вычисления полиномаНьютона:
а.1) для вычисления первого полинома Ньютона, который равен (x-x0)· Дy0/ 1!h = (x-x0) / 1h ·Дy0, содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5.Знак $ перед номером строки необходим, т.к. в полиноме Ньютонанаходятся только конечные разности с индексом ноль, т.е. все конечныеразности берутся только из строки с номером 5;
а.2) для ввода остальныхчленов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящихячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5, в N7 формулу =M7*F$5, в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. доячейки N13.
Шаг пятый:
Вводформул:
а) Ввод формул длявычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:
а.1) объединимячейки A16: M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий
«Суммакоэффициентов полинома”;
а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13). Теперь в N16 будет сумма всехчленов полинома Ньютона, кроме y0. При x =0,149 в ячейке N16 получается число 0,001.
Шагшестой:
Вводформул:
а) Ввод формул для вычисления значенияполинома:
а.1) объединимячейки A18: M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий »Значение полинома";
а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5. В ячейке N18 появится число 0,861, которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149
Шагседьмой:
Вычислениесумм коэффициентов полинома изначений полинома
при x= 0,240; x = 0,430; x = 0,560.
а) в ячейку N2 вводим 0,240. Результат:
вячейке N16 — (-0,073); в ячейке N18 — (0.787);
б) в ячейку N2 вводим 0,430. Результат:
вячейке N16 — (-0,209); в ячейке N18— (0,651);
в) в ячейку N2 вводим 0.560. Результат:
вячейке N16 — (-0,287); в ячейке N18 — (0,573).
Шаг восьмой:
Дляудобства полученные данные занесем в нашу таблицу.
Таблицыприлагаются. Режим формул — “Приложение 1”. Режим значений — “Приложение 2.
2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точкахпри помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).
Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функцииаппроксимации кривой.
Табличныйпроцессор EXCEL предоставляет возможность аппроксимации сиспользованием“функций аппроксимации кривой”
Пустьв узлах x0, x1, …, xn известны значения f(x0), f(x1), … ,f(xn).Необходимо осуществить экстраполяцию (прогнозирование), т.е.вычислить значения f(xn+1), f(xn+2),… .
Вкатегории Статистические функции EXCEL для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ, осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов
x(x0, x1, …, xn) и y (y0,y1, …, yn) методом наименьших квадратов.
Функция ТЕНДЕНЦИЯ имеет структуру:
ТЕНДЕНЦИЯ (y массив, x массив, x список)
yмассив, xмассив — даны изусловия.
xсписок — это те значения x, для которых требуется сосчитать значения функции f(x).
Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ имеет структуру:
ПРЕДСКАЗАНИЕ( x; y массив; x массив)
Послеаппроксимации эта функция возвращает только одно прогнозируемоезначение y (для одного из заданных значений аргументов.
Работа с функцией ТЕНДЕНЦИЯ.
Шаг первый:
Создадимэлектронную таблицу в EXCEL, используя исходные данные.
Шаг второй:
Длятого, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим этиячейки.
Шаг третий:
Далеенеобходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций.
Шагчетвертый:
а) В первом окне выберем категорию Статистические, функцию ТЕНДЕНЦИЯ,
затем щелкнем по OK.
б)В окне “Известные значения y” введем адрес блока ячеек C3:L3.
в)В окне “Известные значения x” введемадрес блока ячеек C2:L2.
г) В окне “Новые значенияx” укажем адрес блокаячеек C5:F5.
Шаг пятый:
Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.
Врежиме формул: в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)
вячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)
вячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)
вячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)
Врежиме значений: в ячейке C6 — 0,8610
в ячейке D6 — 0,7951
в ячейке E6 — 0,6576
в ячейке F6 — 0,5635
Таблицы прилагаются.
Режим формул — “Приложение3”. Режим значений “Приложение 4”.
Работас функцией ПРЕДСКАЗАНИЕ.
Шаг первый:
Создадим электронную таблицу в EXCEL, используя исходные данные.
Шаг второй:
Дляразмещения результата активизируем ячейку С6.
Шаг третий:
а)При помощи Мастера функций вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,
категория Статистические.
б) В окне “x” укажем адресячейки C6.
в) В окне “Известные значения y” укажем адрес блока ячеек C3:L3.
г) В окне “Известныезначения x” укажем адрес блока ячеек C2:L2.
Шаг четвертый:
Дляподтверждения этой функции щелкнем по OK. В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то жесамое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.
Врезультате мы увидим:
В режиме формул:
вячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)
вячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)
вячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)
вячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)
В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8506
в ячейке D6 — 0,7877
в ячейке E6 — 0,6564
в ячейке F6 — 0,5665
Таблицыприлагаются. Режим формул — “Приложение 5”. Режимзначений — “Приложение 6”.
Итоговая сравнительная таблица.
Длясравнения значений функции в точках:
x 1 =0,149;
x 2=0,240;
x 3=0,430;
x 4 =0,560;
полученных при помощи трех разных способов:
1 полиномаНьютона,
2 функции ТЕНДЕНЦИЯ,
3 функцииПРЕДСКАЗАНИЕ;
создадимсравнительную таблицу,
x
Значение полинома
Ньютона
Прогнозирование значения функции при помощи функций:
ТЕНДЕНЦИЯ
ПРЕДСКАЗАНИЕ
0,149 0,861
0,86* 0,861
0,86* 0,8506
0,85*
0,240 0,787
0,79* 0,795
0,80* 0,7877
0,79*
0,430 0,651
0,65* 0,658
0,66* 0,6564
0,66*
0,560 0,573
0,57* 0,564
0,56* 0,5665
0,57* /> /> /> /> /> /> /> /> />
*Результаты вычислений округлены додвух знаков после запятой.
Вывод:значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами.Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительнуютаблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако вцелом, отклонения в значениях в пределах 0,01, что вполне допустимо для нашихданных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определеннойточке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широкимспектром узлов.
Задача 2.
Решение систем уравнений в EXCEL.
Решитьзаданную систему уравнений:
1) методом обратной матрицы;
2) методом простых итераций.
0,1 x1 + 4,6 x2 + 7,8 x3= 9,8
2,8 x1 + 6,1 x2 + 2,8 x3= 6,7
4,5 x1 + 5,7 x2 + 1,2 x3= 5,8
Цельработы:научиться решать в EXCELсистемы конечныхуравнений методом обратной матрицы и простых итераций.
Основные понятия.
Уравнение — это математическая запись задачи о разысканиизначений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, откоторых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, прикоторых значения функций равны, называются решениями (корнями).
Матрица — это прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной.
Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставитьквадратной матрице А.
Минором некоторого элемента аij определителя n-го порядканазывается определитель n первого порядка, полученный из исходного путемвычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранныйэлемент.
Алгебраическим дополнением элемента аij определителяназывается его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, исо знаком “-“, если эта сумма нечетная.
Итерация — это повторное применение каких-либо математическихопераций. Происходитот латинского “iteratio” , что в переводе значит “повторение”.
Решение.
1).Математический расчетрешения системы уравненийметодом обратной матрицы.
Данасистема трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
а). Рассмотрим матрицы:
— матрицасистемы (составлена из коэффициентов при неизвестных):
0,1 4,6 7,8
А = 2,8 6,1 2,8
4,5 5,7 1,2
— матрицанеизвестных:
x1
X = x2
x3
—матрица свободных членов:
9,8
B = 6,7
5,8
б). Найдем детерминант (определитель)матрицы А.
По определению: det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 ,
где a11, a12, a13 — элементыпервой строки матрицы A,
A11, A12, A13 — их алгебраическиедополнения.
- если detA = 0, то обратной матрицы не существует;
- если detA ≠ 0, то обратная матрица существует.
Длятого, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраическиедополнения.
Поопределению: Aik = (-1)i+k · Mik ,
где i - номер строки матрицы,
k - номер столбца матрицы,
M - минор.
- если сумма i+k четная, то Aik = 1 · Mik
A11= 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = — 8,64
A12= 2,8 ·1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24
A13= 2,8 · 5,7 — 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49
Теперьмы можем сосчитать детерминант.
detA= 0,1 · (-8,64)+ 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = — 47,982
detA ≠ 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.
в). Найдем обратнуюматрицу А-1.
По определению:
A11 A21 A31
A-1 = A12 A22 A32 · 1/ detA ,
A13 A23 A33
где А11, …, А33 - алгебраическиедополнения матрицы А.
Длянахождения обратной матрицы А-1, сначала сосчитаемвсе алгебраические дополнения матрицы А:
A21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94
5,7 1,2
A22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = — 34,98
4,5 1,2
A23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13
4,5 5,7
A31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = — 34,7
6,1 2,8
A32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 — 21,84 = + 21,56
2,8 2,8
A33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = — 12,24
2,8 6,1
Теперьмы можем сосчитать обратную матрицу А-1, подставив вформулу полученные данные:
1/detA = 1 / — 47,982 = — 0,0208411
— 8,64 38,94 — 34,7 0,1800675 — 0,8115543 0,72318786 A-1 = — 0,0208411 · 9,24 — 34,98 21,56 = — 0,1925722 0,7290234 0,44933516
— 11,49 20,13 — 12,27 0,2394647 — 0,4195323 0,25572089
Чтобыузнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделатьпроверку. Если выполняется равенство:
A-1· A = E, где E - единичная матрица, то обратная матрицанайдена верно.
0,1800675 — 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8
A-1· A = - 0,1925722 0,7290234 — 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8
0,2394647 — 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2
Произведемпромежуточные вычисления:
С11= 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1
C12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) ·6,1 + 0,7231879 · 5,7 =
C13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) ·2,8 + 0,7231879 · 1,2 =
C21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 ·2,8 + (-0,4493352) · 4,5 =
C22= (-0,1925722) ·4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1
C23= (-0,1925722) ·7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 =
C31= 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 =
C32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) ·6,1 + 0,2557209 · 5,7 =
С33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) ·2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1
1 0 0
A-1· A = 0 1 0 = E
0 0 1
Обратнуюматрицу нашли верно.
г). Найдем матрицуX (матрицу неизвестных).
Поопределению: X = A-1 · B ,
где B— исходная матрица B (матрица свободных членов).
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737
X = -0,1925722 0,7290234 — 0,4493352 · 6,7 = 0,391105
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069
МатрицуX нашли,соответственно корни уравнений:
x1 = 0,521737
x2 = 0,391105
x3 = 1,019069
д).Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:
0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 +7,9487382 = 9,7999949 = 9,8
2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 +2,8533932 = 6,6999742 = 6,7
4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 +1,2229152 = 5,8000252 = 5,8
Системауравнений методом обратнойматрицы решена верно.
1.1).Составлениепрограммы для решения системы уравнений методом обратной матрицыв EXCEL.
Шаг первый:
Длярешения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходнымиданными:
а). Введем текстовыеи числовые константы (ячейки A1:E10).
Шаг второй:
Необходимообратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицыфункция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целыйстолбец ячеек.
а).Выделим ячейки А11: С13, куда будет помещена обратнаяматрица.
б). При помощи Мастера функцийвызовем функцию МОБР, категория Математические.
в). В окне “Массив” укажемадрес массива исходной матрицы A6:C8.
г). Для того, чтобы вставить формулу вовсе выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.
Вячейках A11:C13 появится:
— врежиме формул — =МОБР(А6:C8);
— врежиме значений — массив обратной матрицы.
Шаг третий:
Дляумножения обратной матрицы на столбец свободных членов:
а). Выделим ячейки E11:E13.
б). При помощи Мастера функцийвыберем функцию МУМНОЖ, категория Математические.
в). В окно “Массив 1” введемадрес массива обратной матрицы A11:C13.
г). В окно “Массив 2”введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.
д). Для вставки Формулы во всевыделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.
Вячейках E11:E13 появится:
— врежиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8) ;
— врежиме значений — компоненты векторов решения x1, x2, x3 .
Таблицыприлагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”.
1.2).Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.
Длянаглядности создадим сравнительную таблицу:
Математический расчет методом обратной матрицы
Обращение матрицы в EXCEL
x1
0,521737
0,521737318
x2
0,391105
0,391104998
x3
1,019069
1,019069651
1.3).Вывод.
Сначалапредложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы. Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решитьсистему уравнений путем обращения матрицы.
Длянаглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.
Изтаблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения взначениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми длянашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполненииматематических расчетов значения округлялись.
Такимобразом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются болееточные.
2)Решение заданнойсистемы уравнений методом простых итераций.
Длятого, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простыхитераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 былимаксимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимостиитерационного процесса.
Заданнаянам система имеет вид:
0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8
2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7
4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8
a) Достаточно хорошо видно, что дляпреобразования нам достаточно только поменять местами первое и третьеуравнения. Получится система вида:
4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8
2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7
0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8
б) Для решения системыуравнений методом простых итераций необходимо представить полученную системууравнений в итерационной форме, записав каждое из трех уравненийв виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеетнаибольший по модулю коэффициент.
4,5x1+ 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8
x1 = - 5,7x2 /4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7
x2 = - 2,8x1/ 6,1 - 2,8x3/ 6,1 + 6,7 / 6,1
0,1x1+ 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8
x3 = - 0,1x1/7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
В итерационнойформе получили систему:
x1 = - 5,7x2/ 4,5 - 1,2x3/ 4,5 + 5,8 / 4,5
x2 = - 2,8x1/ 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x3 = - 0,1x1 /7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
в) Проверка выполнения первогоусловия сходимости метода для данной системы.
Прииспользовании итерационного метода решения необходимо обязательнопроверить два условия сходимости метода для данной системы. Первоеусловие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1, x2 , x3 в полученной системе являются максимальными по модулю).
г) Проверка выполнения второгоусловия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).
Теперьнеобходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║C║),т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы,которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесссходится только в том случае, если норма матрицы [ С ] меньшеединицы, т.е.
║C║=√Σaaj2
Витерационной форме имеем систему:
x1 = - 5,7x2/4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
x2 = - 2,8x1 /6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x3 = - 0,1x1/ 7,8 - 4,6x2/ 7,8 + 9,8 / 7,8
или
x1 = 0 - 5,7x2/ 4,5 - 1,2x3/ 4,5 + 1,288889
x2 = 2,8x1/ 7,8 - 0 - 2,8x3 / 6,1 + 1,0983607
x3 = 0,1x1/ 7,8 - 4,6x2 / 7,8 - 0 + 1,2564103
Проверкавыполнения второго условия “НОРМА” :
0 — 5,7 / 4,5 — 1,2 / 4,5
[C]= — 2,8 / 6,1 0 — 2,8 / 6,1
- 0,1 / 7,8 — 4,6 / 7,8 0
║C║= √ У aij2
║C║= √ (-5,7 / 4,5)2 + (-1,2 / 4,5)2 + (-2,8 / 6,1 )2+ (-2,8 / 6,1)2 + (-0,1 / 7,8)2 + (-4,6 / 7,8)2
║C║=√ (-1,2666667)2 +(-0,2666667)2 +(-0,4590164)2+(-0,4590164)2 +(-0,0128205)2 +(-0,5897436)2
║C║=√ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) +(0,3477975)
║C║=√ 2,4449144
║C║= 1,5636222 > 1
Такимобразом, условие “НОРМА” не выполнено.
Вывод: так каквторое условиесходимости итерационного процесса не выполнено, то решение даннойсистемы уравнений не может быть получено методом простых итераций.
Задача 3.
Комплексные числа.
Даныдва комплексных числа, записанные в показательной форме.
z1= 3e -(р/4) i
z2= е (р/4) i
1).Записать эти числа в тригонометрической форме;
2).Найти сумму z1 + z2 и произведение z1 · z2 , переведя их в алгебраическуюформу записи;
3).Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты.
Основные понятия.
Комплексным числом называется выражение вида
z = x + iy , где
“x” и “y” — действительные числа,
“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i2 = -1.
Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемойЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.
Решение.
1). Тригонометрическая формазаписи.
Положениеточки z на комплексной плоскости однозначно определяется нетолько декартовыми координатами x , y , но иполярными координатами r, ц. Воспользовавшисьсвязью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записикомплексного числа
z = r cos ц+ i r sin ц= r ( cos ц + i sin ц ),
где cos ц + sin ц = eiц=> ц = р/4
Приэтом r называют модулем, а ц - аргументомкомплексного числа.
1.1) z1 = 3 · (cos р/4 isin р/4) = 3√2/2 i 3√2/2
1.2) z2 = r · eiц = r (cos р/4 + i sin р/4) = √2/2 + i √2/2
2). Алгебраическая форма записи:
2.1) Сумма.
Если z1 = x1 + iy1 , а z2= x2 + iy2 , то
z1 + z2= (x1 + iy1) + (x2 + iy2) =(x1 +x2) + i (y1 + y2)
z1 + z2 = (3√2/2 +√2/2) + i (3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 i2√2/2= = 2√2 — i√2
2.2) Произведение.
Если z1 = x1 + iy1 , а z2 =x2 + iy2 , то
z1 · z2 = (x1 + iy1)· (x2 + iy2) = (x1x2 y1y2) + i (x1y2 + x2y1)
z1·z2 =(3√2/2 ·√2/2+ 3√2/2 · √2/2)+ i(3√2/2 · √2/2- √2/2 · 3√2/2 )=
=3· 2/4 + 3 · 2/4 + i · 0 = 3
3).Изображениена комплексной плоскости операнд и результатов.
Дляупрощения преобразуем значения x и y изпростых дробей в десятичные.
x1 = 3√2/2= 2,1 y1 = — 3√2/2 = -2,1
x2 = √2/2= 0,7 y2 = √2/2 = 0,7
x3 = 2√2 = 2,8 y3 = -√2 = -1,4
x4 = 3 y4 = 0
y
0,7 Z2
0,7 2,1 2,8
Z4
3 x
— 1,4 Z3
— 2,1 Z1
Операнды — Z1 и Z2
Результаты — Z1 + Z2 = Z3
Z1 · Z2 = Z4