МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ “ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.Ф.СКОРИНЫ”
Математический факультет
Кафедра ВМ и программирования
Курсовой проект
Суперэлементное моделирование пространственной системы “плита — грунтовое основание ”
Исполнитель
студент группы ПМ-44 Рыжик И.А.
Научный руководитель Цурганова Л.А.
к. т. н.
ГОМЕЛЬ 2001
Содержание
Введение
1. Системы и методы их исследования. Системный подход
1.1 Основные положения общей теории систем
1.2 Классификация систем
1.3 Структура системы
1.4 Системный подход.
1.5 Методы исследования систем
2. Основные понятия теории упругости
2.1 Напряжения
2.2 Деформации
3. Основная концепция метода конечных элементов
4. Характеристики тетраэдрального элемента
4.1 Функции перемещений
4.2 Матрица деформации
4.3 Матрица упругости
4.4 Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок
5. Математическая и дискретная модели
5.1 Математическая модель
5.2 Дискретная модель
6 Алгоритмы построения и решения дискретной модели
7. Описание и инструкция работы сприложением
8. Верификация приложения
Заключение
Список использованных источников
Приложение
Введение
В гражданском и промышленном строительстве все чаще подзастройку идут территории, содержащие неоднородный грунт. В связи с этимактуальна задача расчета осадок плиты с учетом неоднородности грунтовогооснования. Цель таких расчетов выявить ослабленные места в грунтовом основаниина этапе проектирования и предложить дополнительные мероприятия по подготовкетерритории под строительство или изменить форму фундамента.
В настоящей работе рассматривается плита на неоднородномлинейно-деформируемом основании. Нагрузка на плиту берется вертикальная,равномерно распределенная. Моделируется расчет осадок фундаментной плиты сучетом сложной структуры неоднородного основания.
Математическая модель системы “плита — грунтовое основание"представляет собой третью краевую задачу математической физики. Она описываетусловия равновесия системы. Равновесие систем механики твердого деформируемоготела может быть описано уравнениями равновесия в напряжениях, перемещениях либокаким-то вариационным принципом, например принципом минимума полной энергиисистемы.
Т.к. МКЭ эффективен лишь сравнительно для небольших систем,то для решения математической модели применяется метод суперэлементов. Методсуперэлементов основывается на той же теоретической базе, что и МКЭ, толькопредварительно ещё используется метод декомпозиции, т.е. вся расчётная областьразбивается на отдельные макроэлементы, называемые суперэлементами.
Суперэлементное моделирование системы “плита — грунтовоеоснование" включает в себя построение и решение дискретной модели.Построение реализуется алгоритмами построения матрицы жесткости, заданиемвектора нагрузок и граничных условий для отдельного суперэлемента.
В разработанных алгоритмах учитываются особенности матрицжесткости отдельного суперэлемента и неоднородность грунтового основаниясистемы.
Для удобства пользователя спроектирован интерфейс выводаисходных данных: размеров нерегулярной решетки, выбор характеристик конечныхэлементов по слоям XOZ (для каждого суперэлемента), интерфейсвывода результатов в табличной форме.
Приложение моделирования расчета осадок плиты реализуется винтегрированной среде программирования Borland Delphi 5.0.
1. Системы и методы их исследования. Системныйподход
1.1 Основные положения общей теории систем
Под системой понимают конечную совокупностьэлементов, связей между ними и между их свойствами, действующими как целостноеобразование для достижения единой цели. Элементомназываютнекоторый объект (биологический, информационный, энергетический материал),обладающий рядом определенных свойств, но внутреннее строение (содержание)которого безотносительно к цели рассмотрения. Элементы будем обозначать через M, их совокупность через {M}.Связью называется важный для рассмотрения обмен между элементами (веществом,энергией, информацией и т.п.), т.е. фактор, связывающий элементы и их свойствав целое. Единичным фактом связи выступает воздействие />/>, где i,j — индексы взаимодействующих элементов />, />. Связи позволяют посвойствам перехода по ним от элемента к элементу соединить два элементасовокупности. Свойства есть качества параметров объектов. Онимогут изменяться в результате действия системы. Свойства дают возможностьописывать объекты системы количественно. Любая система характеризуется двумяпризнаками: связанностью (наличием связи между элементами); функциализацией (свойствасистемы отличаются от свойств отдельных элементов). Применяя ”картежные”определения системы, символически систему можно записать в следующем виде:
/> {{M}, {X}, F} (1), где /> -система,
{M} — совокупность элементов, {X} — совокупность связей,
F — функция системы.
Запись типа (1) является наиболее простой и достаточнополной.
1.2 Классификация систем
Системы подразделяются на простые, большие и сложные.
Простая система-это система, состоящая изнебольшого количества однотипных элементов и однотипных связей.
Большая системаотличается от простойсистемы только количеством элементов.
Сложная система-это система, состоящаяиз элементов разных типов и обладающая разнородными связями.
Системы также подразделяются на естественные иискусственные, физические и абстрактные.
1.3 Структура системы
Система может иметь структурное представление, т.е. можетбыть расчленена на группы элементов с указанием связи между ними. Такоерасчленение называется декомпозицией. Декомпозиция на время изучениясохраняется неизменной. Группы элементов называются модулями системы.Они образуются по принципу общих свойств, а также по характеру связей междуними и по другим признакам. Символически структура может быть записана вследующем виде:
/>/>: {{M},{X}}/> (2), где />/> - система,
{M}-совокупностьмодулей, {X}-совокупность связей.
1.4 Системный подход.
Известно, что свойства системы, как сложного объекта, необнаруживаются в свойствах её отдельных подсистем. Это значит, что традиционныйметод изучения целого путём анализа его частей и последующего объединения (суперпозиции)их свойств непригоден для больших и сложных систем. Решением проблемыстановится системный подход, суть которого состоит во взаимосвязанномрассмотрении всех элементов (подсистем) системы. При системном подходе системарассматривается не изолированно, а как подсистема более общей системы (системыболее высокого ранга). Основным при системном подходе является определениецели, например, определение способов достижения равновесия деформируемойсистемы; снижение материалоёмкости конструктивных элементов механизмов и т.п.Для каждой цели должен быть выбран свой надёжный критерий эффективности.Например, для информационных систем это может быть оперативность информации, еёполнота, надёжность и прогнозируемость развития процессов, входящих в областьинтересов системы.
Системный подход при исследовании различных систем, явлений,объектов позволяет с единых позиций строить общую методологию исследованияуказанных систем и процессов независимо от их природы. Эта методология, как илюбая другая, содержит определенные этапы.
Этап 1. Определение системы.
а) Определение исследуемой функции системы.
б) Определение области существования системы вместе с ееграницей.
в) Определение краевых условий.
г) Декомпозиция системы вплоть до простых элементов.
д) Определение свойств элементов и модулей системы
е) Нахождение связей между элементами и модулями исходнойсистемы.
Этап 2. Построение математической модели.
а) Формальное описание исследуемой функции.
б) Разработка дискретной модели системы.
в) Разработка алгоритмической модели.
г) Проверка адекватности математической модели системы.
Этап 3. Исследование поведения системы при различных входныхвоздействиях.
1.5 Методы исследования систем
В настоящее время существует несколько методов исследованиясистем.
Микроподход.
Суть этого метода сводится к исследованию отдельныхэлементов системы. Выбор этих элементов не однозначен и определяется задачейисследования или системой. При использовании микро подхода изучается структуракаждого из выделенных элементов системы, их функции, совокупность и диапазонвозможных изменений параметров, после чего делается попытка понять процессфункционирования системы в целом.
Задачи микроподхода заключаются в следующем:
выявление элементов исследуемой системы;
изучение структуры выделенных элементов;
раскрытие функций каждого из элементов;
выявление связей между элементами.
Макроподход.
При этом методе система рассматривается как “черный ящик”,внутреннее строение которого неизвестно. Такая ситуация может быть, например,при изучении недоступных управляющих систем или исследование систем, структуракоторых изучена недостаточно. В процессе макро подхода исследователь,воздействуя различным образом на вход системы, анализирует ее реакцию насоответствующие входные воздействия. Имея обширную статистическую информациювследствие ее анализа делается вывод о структуре системы и принципов еефункционирования.
Физическое моделирование.
Это моделирование осуществляется путем воспроизведенияисследуемого процесса на модели, имеющий в общем случае отличную от оригиналаприроду, но одинаковое математическое описание процесса функционирования. Приэтом физические процессы, протекающие в модели и оригинале, являются подобными.Физическое моделирование позволяет провести исследование процессов и систем,непосредственный анализ которых затруднен или не возможен. Использованиефизической модели позволяет определить влияние различных параметров напротекание изучаемых процессов, уточнить структуру системы и понять принцип еефункционирования.
Математическое моделирование.
Математическая модель концентрирует в себе описанную в формематематических соотношений совокупность наших знаний, представлений и гипотез осоответствующих объектах или знаниях.
Т. к. знания никогда не бывают абсолютными, а в гипотезахиногда намеренно не учитываются некоторые эффекты, то модель лишь приближенноописывает поведение реальной системы.
Основное назначение модели — это возможность сделатьнекоторые выводы о поведении реальной системы. Наблюдения над реальной системой(натурные эксперименты) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверкитой или иной гипотезы, той или иной модели, т.к они представляют собой источникинформации ограниченного объема о прошлом этой системы.
Модель допускает значительно более широкие исследования,результаты которых дают нам информацию для прогнозирования поведения системы.Чтобы обеспечить эти и другие возможности приходится решать проблемусоотношения (адекватности) модели и системы, т.е. необходимо проводитьдополнительные исследования согласованности результатов моделирования среальными результатами. Создавая модель, исследователь познает систему, т.е.выделяет ее как объект изучения из окружающей среды и строит ее формальноеописание в соответствии с поставленными целями, задачами и имеющимися возможностями.
В дальнейшем, анализируется система через поведение еемодели, в том числе делается, и прогнозирование ее функции во времени.Математические модели строят на основе законов и закономерностей, выявленныхфундаментальными науками. Для всякой модели необходимо построить моделирующийалгоритм.
В целом можно сказать, что процесс моделирования сводится ктрем объектам:
система (реальная, проектируемая, воображаемая);
математическая модель системы;
алгоритмическая модель системы.
В соответствии с этим возникают следующие задачи:
определение (формирование) системы исследования;
построение математической модели системы;
разработка алгоритм решения модели.
2. Основные понятия теории упругости
2.1 Напряжения/> />
Будем рассматривать следующий случай: возьмем призматический стержень, которыйрастягивается под действием сил, равномерно распределённых по его концевымсечениям, внутренние силы распределены равномерно по поперечному сечениюстержня АВ, напряжения можно найти, разделив полное значение растягивающей силыР на площадь поперечного сечения F.
В общем случае напряжения по сечению распределенынеравномерно, чтобы определить значение напряжения в некоторой точке этойплоскости, возьмём элементарную площадку δF в окрестности данной точки и предположим, что силы,возникающие на этой площадке, сводятся к равнодействующей δP. Если теперь равномерно стянуть элементарную площадкуδF, то в пределе получится отношение δP/δF, которое определит величинунапряжения, возникающего на плоскости АВ в некоторой точке. Направление этогонапряжения будет совпадать с направлением равнодействующей δP. В общем случае напряжение направлено под некоторым углом кплощадке δF, на которой оно действует, и обычнораскладывается на две составляющие: нормальное напряжение, перпендикулярное кплощадке δF, и касательное напряжение, действующеев плоскости площадки.
2.2 Деформации
При рассмотрении деформации в упругом теле предполагается,что
Существуют ограничения, препятствующие перемещению его какжёсткого тела. Таким образом, какое-либо перемещение частиц тела можетпроисходить лишь за счёт его деформации. Малые перемещения частиц придеформировании тела разложим по составляющим u, v, параллельные соответствующим осям координат x, y. Можно предположить, что этималые величины непрерывно изменяются по всей площади тела.
Рассмотрим бесконечно малый элемент dxdyвблизи точки О тела.
Можно показать, что относительное удлинение по направлениюоси y задается производной.
Рассмотрим теперь изменение угла между отрезками ОА и ОВ,которые до деформирования тела были взаимно перпендикулярны. Если u и v — перемещения точки О внаправлениях осей x и y, топеремещения точки А в направлении оси у и точки В в направлении оси х будутсоответственно равны. Поэтому первоначально прямой угол АОВ между отрезками ОАи ОВ уменьшается на величину, которая представляет собой деформацию сдвигамежду осями х и у.
3. Основная концепция метода конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ) основан на идее аппроксимациинепрерывной функции (температуры, давления, перемещений и т.п.) дискретноймоделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций,определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. Вкачестве функции элемента, чаще всего, принимается полином. Порядок полиномаопределяется числом используемых в каждом узле элемента данных о непрерывнойфункции. В общем случае форма конечного элемента может быть произвольной, нодля удобства математических выкладок их принимают правильной геометрическойформы. Конечные элементы могут быть линейные и криволинейные, одномерные,двумерные и трехмерные. Количество узлов конечного элемента может быть равноили больше количества вершин. В зависимости от этого качества можно проводитьклассификацию конечных элементов. Выделяют следующие три группы: симплекс-,комплекс — и мультиплекс-элементы.
Симплекс элементам соответствуют полиномы, содержащиеконстанту и линейные члены:
/>;
Здесь коэффициентов столько сколько узлов.
Комплекс-элементам соответствуют полиномиальные функции,содержащие константу и члены первого и более высоких порядков. Форма комплексэлемента может быть такой же как и у симплекс-элемента, но комплекс элементыимеют количество узлов больше количества вершин.
Интерполяционный полином для двумерного треугольногокомплекс элемента имеет вид:
/>
Это соотношение содержит шесть коэффициентов, поэтомурассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.
Мультиплекс-элементы отличаются от комплекс-элемента тем,что его границы должны быть параллельны координатным осям, что необходимо длядостижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому.
Границы и поверхности конечного элемента геометрически могутбыть нелинейными все или только их часть. Возможность моделирования криволинейныхграниц достигается добавлением узлов в середину сторон (плоскостей) конечногоэлемента.
4. Характеристики тетраэдрального элемента
4.1 Функции перемещений
На фигуре 1 изображен тетраэдральный элемент ijpm в системе координат x,y, z.
/>
Перемещение любой точки определяется тремя компонентами u, v, w внаправлениях координат x, y, z. Таким образом, вектор перемещений имеет вид
/>. (1)
Если для задания линейного закона изменения какой-либовеличины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то втрехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения. По аналогии спредставлением (4.3) можно записать, например,
/>. (2)
Приравнивая эти выражения перемещением узловых точек,получаем четыре уравнения типа
/> и т.д.(3)
из которых определяются коэффициенты />.
Запишем теперь соотношение (2) в следующей форме, сиспользованием определителя
/> (4),где
/> (5а)
Величина V в данном случаепредставляет собой объем тетраэдра. Коэффициентами /> обозначены определители
/> (5б)
Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкойиндексов i, j, p, m.
Как видно из фигуры 1, узлы i, j, p, mпронумерованы в соответствии с правилом правой руки, причем первые три узлапронумерованы по часовой стрелке, если смотреть со стороны последнего узла.
Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентамиперемещений его узлов:
/> (6) где
/> и т.д.
Перемещение произвольной точки можно записать в виде
/> (7)
где скалярные величины определяются соотношениями
/>и т.д.
А I — единичная матрица размерности 3*3.
Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворятьтребованиям непрерывности на границах между элементами. Этот результат являетсяпрямым следствием линейного закона изменения перемещений.
4.2 Матрица деформации
В трехмерном случае учитываются все шесть компонентдеформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицудеформаций в виде
/> (9)
С помощью соотношений (4) — (7) легко убедиться, что
/> (10) где
/>. (11)
Остальные подматрицы получаются простой перестановкойиндексов.
Начальные деформации, такие, как обусловленные тепловымрасширением, можно записать обычным образом в виде шестикомпонентного вектора,имеющего, например, для изотропного теплового расширения простой вид:
/> (12)
где/> - коэффициент линейного расширения, а /> — средняя по элементутемпература.4.3 Матрица упругости
В случае материала с изотропией свойств матрица [D], связывающая шесть компонент напряжения с компонентамидеформации, может содержать не более чем 21 независимую постоянную.
В общем случае
/>. (13)
Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде,запишем здесь матрицу [D] только для изотропногоматериала, хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной анизотропии. Прииспользовании обычных упругих постоянных: модуля упругости Е и коэффициентаПуассона v — матрица имеет вид
/> (14)
4.4 Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок
Выражение для матрицы жесткости, определяемой в общем случаесоотношением />, можнопроинтегрировать точно, так как компоненты деформации и напряжения постояннывнутри элемента.
Подматрица с индексами rs матрицыжесткости имеет размерность 3*3 и определяется соотношением
/>, (15)
где V — объем тетраэдра.
Узловые силы, обусловленные начальной деформацией,записываются в виде
/>, (16) илидля i-ой компоненты
/>.
5. Математическая и дискретная модели
5.1 Математическая модель
Математическая модель системы включает геометрическую,структурную, механико-математическую модели, краевые условия и условияравновесия системы.
Геометрическая модель представляет собой параллелепипед,размеры которого определяются нулевыми перемещениями на его ребрах.
Механико-математическая модель системы “плита-основание”:для основания si=Eiei, для плиты si=E’ei, E’>>Ei,где E’, Ei -модули упругости основания и плиты, si, ei -интенсивности напряжений и деформаций.
Краевые условия области определения системы “плита-основание":перемещения на всех ребрах, кроме верхнего равны нулю, на верхнем ребре областиопределения на поверхности плиты задается внешняя нагрузка.
5.2 Дискретная модель
Процесс дискретизации разделяется на 2 этапа:
Разбиение области на подобласти. Подобласти характеризуютсястационарностью определяющих характеристик: свойства материала, прилагаемаянагрузка.
Разбиение подобластей на конечные элементы. Подобластиразбиваются на симплекс-элементы.
Дискретизация производится элементами малых размеров.Деформация и напряжение в любом конечном элементе выражаются через перемещенияпо известным формулам. В узлах элементов вводятся силы, статистическиэквивалентные напряжениям на границе соответствующего элемента и внешним силам,приложенным к нему.
Разбивка на элементы производится так, что в пределах одногоэлемента участок среды рассматривается как однородный. Любой другой элемент,оставаясь однородным, может характеризоваться свойствами, отличными от соседнихэлементов. Таким образом, система в целом представляет неоднородную среду.
Применение МКЭ для решения системы “плита-основание”приводит к системе линейных алгебраических уравнений с ленточной симметричнойматрицей. Ширина ее полуленты зависит от порядка нумерации узлов и определяетсяпо формуле: B= (R+1) Q, где R — максимальная разность разностейномеров узлов конечных элементов, Q — число неизвестных(степеней свободы) в каждом узле.
6. Алгоритмы построения и решения дискретной модели
Первый этап алгоритма построения дискретной моделипредставляет определение расчетной области. Расчетная область представляетсяправильной геометрической фигурой, размеры которой определяются нулевымиперемещениями на всех ребрах, кроме верхнего. В нашем случае- параллелепипед.
Второй этап- дискретизация расчетной области, учитывающаяособенности структуры грунтового основания. В результате строится нерегулярнаярешетка с массивами шагов по координатным осям. Каждый параллелепипеддискретной решетки делится на шесть тетраэдральных элементов.
Для каждого конечного элемента (тетраэдра) необходимо задатьхарактеристики: модуль упругости, коэффициент Пуассона.
Третий этап — задание краевых условий. Граничные условиярасчетной области определяются системой внешних сил и выбором размероврасчетной области (этап 1). Система внешних сил задается в виде векторанагрузок, определенного для всех узлов расчетной области. С каждым узломсвязано три значения нагрузки: одно по направлению оси OX,второе по направлению оси OY, третье по направлению осиOZ. Вектор нагрузок задается на верхнем ребре. На всехостальных обычно задаются нулевые перемещения. Четвертый этап — формированиематрицы жесткости. Построение матрицы жесткости производится с учетом ееособенностей: симметричности, ленточности. Матрица жесткости (МЖ) размещается вОП упакованной в прямоугольник, т.е. хранится верхняя полулента. Для построенияМЖ используется аналитический алгоритм построения [1].
Согласно которому матрица жесткости имеет вид:
/>где
/>
где i — номер узла, связанного с узлами j; j=1,2,3,4; />
Пятый этап — учет граничных условий в МЖ. Используетсявектор усилий и вектор корректировки, с помощью которого описываются задаваемыеграничные значения перемещений. Учёт граничных условий приводит к изменениюматрицы жёсткости [K] и векторов узловых сил иперемещений. Матрица [K] уже не будетсингулярной.
Шестой этап — решение системы линейных алгебраическихуравнений. На этом этапе используется метод квадратного корня, учитывающийупаковку МЖ в прямоугольник.
Этот метод состоит в следующем:
Если матрица симметрическая, то её можно представитьследующим образом:
A=S*DS,
Где S — верхняя треугольная матрицас положительными элементами на главной диагонали; D — диагональная матрица, с элементами +1 или -1 на главной диагонали; S* — нижняя треугольная матрица. Коэффициенты /> и /> вычисляются по формулам:
i=j то, />;
/>;
i
/>;
В том случае, если матрица Aсамосопряжённая и положительно определённая, то матрицу Dможно опустить, так как она будет единичной. Метод осуществляется по следующейсхеме:
сначала решаем уравнение S*Y=B
затем уравнение SX=Y,находя решение системы.
Наша работа заключается в решении СЛАУ методом квадратногокорня, используя ленточную симметрическую матрицу, компактно упакованную.
Полуленточная матрица системы строиться следующим образом:
/>
В методе квадратного корня используется функция, с помощьюкоторой меняются оба индекса.
7. Описание и инструкция работы с приложением
Входными данными для приложения являются: количество узловпо осям, массивы узлов, модуль упругости и коэффициент Пуассона для каждогосимплекс-элемента, а также вектора узловых сил и пермещений.
Пользователю имеет возможность задавать характеристикикаждого отдельного симплекс-элемента (тетраэдра). Благодаря этому система“плита-грунтовое основание" может быть рассмотрена как неоднородная.
Ввод вектора узловых сил осущестляется путем ввода величинысилы узлу к которому она прилагается. Вектор перемещений сразу предполагаетперемещения по трем осям. Однако пользователь имеет возможность запретитьперемещения по какой-либо оси для каждого узла.
Выходными характеристиками приложения являются перемещениямив необходимых узлах. По анализу которых делается вывод об осадке плиты. 8. Верификация приложения
Рассмотрим следующий пример:
/>
Однородная плита располагается вертикально на жёсткомоснование. Усилие Р равномерно распределено по верхнему основанию плиты.Дискретизация пластины производится путём разбиения ее на конечные элементы (тетраэдры).Узлы и полученные конечные элементы нумеруются. Программное приложениерассчитывает значения перемещений в каждом узле модели.
При введении в качестве параметров модели тестового примераследующих величин: нагрузка на плиту Р = 100кг,
параметры плиты: модуль упругости Е = 360 кг/см2,коэффициент Пуассона m=0.2, h=100см, l =100см, приращения по Ox,Oy, Oz=50см.
Разрешены только вертикальные перемещения.
Полученный результат имеет вид:
вертикальные перемещения в узлах:
1.09651.03951.06241.0996
0.53560.53080.53420.5345
0.00000.00000.00000.0000
Заключение
В курсовой работе реализовано моделирование расчета осадокбольшеразмерной плиты на основании системного подхода и метода конечныхэлементов. Разработаны алгоритмы построения матрицы жесткости упакованной впрямоугольник, решения системы линейных алгебраических уравнений дляупакованной МЖ. Спроектирован удобный интерфейс ввода исходных данных и выводарезультатов. Создан программный продукт моделирования расчета осадок в среде Delphi 5.0.
Проведена верификация программного продукта на основезадачи, имеющей аналитическое решение. Она показала хорошее совпадениерезультатов с точностью примерно 90-95%.
Разработанное приложение может быть использовано дляпредварительных расчетов оснований фундаментов плит с учетом сложной структурыоснования в инженерной практике на этапе проектирования.
Список использованных источников
1. Быховцев В.Е. Компактный алгоритм построения матрицы жесткости в МКЭ. — ИзвестияАН БССР, серия физ. — матем. наук, №1, 1983, с.34-37.
2. Быховцев В.Е., Ермашов В.П., Богданова Т.Г. Влияние формы фундамента наего осадки. — Фундаменты на искусственных основаниях в условиях БелорусскойССР, сб. научных трудов, Минск: БелНИИС, 1986, с.47-55.
3. Винокуров Е.Ф. Расчёт оснований и фундаментов. — Минск: АН БССР, 1960. — 294 с.
4. Галлагер Р. Метод конечных элементов: основы. — М.: «Мир», 1984.- 428с.
5. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник. — 3-е изд. — Москва:Издательство МГУ, 1990. — 310 с.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Перев. с англ. — Москва:«Мир», 1975. — 544с.
7. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. — Москва: «Наука». Главнаяредакция физико-математической литературы, 1980. — 512 с.
8. Партон В.З. Перлин П.И. Методы математической теории упругости: Учебноепособие. — Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1981. — 688 с.
9. Сесков В.Е., Быховцев В.Е., Лях В.Н., Цурганова Л.А. Определение несущейспособности и осадки микросвайных фундаментов в выштампованных скважинахметодом вычислительного и физического экспериментов. — Основания и фундаменты,сб. н. трудов, Минск: НПТО «Белстройнаука», 1986, с.26-35.
10. Сивцова Е.П. Расчёт осадки одиночной сваи с учётом работы острия. — Сб.трудов НИИ оснований №53, М., 1963.
11. Цытович H.А. Механика грунтов. — Москва: Госстройиздат, 1963. — 636 с.Приложение
(основные функции, процедуры и алгоритмыприложения)
функции подсчета коэффициентов b,c, d используемыхдля формирования матрицы жесткости function det (a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33: integer): real;
begin
det:=a11*a22*a33-a11*a23*a32+a12*a23*a31-
a12*a21*a33+a13*a21*a32-a13*a22*a31;
end;
function formb (a,ntetr: integer): real;
begin
if a=cells [ntetr,1] then formb: =-det (1,kordy[ntetr,2],kordz [ntetr,2],1,kordy [ntetr,3],kordz [ntetr,3],1,kordy [ntetr,4],kordz[ntetr,4]);
if a=cells [ntetr,2] then formb: =det (1,kordy[ntetr,3],kordz [ntetr,3],1,kordy [ntetr,4],kordz [ntetr,4],1,kordy [ntetr,1],kordz[ntetr,1]);
if a=cells [ntetr,3] then formb: =-det (1,kordy[ntetr,4],kordz [ntetr,4],1,kordy [ntetr,1],kordz [ntetr,1],1,kordy [ntetr,2],kordz[ntetr,2]);
if a=cells [ntetr,4] then formb: =det (1,kordy[ntetr,1],kordz [ntetr,1],1,kordy [ntetr,2],kordz [ntetr,2],1,kordy [ntetr,3],kordz[ntetr,3]);
end;
function formc (a,ntetr: integer): real;
begin
if a=cells [ntetr,1] then formc: =det (1,kordx[ntetr,2],kordz [ntetr,2],1,kordx [ntetr,3],kordz [ntetr,3],1,kordx [ntetr,4],kordz[ntetr,4]);
if a=cells [ntetr,2] then formc: =-det (1,kordx[ntetr,3],kordz [ntetr,3],1,kordx [ntetr,4],kordz [ntetr,4],1,kordx [ntetr,1],kordz[ntetr,1]);
if a=cells [ntetr,3] then formc: =det (1,kordx[ntetr,4],kordz [ntetr,4],1,kordx [ntetr,1],kordz [ntetr,1],1,kordx [ntetr,2],kordz[ntetr,2]);
if a=cells [ntetr,4] then formc: =-det (1,kordx[ntetr,1],kordz [ntetr,1],1,kordx [ntetr,2],kordz [ntetr,2],1,kordx [ntetr,3],kordz[ntetr,3]);
end;
function formd (a,ntetr: integer): real;
begin
if a=cells [ntetr,1] then formd: =-det (1,kordx[ntetr,2],kordy [ntetr,2],1,kordx [ntetr,3],kordy [ntetr,3],1,kordx [ntetr,4],kordy[ntetr,4]);
if a=cells [ntetr,2] then formd: =det (1,kordx[ntetr,3],kordy [ntetr,3],1,kordx [ntetr,4],kordy [ntetr,4],1,kordx [ntetr,1],kordy[ntetr,1]);
if a=cells [ntetr,3] then formd: =-det (1,kordx[ntetr,4],kordy [ntetr,4],1,kordx [ntetr,1],kordy [ntetr,1],1,kordx [ntetr,2],kordy[ntetr,2]);
if a=cells [ntetr,4] then formd: =det (1,kordx[ntetr,1],kordy [ntetr,1],1,kordx [ntetr,2],kordy [ntetr,2],1,kordx [ntetr,3],kordy[ntetr,3]);
end;
процедураформированияматрицыжесткости
procedure formprmatr (a,b,k: integer);
var ro,G,lya,Mu,E,vv: extended;
begin
Mu: =0.2; E: =360;
G: =E/ (2* (1+Mu));
lya: = (2*Mu*G) / (1-2*Mu);
ro: =2*G+lya;
vv: =1/ (360*V [ (k div 7) +1]);
prmatr [3*a-2,3*b-3*a+1]: =prmatr[3*a-2,3*b-3*a+1] +vv* (formb (a,k) *formb (b,k) *ro+G* (formc (a,k) *formc (b,k)+formd (a,k) *formd (b,k)));
prmatr [3*a-2,3*b-3*a+2]: =prmatr[3*a-2,3*b-3*a+2] +vv* (formb (a,k) *formc (b,k) *lya+formc (a,k) *formb (b,k)*G);
prmatr [3*a-2,3*b-3*a+3]: =prmatr[3*a-2,3*b-3*a+3] +vv* (formb (a,k) *formd (b,k) *lya+formd (a,k) *formb (b,k)*G);
if (3*a-1
prmatr [3*a-1,3*b-3*a+1]: =prmatr[3*a-1,3*b-3*a+1] +vv* (formc (a,k) *formc (b,k) *ro+G* (formb (a,k) *formb (b,k)+formd (a,k) *formd (b,k)));
prmatr [3*a-1,3*b-3*a+2]: =prmatr[3*a-1,3*b-3*a+2] +vv* (formc (a,k) *formd (b,k) *lya+formd (a,k) *formc (b,k)*G);
if (3*a
if (3*a
prmatr [3*a,3*b-3*a+1]: =prmatr[3*a,3*b-3*a+1] +vv* (formd (a,k) *formd (b,k) *ro+G* (formc (a,k) *formc (b,k)+formb (a,k) *formb (b,k)));
end;
функция для получения необходимого элемента впрямоугольной матрице
function value (i: integer; j: integer):real;
begin
if (j=i+m) thenvalue: =0;
if (i>j) then value: =prmatr [j, i-j+1];
if (i
end;
функция для получения элементов прямоугольной матрицы сучетом ее сжатия
function value2 (i,j: integer): real;
var k,n1: integer;
begin
n1: =kx*ky*kz*3;
for k: =1 to n1 do
begin
if (P [k] =1) and (i>=k) then inc (i);
if (P [k] =1) and (j>=k) then inc (j);
end;
value2: =value (i,j);
end;
процедурасжатиясиловоговектора
procedure compressf (k: integer);
var i: integer;
begin
for i: =k to 3*kx*ky*kz do F [i]: =F[i+1] ;
inc (Count);
end;
функция, возвращающая значение сигнума от числа
function sign (f: real): shortint;
begin
if f=0 then sign: =0
else sign: =round (abs (f) /f);
end;
алгоритм занесения координат и номеров узлов тетраздров
point: =1;
kp: =ky*kz;
ntetr: =1;
x: =0;
for i: =1 to kx-1 do
begin
y: =0;
for j: =1 to ky-1 do
begin
z: =0;
for k: =1 to kz-1 do
begin
k1: =point+kp;
k2: =point+kz+1;
z: =z+hz [k] ;
cells [ntetr,1]: =k2; kordx [ntetr,1]:=x; kordy [ntetr,1]: =y+hy [j]; kordz [ntetr,1]: =z;
cells [ntetr,2]: =point; kordx [ntetr,2]:=x; kordy [ntetr,2]: =y; kordz [ntetr,2]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr,3]: =point+1; kordx[ntetr,3]: =x; kordy [ntetr,3]: =y; kordz [ntetr,3]: =z;
cells [ntetr,4]: =k1; kordx [ntetr,4]:=x+hx [i]; kordy [ntetr,4]: =y; kordz [ntetr,4]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+1,1]: =k2; kordx [ntetr+1,1]:=x; kordy [ntetr+1,1]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+1,1]: =z;
cells [ntetr+1,2]: =point+1; kordx[ntetr+1,2]: =x; kordy [ntetr+1,2]: =y; kordz [ntetr+1,2]: =z;
cells [ntetr+1,3]: =k1+1; kordx[ntetr+1,3]: =x+hx [i]; kordy [ntetr+1,3]: =y; kordz [ntetr+1,3]: =z;
cells [ntetr+1,4]: =k1; kordx [ntetr+1,4]:=x+hx [i]; kordy [ntetr+1,4]: =y; kordz [ntetr+1,4]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+2,1]: =k2; kordx [ntetr+2,1]:=x; kordy [ntetr+2,1]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+2,1]: =z;
cells [ntetr+2,2]: =k1+1; kordx[ntetr+2,2]: =x+hx [i]; kordy [ntetr+2,2]: =y; kordz [ntetr+2,2]: =z;
cells [ntetr+2,3]: =k1+kz+1; kordx [ntetr+2,3]:=x+hx [i]; kordy [ntetr+2,3]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+2,3]: =z;
cells [ntetr+2,4]: =k1; kordx [ntetr+2,4]:=x+hx [i]; kordy [ntetr+2,4]: =y; kordz [ntetr+2,4]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+3,1]: =k2; kordx [ntetr+3,1]:=x; kordy [ntetr+3,1]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+3,1]: =z;
cells [ntetr+3,2]: =k1+kz+1; kordx[ntetr+3,2]: =x+hx [i]; kordy [ntetr+3,2]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+3,2]: =z;
cells [ntetr+3,3]: =k1+kz; kordx[ntetr+3,3]: =x+hx [i]; kordy [ntetr+3,3]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+3,3]:=z-hz [k] ;
cells [ntetr+3,4]: =k1; kordx [ntetr+3,4]:=x+hx [i]; kordy [ntetr+3,4]: =y; kordz [ntetr+3,4]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+4,1]: =k2; kordx [ntetr+4,1]:=x; kordy [ntetr+4,1]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+4,1]: =z;
cells [ntetr+4,2]: =k1+kz; kordx [ntetr+4,2]:=x+hx [i]; kordy [ntetr+4,2]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+4,2]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+4,3]: =point+kz; kordx[ntetr+4,3]: =x; kordy [ntetr+4,3]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+4,3]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+4,4]: =k1; kordx [ntetr+4,4]:=x+hx [i]; kordy [ntetr+4,4]: =y; kordz [ntetr+4,4]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+5,1]: =k2; kordx [ntetr+5,1]:=x; kordy [ntetr+5,1]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+5,1]: =z;
cells [ntetr+5,2]: =point+kz; kordx[ntetr+5,2]: =x; kordy [ntetr+5,2]: =y+hy [j]; kordz [ntetr+5,2]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+5,3]: =point; kordx[ntetr+5,3]: =x; kordy [ntetr+5,3]: =y; kordz [ntetr+5,3]: =z-hz [k] ;
cells [ntetr+5,4]: =k1; kordx [ntetr+5,4]:=x+hx [i]; kordy [ntetr+5,4]: =y; kordz [ntetr+5,4]: =z-hz [k] ;
V [k+ (j-1) * (kz-1) + (i-1) * (kz-1) *(ky-1)]: = (hz [k] *hy [j] *hx [i]) /6;
inc (point);
inc (ntetr,6);
end;
inc (point);
y: =y+hy [j] ;
end;
inc (point,kz);
x: =x+hx [i] ;
end;
алгоритм построения матрицы жесткости и ее компрессии
begin
n: =kx*ky*kz*3;
m: = (ky*kz+1) *3;
for k: =1 to koltetr do
for i: =1 to 4 do
for j: =1 to 4 do
if (cells [k, i]
Count: =0;
for i: =1 to 3*kx*ky*kz do if P [i] =1then compressf (i-Count);
dec (n,count);
end;
алгоритм решения системы уравнений
begin
s [1,1]: =sqrt (abs (value2 (1,1))); d[1]: =sign (value2 (1,1));
for j: =2 to n do s [1,j]: =value2 (1,j)/ (d [1] *s [1,1]);
for i: =2 to n do
begin
for j: =2 to n do
begin
if i>j then s [i,j]: =0;
sum: =0;
for k: =1 to i-1 do sum: =sum+s [k, i]*s [k, i] *d [k] ;
d [i]: =sign (value2 (i, i) — sum);
if i
begin
sum: =0;
for k: =1 to i-1 do sum: =sum+s [k, i]*s [k,j] *d [k] ;
s [i,j]: = (value2 (i,j) — sum) / (s [i,i] *d [i]);
end;
sum: =0;
for k: =1 to j-1 do sum: =sum+d [k] *s[k,j] *s [k,j] ;
s [j,j]: =sqrt (abs (value2 (j,j) — sum));
end;
end;
y [1]: =F [1] / (s [1,1] *d [1]);
for k: =2 to n do
begin
sum: =0;
for i: =1 to k-1 do sum: =sum+s [i,k] *y[i] *d [i] ;
y [k]: = (F [k] -sum) / (s [k,k] *d[k]);
end;
x [n]: =y [n] /s [n,n] ;
for k: =n-1 downto 1 do
begin
sum: =0;
for i: =k+1 to n do sum: =sum+s [k, i]*x [i] ;
x [k]: = (y [k] -sum) /s [k,k] ;
end;
end;