Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни „Інформатика”
Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8
(варіант №6)
Виконав студент групи____________________
______________________
До захисту__________________200 __року
Викладач_______________________________
Дніпропетровськ
2010
Зміст
Вихіднідані завдань варіанту №6
1.Завдання №1
1.1.Задача 1.1 (вар. №6)
1.2.Задача 1.2 (вар. №6)
2.Завдання №2
2.1.Задача 2.1 (вар. №6)
2.2.Задача 2.2 (вар. №6)
3.Завдання №3
3.1.Задача 3.1 (вар. №6)
3.2.Задача 3.2 (вар. №6)
4.Завдання №4
4.1.Задача 4.1 (вар. №6)
4.2.Задача 4.2 (вар. №6)
5.Завдання №5
5.1.Задача 5.1 (вар. №6)
5.2.Задача 5.2 (вар. №6)
6.Завдання №6
6.1.Задача 6.1 (вар. №6)
6.2.Задача 6.2 (вар. №6)
7.Завдання №7
7.1.Задача 7.1 (вар. №6)
7.2.Задача 7.2 (вар. №6)
8.Завдання №8
8.1.Задача 8.1 (вар. №6)
8.2.Задача 8.2 (вар. №6)
9.Завдання №9
9.1.Задача 9.1 (вар. №6)
9.2.Задача 9.2 (вар. №6)
10.Завдання №10
10.1.Задача 10.1 (вар. №6)
10.2.Задача 10.2 (вар. №6)
11.Завдання №11
Списоквикористаної літератури
Вихідні дані завдань варіанту №6
/>
/>
1. Завдання №1
1.1 Задача 1.1 (вар. №6)
Спростити вираз
/>
Розв’язання.
Використовуємо встроені функціїелементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
expand-розкрити скобки,
factor-розкласти на множники
normal-привести к спільномузнаменнику
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібнічлени
> (sqrt(2)/(1-x^2)^(-1)+2^(3/2)/x^(-2))/(x^(-2)/(1+x^(-2)));
/>
Спрощуємо виразза допомогою оператора simplify – спростити (останній результат Maple зберігаєпід ім’ям %)
> simplify(%);
/>
Відповідь: />
1.2 Задача 1.2 (вар. №6)
Спростити вираз
/>
Розв’язання.
> (sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)))*(sqrt(1/a^2-1)-1/a);
/>
Позначимо першиймножник через q1
> q1:=(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a))+((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a)));
/>
Позбавляємося відірраціональності в знаменниках за допомогою оператора rationalize
> rationalize(sqrt(1+a)/(sqrt(1+a)-sqrt(1-a)))+rationalize((1-a)/(sqrt(1-a^2)-1+a));
/>
Розкриваємо дужкив останньому виразі за допомогою оператора expand
> q1:=expand(%);
/>
> q1 :=1/2*(1+a)^(1/2)/a*(1-a)^(1/2)+1/a+1/2/a*(1-a)^(1/2)*(1+a)^(1/2);
/>
Приводимо доспільного знаменника вираз q1 за допомогою оператора normal
> q1:=normal(q1);
/>
Розкладаємо намножники вираз q1 за допомогою оператора factor
> q1 :=factor(q1);
/>
Позначимо другиймножник через q2
> q2:=(sqrt((1-a)*(1+a)/a^2)-1/a);
/>
Спрощуємо виразq2, припускаючи, що 00,a
> q2:=simplify(q2,assume(a>0,a
/>
Перемножуємовирази q1 та q2
> q3:=q1*q2;
/>
Розкладаємо намножники вираз q3
> q3:=factor(q3);
/>
Розкриваємо дужкив останньому виразі
> q3:=expand(%);
/>
Відповідь: -1.
2. Завдання №2
2.1 Задача 2.1 (вар. №6)
Спростити вираз, а потімзнайти чисельні значення при а =2
/>
Розв’язання.
Використовуємо встроені функціїелементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
expand-розкрити скобки,
factor-розкласти на множники
normal-привести к спільномузнаменнику
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібнічлени
> ((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1)/(1/sqrt((a+1)^(-2))));
/>
Позначимо черезr1 першу частину виразу
> r1:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2))/(1/a^(-2)-a+1));
/>
Позначимо черезr2 другу частину виразу
> r2:=sqrt((a+1)^(-2));
/>
Позначимо черезr3 чисельник виразу r1
> r3:=((a-1)^(-1)/a^(-3)-(1-a)^(-1))*((1+a*(a-2)));
/>
Приводимо виразr3 до спільного знаменника
> r3:=normal(r3);
/>
Розкладаємо намножники вираз r3
> r3:=factor(r3);
/>
Позначимо черезr4 знаменник виразу r1
> r4:=(a^2-a+1);
/>
Скорочуємочисельник r3 та знаменник r4 першої частини виразу
> r5:=r3/r4;
/>
Залишилося r5помножити на r2
> r6:=r5*r2;
/>
Спрощуємо виразr6, припускаючи, що a>-1
> simplify(r6,assume(a>-1));
/>
Підставляємо a=2в останній вираз %
> subs(a=2,%);
/>
Відповідь: 1.
2.2 Задача 2.2 (вар. №6)
Спростити вираз, а потімзнайти чисельні значення при а = 4; b = 1.
/>
Розв’язання.
> (a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3)/(a^3+3*a^2*b-2*a*b^2);
/>
Чисельниквихідного дробу позначимо через t1
> t1:=(a/(a-2*b)+b/(a+2*b))*(a^3+8*b^3);
/>
Приводимо вираз,що стоїть в чисельнику t1, до спільного знаменника
> t1:=normal(t1);
/>
Знаменниквихідного дробу позначимо через t2
> t2:=a^3+3*a^2*b-2*a*b^2;
/>
Розкладаємознаменник t2 на множники
> t2:=factor(t2);
/>
Скорочуємочисельник t1 та знаменник t2
> t3:=t1/t2;
/>
Виділяємо повнийквадрат в чисельнику за допомогою оператора completesquare (попередньо підключившипакет student)
> with(student):completesquare(t3,a);
/>
Підставляємо востанній вираз % числа a=4, b=1
> subs(a=4,b=1,%);
/>
Відповідь: 3/2.
3. Завдання №3
3.1 Задача 3.1 (вар. №6)
Скоротити слідуючи дроби
/>
Розв’язання.
Використовуємо встроені функціїелементарних перетворень пакету MAPLE:
simplify-спростити,
factor-розкласти на множники
combine-перетворення ступеня
collect-привести подібнічлени
Розв’язання.
> (x^4-10*x^2+9)/(x^4-13*x^2+36);
/>
Чисельниквихідного дробу позначимо через u1
> u1:=x^4-10*x^2+9;
/>
Розкладаємочисельник u1 на множники
> u1:=factor(u1);
/>
Знаменниквихідного дробу позначимо через u2
> u2:=x^4-13*x^2+36;
/>
Розкладаємознаменник u2 на множники
> u2:=factor(u2);
/>
Скорочуємочисельник u1 та знаменник u2
> u3:=u1/u2;
/>
Відповідь: />
3.2 Задача 3.2 (вар. №6)
Скоротити слідуючи дроби
/>
Розв’язання.
> (a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)/((a^2+a+1)*(a+1));
/>
Чисельниквихідного дробу позначимо через v1
> v1:=a^5+a^4+a^3+a^2+a+1;
/>
Розкладаємочисельник v1 на множники
> v1:=factor(v1);
/>
Знаменниквихідного дробу позначимо через v2
> v2:=(a^2+a+1)*(a+1);
/>
Скорочуємочисельник v1 та знаменник v2
> v3:=v1/v2;
/>
Відповідь: />
4. Завдання №4
4.1 Задача 4.1 (вар. №6)
Розв’язати рівняння 1-йстепені
/>
Розв’язання.
Використовуємо встроені функціїелементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна),
> ((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)=1/(a/b-b/a);
/>
Задаємо рівнянняeq
> eq:=((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a)=0;
/>
Розв'язуєморівняння eq відносно змінної x
> solve(eq,{x});
/>
Зробимоперевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємототожність
> subs(x=-(-b+a)*a/b,((x/a)-1)/(1-a^2/b^2)-1/(a/b-b/a));
/>
Спрощуємоостанній вираз (останній результат Maple зберігає під ім’ям %)
> simplify(%);
/>
Відповідь: />
4.2 Задача 4.2 (вар. №6)
Розв’язати рівняння 1-йстепені
/>
Розв’язання.
> (9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))=sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1);
/>
Задаємо рівнянняeq
> eq:=(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1)=0;
/>
Розв'язуєморівняння eq відносно змінної x
> solve(eq,{x});
/>
Зробимоперевірку: підставляємо у вихідне рівняння eq розв'язок x і одержуємо 0
> subs(x=1,(9*sqrt(x)+1)/(6*(6*sqrt(x)-1))-sqrt(x)/(4*sqrt(x)-1));
/>
Відповідь: 1.
5. Завдання №5
5.1 Задача 5.1 (вар. №6)
Розв’язати системи рівнянь здвома невідомими
/>
Розв’язання.
Використовуємо встроені функціїелементарних перетворень пакету MAPLE: solve(рівняння або нерівність, змінна).
> (7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2;3*(x-1)=5*(y+1);
/>
/>
Задаємо системурівнянь з двома невідомими
> sistema:={(7*x-3*y)/5=(5*x-y)/3-(x+y)/2,3*(x-1)=5*(y+1)};
/>
Розв'язуємосистему рівнянь відносно x,y
> s:=solve(sistema,{x,y});
/>
Зробимоперевірку: підставляємо у вихідну систему розв’язок і одержуємо дві тотожності
> eval(sistema,s);
/>
Відповідь: (1;1).
5.2 Задача 5.2 (вар. №6)
Розв'язати системи рівнянь здвома невідомими
/>
Розв’язання.
> (x+2*y-7)/(2*y-x+15)/(2*x+y+19)=1/2/3;(3*x+y-3)/(4*x-2*y+1)/(5*x-3*y+8)=6/3/5;
/>
/>
Задаємо системурівнянь
> sistema:={(x+2*y-7)/(3*x+y-3)=t/6,(2*y-x+15)/(4*x-2*y+1)=2*t/3, (2*x+y+19)/(5*x-3*y+8)=3*t/5};
/>
Розв'язуємосистему рівнянь відносно змінних x,y,t
> s:=solve(sistema,{x,y,t});
/>/>/>
Для поданнярезультів розв'язання системи рівнянь Maple використовує спеціальну функціюRootOf( ), яка застосовується для позначення будь-якого кореня виразу, заданогояк її параметр. Змінна _Z — системна змінна, згенерована Maple, яка набуваєцілих значень. За допомогою функції eval( ) можна отримати наближені числовізначення функції RootOf( ).
> evalf(s);
/>
6. Завдання №6
6.1 Задача 6.1 (вар. №6)
Побудувати графіки наступнихфункцій
/>
Розв’язання.
> f:=x^2-3*abs(x)+2;
/>
Будуємо графікфункції f, обираємо проміжок для змінної x від -3 до 3, колір — синій, товщиналінії – 3
> plot(f,x=-3..3,color=blue,thickness=3);
/>
6.2 Задача 6.2 (вар. №6)
Побудувати графіки наступнихфункцій
/>
Розв’язання.
> y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2)=0;
/>
Будуємо графікфункції, заданої неявно за допомогою пакету plots
> with(plots):implicitplot(y-x^2-y^2+2-abs(y-x^2),x=-3..3,y=-1..2,color=black, thickness=2);
/>
7. Завдання №7
7.1 Задача 7.1 (вар. №6)
Зобразити наступнігеометричні фігури згідно ескізу рис. 7.1 вихідних даних.
Розв’язання.
Використаємопакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами. Командаcurve([[x1,y1],[x2,y2],…,[xn,yn],options) задає криву координатами своїх точок.Крива відображається лінійними сегментами, що з’єднують сусідні точки. Командаdisplay відображає вивід графічних команд на екран.
> with(plottools):w:=curve([[1,0],[0,1],[-1,0],[0,-1],[1,0]],color=black, linestyle=1,thickness=2): plots[display](w);
/>
7.2 Задача 7.2 (вар. №6)
Зобразити наступнігеометричні фігури згідно ескізу рис.7.2 вихідних даних.
Розв’язання.
> with(plottools):u:=curve([[0,0],[1,-1],[0,-1],[-1,0],[0,1],[1,1],[0,0]],color=green,linestyle=1, thickness=2): plots[display](u);
/>
8. Завдання №8
8.1 Задача 8.1 (вар. №6)
Розвязати рівняння 2-їстепені
/>
Розв’язання.
> x-7+(x-6)^2/3=(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4;
/>
Задаємо рівнянняeq
> eq:=x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4=0;
/>
Розв'язуєморівняння eq відносно змінної x
> s:=solve(eq,{x});
/>
Зробимоперевірку: підставляємо розв'язок /> увихідне рівняння й одержуємо 0
> evalf(subs(x=-54/5-6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));
/>
Далі підставляєморозв'язок /> у вихідне рівняння, одержуємо0
> evalf(subs(x=-54/5+6/5*sqrt(71),x-7+(x-6)^2/3-(x+4)^2/2-(x+2)*(x+6)/4));
/>
Відповідь: />
8.2 Задача 8.2 (вар. №6)
Розв’язати рівняння 2-їстепені
/>
Розв’язання.
> (20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)=(5-3*x)/(x+1)-(10-4*x)/(3*x+3);
/>
Задаємо рівнянняeq
> eq:=(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3)=0;
/>
Розв'язуєморівняння eq відносно змінної x
> s:=solve(eq,{x});
/>
Зробимоперевірку: підставляємо розв'язок />увихідне рівняння й одержуємо 0
> subs(x=-2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));
/>
Підставляєморозв'язок /> у вихідне рівняння йодержуємо 0
> subs(x=-17/2,(20+x)/(2*x-2)-(9*x^2+x+2)/(6*x^2-6)-(5-3*x)/(x+1)+(10-4*x)/(3*x+3));
/>
Відповідь: -2;-17/2.
9. Завдання №9
9.1 Задача 9.1 (вар. №6)
Привести наступні вирази к простішомувиду
/>
Розв’язання.
> a/(sqrt(a*c)+c)+c/(sqrt(a*c)-a)-(a+c)/sqrt(a*c);
/>
Позбавляємося відірраціональності в знаменнику
> rationalize(%);
/>
Спрощуємоостанній вираз
> simplify(%);
/>
Відповідь: />
9.2 Задача 9.2 (вар. №6)
Привести наступні вирази кпростійшому виду
/>
Розв’язання.
> (a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4))-(a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4));
/>
Позбавляємося відірраціональності в знаменниках
> rationalize((a-b)/(a^(3/4)+a^(1/2)*b^(1/4)))-rationalize((a^(1/2)-b^(1/2))/(a^(1/4)+b^(1/4)));
/>
Спрощуємоостанній вираз
> simplify(%);
/>
Відповідь: />
10. Завдання №10
10.1. Задача 10.1 (вар. №6)
Привести к раціональному видунаступні вирази
./>
Розв’язання.
> n/(a^(2/3)+a^(1/3)*b^(1/3)+b^(2/3));
/>
Позбавляємося відірраціональності в знаменнику
> rationalize(%);
/>
Відповідь: />
10.2 Задача 10.2 (вар. №6)
Привести к раціональному видунаступні вирази
/>
Розв’язання.
> 1/(sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(5));
/>
Позбавляємося відірраціональності в знаменнику
> rationalize(%);
/>
Розкриваємо дужки
> expand(%);
/>
Відповідь: />
11. Завдання №11
Скласти програму, яка видаєна печать таблицю значень /> для />
Розв’язання.
> for n from 1to 50 do sqrt(10*n) end do;
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Список використаної літератури
1. АладьевВ.З., Богдявичюс М.А. Решение физико-технических и математических задач спакетом Maple V. В.: Техника, 1999. – 686 с.
2. ВасильевА.Н. Maple 8. СПб.: Диалектика, 2003. – 352 с.
3. ДьяконовВ.П. Maple 9 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. – 688 с.
4. ДьяконовВ.П. Maple 8 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 656 с.
5. МатросовА.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:БХВ-Петербург, 2001. – 528 с.
6. СдвижковО.А. Математика на компьютере: Maple 8. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. – 176с.