/>Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решениязадачи
2.1 Понятие о комплексных числах
2.2 Действия с комплексными числами
2.2.1 Сложение комплексных чисел
2.2.2 Вычитание комплексных чисел
2.2.3 Произведение комплексных чисел
2.2.4 Деление комплексных чисел
3. Функциональные модели и блок-схемырешения задачи
4 Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение
Решение многих задачфизики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательнымдискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел.Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл.Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений,назвали комплексными числами.
Комплексные числа широкоиспользовал отец русской авиации Н.Е.Жуковский (1847 – 1921) при разработкетеории крыла, автором которой он является.
Комплексные числа ифункции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах наукии техники.
Цель настоящей курсовойработы: Лисп-реализация математических операций над комплексными числами.
1.Постановка задачи
Требуется разработатьпрограмму, реализующую математические операции над комплексными числами,опираясь на следующие правила выполнения операций:
1). Сложение:
/>.
2). Вычитание:
/>.
3). Умножение:
/>.
4). Деление:
/>.
Пример 1.
Выполнить сложение двухкомплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: />.
Пример 2.
Выполнить вычитания двухкомплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: />.
Пример 3.
Выполнить умножение двухкомплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: />.
Пример 4.
Выполнить деление двухкомплексных чисел: /> и />.
Решение:
/>.
Ответ: i.
2.Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1Понятие о комплексных числах
Для решенияалгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественностремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит красширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение x+a=b имело корни,положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввестиотрицательные числа и нуль.
Древнегреческиематематики считали, что a=c и b=а только натуральные числа, но в практических расчетах задва тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне ужеприменялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе быловведение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческийматематик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эрыэти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа сдолгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описыватьизменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратныйкорень из положительного числа имеет два значение — положительное иотрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: неттакого числа х, чтобы х2 = -9. В 16 веке в связи с изучениемкубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни изотрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатсякубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когдауравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3+3х-4=0),а если оно имело 3 действительных корня (например, х3-7х+6=0), топод знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, чтопуть к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлеченияквадратного корня из отрицательного числа.
Чтобы объяснитьполучившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у=10,ху=40 не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда/>, />, нужно только условитьсядействовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что />. Карданоназывалтакие величины «чистоотрицательными» и даже«софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применятьих. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерениякакой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книгаитальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правилаарифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из нихкубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математики философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использоватьпервую букву французского числа />(мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщееупотребление благодаря К. Гауссу (1831г).
В течение 17 векапродолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать имгеометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций надкомплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных,а впоследствии и из любых комплексных чисел.
В конце 18 векафранцузский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже незатрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражатьрешения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такиеуравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки всопротивляющейся среде. Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов.Хотя в течении 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы,в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые спомощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающие характер настоящихистин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. ДатчанинГ.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от другапредложили изображать комплексное число /> точкой М(а,b) на координатнойплоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкойМ, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При такомистолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти жеоперации над векторами.
Геометрическиеистолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные сфункциями комплексного переменного, расширило область их применения. Сталоясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело свеличинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении теченияжидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.
2.2Действия с комплексными числами
Рассмотрим решениеквадратного уравнения х2 +1 = 0. Отсюда х2 = -1.Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом, i2 = -1, откуда />. Решение квадратного уравнения,например, х2 – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом:
/>.
Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексноечисло записывается а + bi,где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частьюкомплексного числа, bi-мнимой частьюэтого числа, b- коэффициентом мнимой частикомплексного числа.
2.2.1Сложение комплексных чисел
Суммой двух комплексныхчисел z1 = a + bi и z2 = c + diназывается комплексное число z = (a+c) + (b+d)i. Числа a + bi и a-bi называютсясопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а,
(а+bi) + (а-bi) = 2а.
Числа а+bi и -a-bi называютсяпротивоположными. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны ихдействительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда егодействительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z=a + bi =0, если a=0, b=0. Действительные числа являются частным случаемкомплексных чисел. Если b=0,то a+bi=a — действительноечисло. Если а = 0, />, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливыпереместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует изтого, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложениюдействительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительнымичислами, для которых справедливы указанные законы.
2.2.2Вычитание комплексных чисел
Вычитание комплексныхчисел определяется какдействие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + diназывается комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя изопределения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, изкоторых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит,
(а+bi) — (c+di) = (a-c) + (b-d)i.
2.2.3Произведение комплексных чисел
Произведение комплексныхчисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число
z =(ac-bd) +(ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad +bc)i.
Легко проверить, чтоумножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов сзаменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел такжесправедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительныйзакон умножения по отношению к сложению.
Из определения умноженияполучим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительномучислу:
(a + bi)(a — bi) = a2+ b2
2.2.4Деление комплексных чисел
Деление комплексныхчисел, кроме деления нануль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деленияполучим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этойдроби на число, сопряженное со знаменателем:
/>.
3.Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
Функциональные модели иблок-схемы решения задачи представлены на рисунках 1 – 4.
Используемые обозначения:
— N1 – первое комплексное число;
— N2 – второе комплексное число;
— A – действительная часть первогокомплексного числа;
— C – мнимая часть первого комплексногочисла;
— B – действительная часть второгокомплексного числа;
— D – мнимая часть второго комплексногочисла.
/>
Рисунок 1 –Функциональная модель решения задачи для функции SUM_COMPLEX
/>
Рисунок 2 – Функциональнаямодель решения задачи для функции SUBTR_COMPLEX
/>
Рисунок 3 –Функциональная модель решения задачи для функции MULT_COMPLEX
/>
Рисунок 4 –Функциональная модель решения задачи для функции DIV_COMPLEX
4. Программная реализация решения задачи
ЗАВОДИМПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(SETQ NUM1 0)
(SETQ NUM2 0)
(SETQ INPUT_STREAM (OPEN "D:\\COMLEX_NUMBERS.TXT" :DIRECTION :INPUT));ЧИСЛАХРАНЯТЬСЯВФАЙЛЕВВИДЕСПИСКА(A B); ГДЕA — ДЕЙСВИТЕЛЬНАЯЧАСТЬ, B — МНИМАЯ; СЧИТЫВАЕМЧИСЛАИЗФАЙЛА
(SETQNUM1 (READ INPUT_STREAM))
(SETQ NUM2 (READ INPUT_STREAM))
(CLOSE INPUT_STREAM)
СУММАКОМПЛЕКСНЫХЧИСЕЛ
(DEFUN SUM_COMPLEX (N1 N2)
(LIST (+ (CAR N1) (CAR N2)) (+ (CADRN1) (CADR N2))))
РАЗНОСТЬКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNSUBTR_COMPLEX (N1 N2)
(LIST (- (CAR N1) (CAR N2)) (- (CADRN1) (CADR N2))))
ПРОИЗВЕДЕНИЕКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNMULT_COMPLEX (N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE(SPECIAL A))
(DECLARE (SPECIAL B))
(DECLARE (SPECIAL C))
(DECLARE (SPECIAL D))
(SETQ A (CAR N1))
(SETQ B (CADR N1))
(SETQ C (CAR N2))
(SETQ D (CADR N2))
(LIST (- (* A C) (* B D)) (+ (*A D)(* B C))))
ДЕЛЕНИЕКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
(DEFUNDIV_COMPLEX (N1 N2)
ОБЪЯВЛЕНИЕВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(DECLARE(SPECIAL A))
(DECLARE (SPECIAL B))
(DECLARE (SPECIAL C))
(DECLARE (SPECIAL D))
(SETQ A (CAR N1))
(SETQ B (CADR N1))
(SETQ C (CAR N2))
(SETQ D (CADR N2))
(LIST (FLOAT (/ (+ (* A C) (* BD)) (+ (* C C) (* D D)))) (FLOAT (/ (-(* B C) (* A D)) (+ (* C C) (* D D))))))
ЗАПИСЫВАЕМРЕЗУЛЬТАТ
(SETQ OUTPUT_STREAM (OPEN " D:\\RESULT.TXT":DIRECTION :OUTPUT)) (DEFUN PRINT_OPERATIONS (N1 N2)
(MAPCAR 'SUM_COMPLEX N1 N2))
(PRINT (LIST 'NUMBER1 NUM1) OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'NUMBER2 NUM2) OUTPUT_STREAM)
(PRINT OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'SUM (MAPCAR 'SUM_COMPLEX NUM1 NUM2))OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'SUBTRACTION (MAPCAR 'SUBTR_COMPLEXNUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'MULTIPLICATION (MAPCAR 'MULT_COMPLEXNUM1 NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(PRINT (LIST 'DIVISION (MAPCAR 'DIV_COMPLEX NUM1NUM2)) OUTPUT_STREAM)
(TERPRI OUTPUT_STREAM)
(CLOSE OUTPUT_STREAM)
5. Примервыполнения программы
Пример 1.
/>
Рисунок 5 – Входныеданные
/>
Рисунок 6 – Выходныеданные
Пример 2.
/>
Рисунок 7 – Входныеданные
/>
Рисунок 8 – Выходныеданные
Пример 3.
/>
Рисунок 9 – Входныеданные
/>
Рисунок 10 – Выходныеданные
Заключение
Применение комплексныхчисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели,применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике,картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Итогомработы можно считать созданную функциональную модель для реализации математических операцийнад комплексными числами. Созданнаяфункциональная модель и ее программная реализация могут служить органическойчастью решения более сложных задач.
Список использованных источников и литературы
1. Выгодский, М.Я.Справочник по элементарной математике. [Текст] / М.Я. Выгодский – М.: АСТ:Астрель, 2006. С. 509.
2. Дадаян, А.А.Алгебра и геометрия. [Текст] / А.А Дадаян, В.А.Дударенко. – М.: Минск, 1999. С.342.
3. Камалян, Р.З.Высшая математика. [Текст] / Р.З.Камалян. – М.: ИМСИТ, 2004. С.310.
4. Комплексное число[Электронный ресурс] – Режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число.
5. Степанов, П.А.Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] /П.А.Степанов, А.В.Бржезовский. – М.: ГУАП, 2003. С. 79.