Кафедра: Автоматика и информационные технологии
ИССЛЕДОВАНИЕНЕЛИНЕЙНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Екатеринбург 2005
Оглавление
Введение. 3
1. Изучениетипичных нелинейностей. 4
2. Исследованиенелинейных систем методом фазовой плоскости. 19
3. Исследованиенелинейных систем методом гармонического баланса. 32
4. Синтездискретной системы с максимальным быстродействием. 53
Список литературы… 66
Введение
Изучение раздела «Нелинейные системы» предусматривает выполнениетрех лабораторных работ. Последняя, четвертая работа посвящена разделу«Импульсные системы автоматического управления». Работы выполняются сиспользованием пакета Matlab. Предполагается, что студенты получили опытиспользования данного пакета в процессе выполнения лабораторных работ по курсу «Линейныесистемы» и в ходе самостоятельного изучения.
Для сохранения результатов работы каждой бригаде необходимосоздать на компьютере в папке, предназначенной для работы пользователей, папкугруппы, внутри нее папку бригады, где и следует размещать поддиректории срезультатами лабораторных работ. После окончания лабораторной работы всерезультаты необходимо сохранить на дискете.
1. Изучениетипичных нелинейностей
В работе рассматриваются типичные нелинейности с симметричнымихарактеристиками, представленными на рис. 1.1.
/>
Рис. 1.1. Характеристики нелинейных элементов: а – идеальноедвухпозиционное реле; б – усилитель с ограничением и зоной нечувствительности; в-трехпозиционноереле; г – двухпозиционное реле с гистерезисом; д – люфт
Цель работы — моделирование указанных нелинейностей и фиксация процессов навходе и выходе каждого нелинейного звена средствами пакета Matlab (cиспользованием его расширения – пакета моделирования динамических системSimulink). В качестве источника (генератора) входного воздействия следуетиспользовать свободные колебания на выходе колебательного звена, описываемогопередаточной функцией /> при ненулевыхначальных условиях. Варьируя декремент затухания (коэффициент демпфирования) /> и постоянную времени Т илидругие связанные с ними параметры колебательного звена, можно добиться какгармонических, так и затухающих колебательных процессов. Гармонический сигналразличной амплитуды позволяет протестировать работу нелинейности «по частям», т.е.наблюдать влияние отдельных участков характеристики нелинейности на преобразованиевходного сигнала. При помощи затухающего тестового сигнала можно проверитьработу нелинейности в целом, наблюдая за время затухания процесса все возможныеэволюции сигнала на выходе нелинейного элемента (НЭ), связанные с еговоздействием, а также построить характеристику НЭ (при этом максимальноезначение амплитуды тестового сигнала, естественно, должно быть заданобóльшим, чем значение параметров b или b2, в зависимости оттипа нелинейности).Выбор значений параметров нелинейных элементов и генератора
Параметры НЭ и время затухания /> колебательногопроцесса на выходе генератора следует задавать в соответствии с вариантом, приведённымв табл. 1.1. Номер варианта соответствует номеру бригады.
Таблица 1.1 Значения параметров нелинейных элементов и генератора
Параметры
Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 b 0.1 0.2 0.25 0.25 0.3 0.35 0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 1 1.2 1.3 1.5
b2 1.1 1.7 2.25 2.75 3.3 3.85 4.4 5 5.5 6.1 6.8 7.5 8.2 8.8 9.5
tз 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Найти угловую частоту затухающихколебаний /> и коэффициент затухания /> колебательного звена всоответствии с заданным в табл. 1.1 временем затухания колебательного процесса /> и числом периодов, равным10 — 20 на интервале />.
Уравнение, описывающеесвободные колебания на выходе колебательного звена, имеет следующий вид:
/>, (1.1)
/>,
где t – время; А – амплитудагармонических колебаний (при />) илиамплитуда затухающих колебаний в начальный момент времени (при />); />– угловая частотагармонических колебаний.
Амплитуда А задаетсяпроизвольно, а параметры /> и /> необходимо увязать сисходными данными о требуемом времени затухания колебательного процесса изаданным количеством периодов колебаний за это время.
Затухание процесса можносчитать окончившимся в момент времени, приблизительно равный трем постояннымвремени экспоненты, т.е.
/>,
а угловую частоту /> следует вычислять поуравнению
/>,
где N – задаваемоеколичество колебаний (периодов) за время затухания процесса.
Решая систему уравнений
/>
получим выражение для />:
/>, (1.2)
после чего можно вычислить />.
В итоге рассчитываютсякоэффициент затухания /> по формуле /> и угловая частота /> по формуле /> или />.
Для проведения моделирования создать 2файла: файл-сценарий TN_prog.m и файл модели TN_mod.mdl. Они взаимосвязаны:переменные, определенные в m‑файле, используются при задании параметровблоков модели, модель запускается на выполнение также командой из m‑файла,а при проведении моделирования в Simulink результаты записываются в рабочуюобласть памяти (Workspace), откуда считываются при построении итоговых графиковкомандами из m‑файла. Пример файла TN_prog.m приводится ниже.
Изучение типичных нелинейностей
Используемые обозначениЯ:
НЭ – нелинейный элемент.
clear all % очистка памЯти
close all % закрытие всех предыдущих рисунков
Задание значениЯ переменной, определЯющей положение переключателЯ
%конфигурации в файле TN_mod.mdl
%1 – НЭ-идеальное двухпозиционное реле
%2 – НЭ-усилитель с ограничением и зоной нечувствительности
%3 – НЭ-трехпозиционное реле без гистерезиса
%4 – НЭ-двухпозиционное реле с гистерезисом
%5 – НЭ-люфт
config = 5;
%Определение значениЯ строковой переменной nlin
switch config
case 1,
nlin = 'ид. 2‑х поз. реле';
case 2,
nlin = 'ус-ль с огр. и зоной нечувст.';
case 3,
nlin = '3‑х поз. реле без гист.';
case 4,
nlin = '2‑х поз. реле с гист.';
case 5,
nlin = 'люфт';
end
%Константы, описывающие нелинейные элементы
c = 6;
b = 1;
b2 = 7;
%Параметры моделированиЯ
t_end = 10; %времЯ моделированиЯ, с
step = 1e‑3;%шаг моделированиЯ, с
%Описание генератора затухающих колебаний
N = 15; %количество колебаний за времЯ моделированиЯ
A = 10; %амплитуда в начальный момент времени
lambda = 2*pi*N/t_end; %угловаЯ частота затухающих колебаний
ksi = 1.5/sqrt((pi*N)^2+2.25); %декремент затуханиЯ
%ksi = 0;
omega = (2*pi*N)/(t_end*sqrt (1‑ksi^2));%угловаЯ чатотагармонических колебаний
gamma = ksi*omega; %коэффициент затуханиЯ
%вызов модели
open_system ('TN_mod.mdl');
%запуск моделированиЯ
sim ('TN_mod');
%Построение процессов во времени (рис. 1)
figure(1) %открытие окна рисунка
title(['Процессы e(t) и y(t). НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b),', b2=', num2str(b2),…
', c=', num2str(c)]) %заголовок рисунка
xlabel ('t – времЯ, c') %название оси Х
ylabel ('e – вход НЭ, g – выход НЭ') %название оси Y
grid on %включение сетки
hold on
plot (t, e, '-r') %построение первого графика рисунка с указанием
%имен массивов точек, выводимых по осЯм X и Y, и
%установкой цвета и типа линии графика
plot (t, g, '-b') %второй график – аналогично
legend ('вход НЭ', 'выход НЭ', 4)%вывод на рисунок поЯснЯющейнадписи, показывающей
%соответствие между цветом графика и его названием
%Построение характеристики нелинейности (рис. 2)
figure(2)
title(['Хар-ка нелин-ти g(e). НЭ – ',nlin, ', b=', num2str(b), ', b2=', num2str(b2),…
', c=', num2str(c)])
xlabel ('e – вход НЭ')
ylabel ('g – выход НЭ')
%ручнаЯ установка пределов по осЯм X и Y: [Xmin, Xmax, Ymin, Ymax]
if config == 5
axis ([-A*1.1 A*1.1 – (A-b)*1.1(A-b)*1.1])
else
axis ([-A*1.1 A*1.1 – c*1.1 c*1.1])
end
grid on
hold on
plot (e, g, '-r')
Все команды Matlab,использованные при создании данной программы, описаны в приложении.
В файле-сценарии необходимозадать значения констант, описывающих нелинейности, задать шаг и времямоделирования, равное времени затухания колебаний на выходе генератора, а такжезначение переменной config, управляющей конфигурацией нелинейной части модели.В процессе выполнения m‑файла рассчитываются параметры генератора,вызывается и запускается модель, результаты в виде временных процессовна входе и выходе НЭ, а также зависимость выходного сигнала от значенийвходного при помощи команд построения двумерных графиков выводятся в отдельныеграфические окна.
Файл модели должен содержатьгенератор и соединенный с ним нелинейный элемент. Можно предусмотретьодновременное наличие в схеме всех пяти рассматриваемых НЭ, а их выборпроизводить при помощи селектора (рис. 1.2). Учитывая возможностьпереименования функциональных блоков в Matlab,рекомендуется давать им содержательные названия.
В настройках параметровмоделирования следует указывать специально предназначенные для этой целипеременные, значения которых заданы в файле-сценарии. Параметрымоделирования должны быть указаны в окне «Simulation parameters», доступномчерез меню Simulation\Simulation parameters окна, в котором открыт mdl‑файл (рис. 1.3).
В дальнейшем в настройкахблоков используются переменные, заданные в m‑файле. Такой подход помогаетэкономить время при настройке и перенастройке модели.
/>
Рис. 1.2. Структурная схема модели
/>
Рис. 1.3. Настройка параметров моделирования
При помощи блоков Constant(константа) из библиотеки Sources, Gain (коэффициент усиления) из библиотекиMath и переменной config можно задавать различное значение управляющего входапереключателя конфигурации нелинейной части (блока Multiport Switch избиблиотеки Nonlinear).
В качестве генераторасвободных колебаний можно использовать блок Fcn из библиотеки Functions &Tables с записанным в него выражением для свободных колебаний по формуле (1.1).Настройки блока Fcn показаны на рис. 1.4.
/>
Рис. 1.4. Настройки блока Fcn
На вход блока Fcn следуетподключить источник модельного времени – блок Clock из библиотеки Sources (рис. 1.5).
/>
Рис. 1.5. Настройки блока Clock
Для создания пяти изучаемых НЭ следует воспользоваться четырьмяблоками библиотеки Nonlinear: Backlash (люфт), Dead Zone (усилитель с единичнымкоэффициентом усиления и зоной нечувствительности), Saturation (усилитель сединичным коэффициентом усиления и ограничением), Relay (двухпозиционное реле сгистерезисом).
В качестве двухпозиционногореле с гистерезисом следует использовать блок Relay (рис. 1.6).
/>
Рис. 1.6. Настройки двухпозиционного реле с гистерезисом
Идеальное двухпозиционное реле – это блок Relay с нулевой ширинойзоны гистерезиса (рис. 1.7).
/>
Рис. 1.7. Настройки блока Relay при моделировании идеального
двухпозиционного реле
Усилитель с ограничением изоной нечувствительности – это последовательное соединение трех звеньев: DeadZone, Gain и Saturation (рис. 1.8, 1.9).
/>
Рис. 1.8. Схема моделирования усилителя с ограничением
и зоной нечувствительности
/> />
а б
/>
в
Рис. 1.9. Настройки блоков, входящих в состав усилителя сограничением и зоной нечувствительности: а – блока Dead Zone; б – блокаSaturation; в-блока Gain
Трехпозиционное реле безгистерезиса можно организовать при помощи параллельного соединения двухидеальных двухпозиционных реле (рис. 1.10, 1.11).
/>
Рис. 1.10. Схема моделирования трехпозиционного реле
/> />
а б
Рис. 1.11. Настройки блоков, входящих в составтрехпозиционного реле: а – блока Relay1; б – блока Relay2
Для организации НЭ «Люфт» необходимблок Backlash (рис. 1.12).
/>
Рис. 1.12. Настройки блока Backlash
Значения текущего модельноговремени, а также сигналов на входе и выходе нелинейности следует выводить врабочую область памяти при помощи блоков To Workspace (из библиотеки Sinks), указавв каждом блоке имя переменной, предназначенной для хранения данных в выбранномформате. По завершении моделирования в Simulink сохраненная информация будетиспользована при построении графиков в процессе дальнейшего выполненияфайла-сценария.
При использовании блока To Workspace длявывода в рабочую область памяти текущего модельного времени для этого блоканеобходимо сделать следующие настройки:
ü формат записи (Save format) — Array (массив);
ü имя массива (Variable name) — t;
ü количество точек в массиве (Limit data points to last) неограничивается — inf;
ü такт работы блока (Simple time) наследуется от предыдущего — (-1);
ü прореживание массива (Decimation) неосуществляется — 1 (в память записывается значение времени на каждом такте работыблока).
Окно настроек блока показанона рис. 1.13.
/>
Рис. 1.13. Настройки блока To Workspace, отвечающего за выводв рабочую область памяти текущего модельного времени
Программа работы
Разместить созданные при подготовкефайл-сценарий и файл модели в рабочей директории. Открыть TN_prog.m, проверитьсоответствие записанных в него исходных данных номеру варианта и при помощипеременной config выбрать для моделирования один из нелинейных элементов. Дляобеспечения работы генератора в режиме с затуханием выходного сигнала рассчитыватьзначение коэффициента демпфирования /> всоответствии с формулой (1.2). Значение начальной амплитуды сигнала должнопревышать значение параметра b2 нелинейности в случае усилителя сограничением и зоной нечувствительности, 0 – в случае идеальногодвухпозиционного реле и b – во всех остальных случаях.
Запустить m‑файл на выполнение. Вслучае безошибочной организации файла-сценария и файла модели будет запущеномоделирование в Simulink, а по его завершении построены три результирующихграфика (совмещенные зависимости входного и выходного сигналов НЭ от времени ихарактеристика нелинейности, т.е. зависимость выходного сигнала от значенийвходного). Наличие на графиках изломов является признаком выбора слишкомкрупного шага моделирования; в этом случае следует провести повторныйэксперимент, уменьшив шаг моделирования.
Скопировать информацию, выведенную вграфические окна путем выполнения команды меню «Edit\Copy Figure», после чегосохранить ее при помощи какого-либо приложения, например текстового редактораMS Word.
Установить нулевое значение коэффициентадемпфирования и провести 2–3 эксперимента при разной амплитуде гармоническогосигнала на выходе генератора (0b2 – дляусилителя с ограничением и зоной нечувствительности; 0b – вовсех остальных случаях, кроме идеального двухпозиционного реле, для которогоподобный эксперимент не требуется). При этом значение времени моделированиядолжно быть выбрано таким, чтобы на интервале моделирования «укладывалось» 2–3периода гармонического сигнала. Амплитуда тестового сигнала также не должнабыть выбрана чрезмерно большой, чтобы при совмещении графиков временныхзависимостей выходной сигнал НЭ не «потерялся» на фоне входного. При выполненииэтого пункта следует сохранять только графики временных зависимостей входного ивыходного сигналов НЭ.
Повторить пп. 1.4.1 – 1.4.4 для другихизучаемых в данной лабораторной работе нелинейностей.Содержание отчета
Исходные данные лабораторной работы:название работы, цель работы, характеристики исследуемых НЭ, номер варианта исоответствующие ему значения параметров НЭ и генератора.
Текстфайла лабораторной работы и схема моделирования.
Результатымоделирования каждой нелинейности:
– графикс характеристикой нелинейности (зависимость «выход-вход» НЭ);
– совмещенныеграфики зависимостей входного и выходного сигналов НЭ от времени при затухающемтестовом сигнале и гармоническом тестовом сигнале различной амплитуды.
При оформлении результатовмоделирования необходимо обратить внимание на информационное сопровождениерисунков: оси должны быть снабжены обозначениями, рисунки иметь подрисуночныенадписи. Кроме того, на всех графиках должны быть отмечены характерные точки суказанием числовых значений по осям, т.е. точки, которые связаны с параметрамиНЭ (b, b2, c) и амплитудой А тестового сигнала. Также по графикамследует рассчитать величину фазового сдвига между входным и выходным сигналамиНЭ.
Объяснение полученных результатов по каждому НЭ. Объяснения требуют такие события, какналичие или отсутствие сигнала на выходе НЭ, ограничение сигнала, различие вамплитудах входного и выходного сигналов НЭ, фазовый сдвиг выходного сигнала НЭотносительно входного. Описывающие эти события числовые данные графиков должныбыть подтверждены аналитическим расчетом.
Выводы.
Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатноеили комбинированное оформление.Контрольные вопросы
Колебательное звено: передаточная функция, характеристическоеуравнение, полюсы, названия и взаимосвязь параметров.
Текст программы: назначение переменной config.
Текст программы: из каких соображений выбирается шаг моделированияи время моделирования?
Модель в Simulink: возможные способы организации генератора.
Модель в Simulink: создание усилителя с ограничением и зонойнечувствительности из стандартных блоков библиотеки Nonlinear.
Модель в Simulink: создание трехпозиционного реле без гистерезисаиз стандартных блоков библиотеки Nonlinear. Как организовать трехпозиционное релес гистерезисом?2. Исследованиенелинейных систем методом фазовой плоскости
В работе исследуется нелинейная система с нелинейным элементом(идеальным двухпозиционным реле или реле с гистерезисом) и линейной частьювторого порядка (двумя интеграторами с коэффициентом усиления или инерционнымзвеном и интегратором).
На рис. 2.1 представлена структурная схема системы со следующимиобозначениями: u – входной сигнал системы; e – сигнал на входе нелинейногоэлемента (НЭ); g – сигнал на выходе НЭ; x – выходной сигнал системы; y – егопроизводная (скорость изменения); />–коэффициент обратной связи по скорости (/>);k – статический передаточный коэффициент; c, b – параметры НЭ; /> – передаточная функция линейнойчасти.
/>
Рис. 2.1. Структурная схема системы
Целью работы является изучение процессов в данной системе нафазовой плоскости и во временной области при помощи пакета математическогомоделирования Matlab и его расширения – пакета моделирования динамическихсистем Simulink.Выбор значений параметров нелинейных элементов
и линейной части
Параметры НЭ и линейной части (ЛЧ) следует задавать в соответствиис вариантом, приведённым в табл. 2.1. Номер варианта соответствует номеру бригады.
Таблица 2.1 Значенияпараметров нелинейного элемента и линейной части
Параметры
Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 b 0.1 0.2 0.25 0.25 0.3 0.35 0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 1 1.2 1.3 1.5 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 T 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Подготовительная часть работы
В процессе подготовки к даннойлабораторной работе необходимо эскизно с построением линий переключенияизобразить фазовые портреты для четырех вариантов конфигурации системы,изображенной на рис. 2.1:
1) идеальноедвухпозиционное реле + линейная часть />;
2) идеальноедвухпозиционное реле + линейная часть />;
3) двухпозиционноереле с гистерезисом + линейная часть />;
4) двухпозиционноереле с гистерезисом + линейная часть />;
Для каждой конфигурациипроанализировать, при каких /> возникает скользящий режим.
Подготовить текст программы (m‑файл)и модель в Simulink (mdl‑файл). Как и в предыдущей работе, удобно связатьих друг с другом: переменные, определенные в m‑файле, используются призадании параметров блоков модели, модель запускается на выполнение такжекомандой из m‑файла, а при проведении моделирования в Simulink результатызаписываются в рабочую область памяти (Workspace), откуда считываются припостроении итоговых графиков командами из m‑файла. Пример m‑файла(FP_prog.m) приведен ниже.
%Исследование нелинейной системы методом фазовой плоскости (файлFP_prog.m)
%Подключаемый файл: FP_mod.mdl.
%Используемые обозначениЯ: НЭ – нелинейный элемент, ЛЧ – линейнаЯчасть.
%Очистка всех переменных в памЯти и закрытие всех предыдущих рисунков
clear all
close all
%Задание значениЯ переменной, определЯющей положение переключателЯ
%конфигурации нелинейной системы в файле FP_mod.mdl
%1 – НЭ-идеальное двухпозиционное реле, ЛЧ – k/p^2
%2 – НЭ-идеальное двухпозиционное реле, ЛЧ – k/[(Tp+1) p]
%3 – НЭ-двухпозиционное реле с гистерезисом, ЛЧ – k/p^2
%4 – НЭ – двухпозиционное реле с гистерезисом, ЛЧ – k/[(Tp+1) p]
config = 1;
%Определение значений строковых переменных nlin и lin
switch config
case 1,
nlin = 'ид. 2‑х поз. реле'; lin ='k/p^2';
case 2,
nlin = 'ид. 2‑х поз. реле'; lin ='k/[(Tp+1) p]';
case 3,
nlin = '2‑х поз. реле с гист.'; lin = 'k/p^2';
case 4,
nlin = '2‑х поз. реле с гист.'; lin = 'k/[(Tp+1) p]';
end
%времЯ моделированиЯ, c
t_end = 20;
%ограничение шага моделированиЯ
step_max = 0.005;
%параметры нелинейного элемента
b = 0.1;
c = 1;
%параметры линейной части
k = 1;
T = 0.4;
%коэффициент обратной свЯзи по скорости
alfa = 0.0;
%Начальные условиЯ:
%задаваЯ различные начальные условиЯ длЯ системы, получаем набор
%фазовых траекторий, т.е. фазовый портрет в системе координат Oxy;
%множество начальных условий по х: [x0_min, x0_max];
%множество начальных условий по y: [y0_min, y0_max];
%при переборе начальных условий движемсЯ снизу вверх с шагом dy
%и слева направо с шагом dx
%Назначение диапазонов изменениЯ начальных условий
x0_min = -1.5;
y0_min = -1.5;
x0_max = 1.5;
y0_max = 1.5;
%Шаг при переборе начальных условий
dx = 0.8;
dy = 0.9;
%Исходные значениЯ начальных условий
x0 = x0_min;
y0 = y0_min;
%Задание цветовой гаммы длЯ рисованиЯ фазовых траекторий
%'r' – red, красный;
%'g' – green, зеленый;
%'c' – cyan, голубой;
%'m' – magenta, пурпурный;
%'k' – black, черный;
%'y' – yellow, желтый;
%'b' – blue, синий
color = ['r';'g';'c';'m';'k'];%многоцветнаЯкартинка
%color = 'r'; %одноцветнаЯ картинка
%Подготовка рисунка с фазовым портретом
figure(1)
xlabel('x')
ylabel('y')
title(['Фазовый портрет. НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c),'; ЛЧ – ',…
lin, ', k=', num2str(k), ', T=', num2str(T),'; alfa=', num2str(alfa)])
hold on
grid on
%вызов модели
open_system ('FP_mod.mdl');
%начальнаЯ установка номера цвета
i=0;
%перебор начальных условий; при каждом варианте начальных условийзапускаетсЯ
%моделирование, а после его окончаниЯ строитсЯ фазоваЯ траекториЯ
while x0
i = i+1; %номер текущего цвета
if i == length(color)+1
i=1;
end
x0_ = x0; %запоминание значений НУ
y0_ = y0; %длЯ текущей фазовой траектории
sim ('FP_mod'); %запуск моделированиЯ
gr1 = plot (x, y); %x и y – массивы из workspace
set (gr1, {'Color'}, {color(i)});
y0 = y0 + dy;
if y0 > y0_max
y0 = y0_min;
x0 = x0 + dx;
end
end
%рисование линии / линий переключениЯ
y1 = [-2.5; 2.5];
if (config == 1) | (config == 2)
x1 = – alfa.*y1; %уравнение линии переключениЯ, НЭ – ид. 2‑хпоз. реле
gr2 = plot (x1, y1);
set (gr2, {'Color'}, {'b'});
else
x11 = – alfa.* y1 + b; %уравнениЯ линий
x12 = – alfa.* y1 – b; %переключениЯ, НЭ – 2‑х поз. реле сгист.
gr2 = plot (x11, y1);
set (gr2, {'Color'}, {'b'});
gr2 = plot (x12, y1);
set (gr2, {'Color'}, {'b'});
end
%построение процессов во времени, соответствующих
%последней фазовой траектории
figure(2)
xlabel ('t, cек')
ylabel ('x, y')
title(['x(t) и y(t). НЭ – ',nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c), '; ЛЧ – ',…
lin, ', k=', num2str(k), ', T=', num2str(T),'; alfa=', num2str(alfa),…
'; x0=', num2str (x0_), '; y0=', num2str(y0_)])
hold on
grid on
gr3 = plot (time, x);
set (gr3, {'Color'}, {'r'});
gr4 = plot (time, y);
set (gr4, {'Color'}, {'b'});
legend ('x(t)', 'y(t)', 4);
Все команды Matlab,использованные при составлении данной программы, описаны в приложении.
В m‑файле необходимозадать значения констант – параметров нелинейностей и линейной части, значение коэффициентаобратной связи по скорости, задать шаг и время моделирования, диапазоны измененияначальных условий для сигналов х и у, шаг при их переборе и их исходныезначения, а также значение переменной config, управляющей конфигурациеймодели.
В процессе выполнения m‑файлапроисходит подготовка графического окна для вывода фазового портрета, вызов ициклический запуск модели нелинейной системы при различных начальныхусловиях по x и y. По результатам моделирования строятся фазовый портрет системы ивременные процессы х(t) и y(t), соответствующие последней из воспроизведенныхна фазовом портрете фазовых траекторий. Для получения рисунка с изображениемтолько одной фазовой траектории необходимо задать одинаковые значения дляграниц изменения начальных условий по х и у.
При составлении модели в Simulink используются элементы библиотекSimulink (Math, Nonlinear, Sinks и Sources) и Simulink Extras (AdditionalLinear), доступные через Simulink Library Browser. Схема моделирования изфайла-примера FP_mod.mdl представлена на рис. 2.2.
Интегрирующие и инерционные звенья с возможностью установкиначальных условий по выходу находятся в дополнительной библиотеке Simulink — SimulinkExtras\Additional Linear.
Управление переключателем конфигурации системы осуществляетсячерез переменную config, значение которой задается в m‑файле.
Как и в предыдущей работе, внастройках параметров моделирования следует указывать специальнопредназначенные для этой цели переменные, значения которых заданы вфайле-сценарии. Параметры моделирования должны быть указаны в окне «Simulationparameters», доступном через меню Simulation\Simulation parameters окна, в котором открыт mdl‑файл (рис. 2.3).
/>
Рис. 2.2. Схема моделирования
/>
Рис. 2.3. Параметры моделирования
Установку параметров различных функциональных блоков моделипоясняют рис. 2.4 – 2.6. В настройках блоков используютсяпеременные, заданные в m‑файле. Такой подход помогает экономить время принастройке и перенастройке модели.
/>
Рис. 2.4. Параметры блока To Workspace
/> />
а б
Рис. 2.5. Параметры нелинейных элементов модели:
а – идеального двухпозиционного реле; б – двухпозиционного реле с гистерезисом
/> />
а б
/>
в
Рис. 2.6. Параметры блоков линейной части системы: а –интегрирующего звена; б – инерционного звена; в-интегратора
Выполнение работы
Получите и зафиксируйте фазовый портретсистемы с идеальным двухпозиционным реле и линейной частью /> без обратной связи поскорости. Для одного варианта начальных условий получите изображения фазовойтраектории и процессов во времени x(t) и y(t).
Введите отрицательную обратную связь поскорости (a/>0.1 – 0.5) так, чтобыпри этом не происходило возникновение скользящего режима. Зафиксируйте фазовыйпортрет, фазовую траекторию и временные процессы.
Увеличьте значение a до величины, прикоторой в системе возникает скользящий режим и изображающая точка перемещаетсяпо линии переключения. Зафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию ивременные процессы.
Измените конфигурацию модели системы,активировав комбинацию блоков «идеальное двухпозиционное реле + линейная часть />«, после чего повторите действияпп. 2.4.1 – 2.4.3.
Измените конфигурацию модели системы,активировав комбинацию блоков «двухпозиционное реле с гистерезисом + линейнаячасть />« и отключив обратную связьпо скорости. Зафиксируйте фазовый портрет системы, при этом диапазон измененияи шаг изменения начальных условий следует задать таким образом, чтобы получитьфазовые траектории, берущие начало как в области между линиями переключения (/>), так и вне ее (/>). Для одного вариантаначальных условий получите изображения фазовой траектории и процессов вовремени x(t) и y(t).
Введите в модель обратную связь поскорости (a/>0.1 – 0.5) так, чтобыпри этом не происходило возникновение скользящего режима. Зафиксируйте фазовыйпортрет системы, обеспечив такие варианты начальных условий, при которыхфазовые траектории начинаются как в области между линиями переключения, так ивне ее: а) />; б) />. Постройте две фазовыетраектории и соответствующие им процессы во времени для таких вариантовначальных условий.
Увеличьте a до величины, при которой в системе возникает скользящий режим иизображающая точка перемещается в данном случае между двумя линиямипереключения. Зафиксируйте фазовый портрет, две фазовых траектории исоответствующие им временные процессы аналогично п. 2.4.6.
Измените конфигурацию модели системы,активировав комбинацию блоков «двухпозиционное реле с гистерезисом + линейнаячасть />«. Зафиксируйте фазовыйпортрет, фазовую траекторию и временные процессы при отсутствии обратной связипо скорости.
Введите обратную связь по скорости изафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию и временные процессы как приотсутствии, так и при наличии скользящего режима.
Содержание отчёта
Вариант задания, схемы моделирования,цель работы.
Подготовительная часть: эскизы фазовыхпортретов и сопровождающие расчеты (дифференциальные уравнения, описывающиелинейную часть; уравнения, описывающие нелинейные элементы; уравнения фазовыхтраекторий и линий переключения).
Результаты моделирования (фазовыепортреты, фазовые траектории, временные процессы x(t) и y(t)).
Анализ результатов (нахождениесоответствия между видами фазовых траекторий и процессов во времени, анализвлияния коэффициента обратной связи на вид фазового портрета, на возникновениескользящего режима в системе и др.). Выводы (аргументированное подтверждениесоответствия предварительных расчетов и результатов эксперимента).
Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатноеили комбинированное оформление.
Контрольные вопросы
Определение фазовой траектории ифазового портрета.
Определение линии переключения. От чегозависит наклон линии (линий) переключения?
Определение скользящего режима. Условияего появления.
Предельный цикл: определение, условиявозникновения и графическое изображение на фазовой плоскости.
Определение системы, устойчивой / неустойчивойв малом / большом.
Приведите пример фазовой траектории инайдите соответствующий ему процесс во времени.
В чем схожесть фазовых портретовустойчивых (неустойчивых, на границе устойчивости) систем?3. Исследованиенелинейных систем методом гармонического баланса
В работе необходимо провести исследование нелинейной системы,приведенной на рис. 3.1, средствами пакета Matlab и его расширения –пакета Simulink. Используются следующие обозначения:
НЭ – нелинейныйэлемент: двухпозиционное реле с гистерезисом (рис. 3.2, а),трехпозиционное реле без гистерезиса (рис. 3.2, б) или люфт (рис. 3.2,в);
Wл (р) – передаточнаяфункция линейной части (ЛЧ); в табл. 3.1 приведены возможные вариантыпередаточной функции.
/>
Рис. 3.1. Структурная схема системы
/>/>/>
а б в
Рис. 3.2. Характеристики нелинейных элементов: а – двухпозиционноереле с гистерезисом, б – трехпозиционное реле без гистерезиса, в-люфт
Таблица 3.1 Варианты линейной части
Номер ЛЧ
Передаточная функция ЛЧ 1
/> 2
/> 3
/> 4
/>
Методгармонического баланса позволяет определить, могут ли в нелинейной системевозникнуть периодические колебания, и если да, то оценить их амплитуду Апи частоту wп, а также оценить устойчивость этих периодических режимов.Метод применяется, если выполняется гипотеза фильтра, т.е. линейная частьобеспечивает подавление высокочастотных составляющих входного негармоническогосигнала, который поступает с выхода нелинейного элемента. Условиемвозникновения периодического режима является прохождение эквивалентной частотнойпередаточной функции через критическую точку (-1, j0), т.е. выполнениеравенства
/>,
которое для решения представляется в более удобном виде:
/>.
Целями работы являются: графическое решение данного уравнения;определение, если возможно, Ап и wп, оценка устойчивости периодических режимов; моделированиенелинейной системы и определение параметров колебаний по полученному процессу;проверка выполнения гипотезы фильтра.
Подготовительная часть работы
По данным рис. 3.2и табл. 3.1 и 3.2 в соответствии со своим вариантом выбрать:
1) передаточнуюфункцию линейной части и значения ее параметров;
2) типынелинейных элементов и значения их параметров.
Эксперименты будут проводиться для выбранного варианта линейнойчасти и нелинейности сначала первого типа, а затем второго.
Для каждого типанелинейности своего варианта подготовьте на основании справочных данныхвыражения для коэффициентов гармонической линеаризации q(A) и q1(A) и запишитеэквивалентный комплексный передаточный коэффициент />.
Запишитекомплексный передаточный коэффициент линейной части своего варианта Wл(jw), постройте (эскизно) ее ЛАЧХ и ФЧХ, после чегодля каждого типа нелинейности приведите совместные характеристики линейнойчасти (АФХ линейной части Wл(jw)) и нелинейности />.
Таблица 3.2 Значения параметров линейной части и нелинейных элементов
Номер
варианта 1 2 3 4 5 6 7 8
Wл(р)
Wл1
Wл2
Wл3
Wл4
Wл1
Wл2
Wл3
Wл4
Типы НЭ
НЭ1,
НЭ2
НЭ2,
НЭ3
НЭ1,
НЭ3
НЭ1,
НЭ3
НЭ2,
НЭ3
НЭ1,
НЭ3
НЭ1,
НЭ2
НЭ1,
НЭ3
Параметры
k 6 5 3 4 15 2 10 8
T1 0.1 0.2 10 0.4 0.5 0.6 9 0.8
T2 0.2 0.4 5 0.8 1.0 1.2 6 1.6
T3 1 - 0.1 - 5 - 0.2 -
b 0.1 0.2 0.25 0.25 0.3 0.35 0.4 0.5
c 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Номер варианта 9 10 11 12 13 14 15 16
Wл(р)
Wл1
Wл2
Wл3
Wл4
Wл1
Wл2
Wл3
Wл4
Типы НЭ
НЭ1,
НЭ3
НЭ1,
НЭ2
НЭ1,
НЭ2
НЭ1,
НЭ3
НЭ1,
НЭ2
НЭ2,
НЭ3
НЭ1,
НЭ3
НЭ1,
НЭ3
Параметры
k 15 10 9 6 7 8 5 7
T1 0.9 1.0 7 0.6 0.2 0.3 9 0.7
T2 1.8 2.0 5 1.2 0.3 0.5 4 1.5
T3 9 - 0.3 - 1.5 - 0.2 -
b 0.5 1.0 0.5 0.35 0.3 0.35 0.35 0.45
c 5 6 5.5 3 2 2.5 3 4
Проведите качественное исследованиесистемы: оцените возможность возникновения периодических режимов и ихустойчивость. Там, где это возможно, запишите выражения для критическогокоэффициента усиления ЛЧ, при котором в нелинейной системе возникают автоколебания.
Изучите текст программы (файл GB_prog.m)и структуру моделей (файлы GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl).
Графический расчет параметров периодических режимов cиспользованием метода гармонического баланса производится по сценарию,записанному в файле GB_prog.m. Моделирование нелинейной системы осуществляетсяпри помощи файлов GB_prog.m и GB_mod.mdl, а анализ спектрального составапериодического режима на выходе линейной части – при помощи файлов GB_prog.m иR_Fourie.mdl.
Cодержание файла GB_prog.m:
%Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса
%Используемые файлы: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl.
%Используемые обозначениЯ: НЭ – нелинейный элемент, ЛЧ – линейнаЯчасть.
%Очистка всех переменных в памЯти
clear all
%закрытие всех предыдущих рисунков
set (0,'ShowHiddenHandles', 'on')
delete (get(0,'Children'))
%Задание значениЯ переменной, определЯющей положение переключателЯ
%конфигурации нелинейной части в файле GB_mod.mdl
%1 – НЭ-двухпозиционное реле с гистерезисом
%2 – НЭ-трехпозиционное реле без гистерезиса
%3 – НЭ-люфт
config_nlin = 2;
%Задание значениЯ переменной, определЯющей положение переключателЯ
%конфигурации линейной части в файле GB_mod.mdl
%1 – ЛЧ – Wл1 (p)=k/[(T1*p+1) (T2*p+1) (T3p+1)]
%2 – ЛЧ – Wл2 (p)=k/[(T1*p+1) (T2*p+1) p]
%3 – ЛЧ – Wл3 (p)=[k (T1*p+1)]/[(T2*p‑1)^2 (T3*p+1)^2]
%4 – ЛЧ – Wл4 (p)=[k (T1*p+1)]/[(T2*p‑1) p]
config_lin = 2;
k = 5;
T1 = 0.1;
T2 = 0.2;
T3 = 1;
b = 0.1;
c = 1;
%Графический расчет параметров периодических режимов c использованием
%метода гармонического баланса
%описание линейной части
switch config_lin
case 1,
%начальное значение, шаг и конечное значение частоты (в рад)
w = [0.02:0.01:100];
%комплексный передаточный коэффициент ЛЧ
W_lin = k./ ((T1*j*w+1).* (T2*j*w+1).*(T3*j*w+1));
%определение значениЯ строковой переменной lin
lin = 'Wл1 (p)';
case 2,
%начальное значение, шаг и конечное значение частоты (в рад)
w = [2:0.01:100];
%комплексный передаточный коэффициент ЛЧ
W_lin = k./ ((T1*j*w+1).* (T2*j*w+1).*(j*w));
%определение значениЯ строковой переменной lin
lin = 'Wл2 (p)';
case 3,
%начальное значение, шаг и конечное значение частоты (в рад)
w = [0.01:0.01:300];
%комплексный передаточный коэффициент ЛЧ
W_lin = (k*(T1*j*w+1))./ ((T2*j*w‑1).^2.*(T3*j*w+1).^2);
%определение значениЯ строковой переменной lin
lin = 'Wл3 (p)';
case 4,
%начальное значение, шаг и конечное значение частоты (в рад)
w = [1:0.01:100];
%комплексный передаточный коэффициент ЛЧ
W_lin = (k*(T1*j*w+1))./ ((T2*j*w‑1).*(j*w));
%определение значениЯ строковой переменной lin
lin = 'Wл4 (p)';
end
%описание ЛЧ как частотной характеристики через W_lin(jw)
SYSL = frd (W_lin, w);
%–
%Описание нелинейной части
switch config_nlin
case 1,
%начальное значение, шаг и конечное значение амплитуды на входе НЭ
A = [b:0.01:3.0];
%коэффициенты гармонической линеаризации
q = 2*c/(pi*b).* ((2*b./A).* sqrt (1 – (b./A).^2));
q1 = -2*c/(pi*b).* 2*(b./A).^2;
%определение значениЯ строковой переменной nlin
nlin = '2‑х поз. реле с гист.';
case 2,
%начальное значение, шаг и конечное значение амплитуды на входе НЭ
A = [b+0.0001:0.005:b*sqrt(2)];
A_ = [b*sqrt(2):0.005:3.0];
%коэффициенты гармонической линеаризации
q = (4*c./ (pi*A)).* sqrt (1 – (b./A).^2);
q1 = 0;
q_ = (4*c./ (pi*A_)).* sqrt (1 – (b./A_).^2);
q1_ = 0;
%эквивалентный комплексный передаточный коэффициент W_nlin(jA) НЭ
W_nlin_ = q_ + j*q1_;
%характеристика -1/W_nlin(jA)
S_ = -1./W_nlin_;
%описание НЭ как амплитудной характеристики через -1/W_nlin(jA)
SYSN_ = frd (S_, A_);
%определение значениЯ строковой переменной nlin
nlin = '3‑х поз. реле без гист.';
case 3,
%начальное значение, шаг и конечное значение амплитуды на входе НЭ
A = [b+0.001:0.01:100];
%коэффициенты гармонической линеаризации
alfa = asin (1–2*b./A);
q = (1/pi)*(pi/2+alfa+0.5*sin (2*alfa));
q1 = – (4*b).* (1‑b./A)./ (pi*A);
%определение значениЯ строковой переменной nlin
nlin = 'люфт';
end
%эквивалентный комплексный передаточный коэффициент W_nlin(jA) НЭ
W_nlin = q + j*q1;
%характеристика -1/W_nlin(jA)
S = -1./W_nlin;
%описание НЭ как амплитудной характеристики через -1/W_nlin(jA)
SYSN = frd (S, A);
%–
%ВизуализациЯ
%Построение W_lin(jw) и -1/W_nlin(jA) при помощи plot (общий вид)
figure(1)
gr_W_lin = plot (real(W_lin), imag (W_lin));
set (gr_W_lin, {'Color'}, {'r'});
hold on
gr_S = plot (real(S), imag(S));
set (gr_S, {'Color'}, {'b'});
title(['Расчет гарм. баланса. НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c),'; ЛЧ – ',…
lin, ', k=', num2str(k), ', T1=', num2str(T1),', T2=', num2str(T2),…
', T3=', num2str(T3)])
xlabel ('re(W lin), re(S)');
ylabel ('im(W lin), im(S)');
legend ('W lin(jw)', 'S(jA)', 0);
grid on
%–
%построение W_lin(jw) и -1/W_nlin(jA) при помощи LTI Viewer
if config_nlin == 2
ltiview({'nyquist'}, SYSL, '-b', SYSN, '-r')
ltiview({'nyquist'}, SYSL, '-b', SYSN_, '-r')
else
ltiview({'nyquist'}, SYSL, '-b', SYSN, '-r')
end
%–
%Завершение графического расчета параметров периодических режимов
%c использованием метода гармонического баланса
%====================================================
%^^^^^^^^^^^^^^Моделирование нелинейной системы(НС)^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
% с определением параметров автоколебаний
%задание времени моделированиЯ
t_end = 15;
%ограничение шага моделированиЯ сверху
step_max = 0.005;
%задание амплитуды сигнала на выходе ЛЧ в начальный момент времени
y0 = 0.5;
%вызов модели
open_system ('GB_mod.mdl');
%запуск модели
sim ('GB_mod');
%считывание фактических параметров моделированиЯ
Max_Step_Size = get_param ('GB_mod', 'MaxStep');
Stop_Time = get_param ('GB_mod', 'StopTime');
%извлечение последнего элемента из векторов vec_period и vec_amp
%(определение установившихсЯ значений периода и амплитудыавтоколебаний
%с использованием данных, записанных в рабочую область памЯти)
clc % очистка командного окна
period = vec_period (length(vec_period));
clear vec_period;
amp_kol = vec_amp (length(vec_amp))%вывод в командное окно
clear vec_amp;
%расчет частоты сигнала на выходе ЛЧ (используетсЯ длЯ последующего
%расчета амплитуды гармоник)
frequency = 1/period;
w_kol = 2*pi*frequency %вывод в командное окно
%Построение процесса во времени на выходе ЛЧ
figure(2)
gr = plot (t_and_y(:, 1), t_and_y(:, 2));
set (gr, {'Color'}, {'r'});
title(['Процесс y(t). НЭ – ',nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c), '; ЛЧ – ',…
lin, ', k=', num2str(k), ', T1=', num2str(T1),', T2=', num2str(T2),…
', T3=', num2str(T3), ', y0=', num2str(y0)])
xlabel(['t, cек Амп.кол.=', num2str(amp_kol), ', Wкол=', num2str (w_kol), 'c^-1']);
ylabel('y');
grid on
%–
%закрытие модели
%close_system ('GB_mod', 1)
%=====================================================
%^^^^^^^^^^^^^^^^Анализ спектра автоколебательного процесса^^^^^^^^^^^^^^
%вызов программы, определЯющей амплитуды гармоник сигнала навыходе ЛЧ
open_system ('R_Fourie.mdl');
%транслЯциЯ параметров моделированиЯ НС 'GB_mod.mdl' в файлR_Fourie.mdl
set_param ('R_Fourie', 'MaxStep', Max_Step_Size);
set_param ('R_Fourie', 'StopTime', Stop_Time);
%запуск программы, вычислЯющей амплитуды гармоник
sim ('R_Fourie');
%закрытие программы
%close_system ('R_Fourie', 1)
%извлечение последнего элемента из каждого вектора, содержащегоамплитуды
%гармоник (определение установившихсЯ значений амплитуд гармоник с
%использованием данных, записанных в рабочую область памЯти)
magn_0=vec_magn_0 (length(vec_magn_0));
clear vec_magn_0;
magn_1=vec_magn_1 (length(vec_magn_1));
clear vec_magn_1;
magn_2=vec_magn_2 (length(vec_magn_2));
clear vec_magn_2;
magn_3=vec_magn_3 (length(vec_magn_3));
clear vec_magn_3;
magn_4=vec_magn_4 (length(vec_magn_4));
clear vec_magn_4;
magn_5=vec_magn_5 (length(vec_magn_5));
clear vec_magn_5;
%Проверка гипотезы фильтра
filtration = magn_1/magn_3
%построение гистограммы
figure(3);
bar([0 1 2 3 4 5], [magn_0 magn_1 magn_2magn_3 magn_4 magn_5]);
grid on
title(['Гарм. состав y(t). НЭ – ',nlin, ', b=', num2str(b),…
', c=', num2str(c), '; ЛЧ – ',lin, ', k=', num2str(k), ', T1=', num2str(T1),…
', T2=', num2str(T2), ', T3=', num2str(T3)])
xlabel(['Номер гармоники ГФ: A1/A3=', num2str(filtration)]);
ylabel ('Амплитуда гармоники');
Все команды Matlab,использованные при составлении данной программы, описаны в приложении.
В m‑файле задаются значения параметров линейной части инелинейного элемента, а также начальные условия по выходу линейной части,указывается время моделирования и шаг моделирования.
Для проведения графического расчета параметров периодическихрежимов m‑файл содержит описания ЛЧ (через комплексный передаточныйкоэффициент) и нелинейности (через коэффициенты гармонической линеаризации иэквивалентный комплексный передаточный коэффициент). Совместное воспроизведениехарактеристик Wл(jw) и /> осуществляетсядвумя способами: при помощи команды plot и команды ltiview. Первая позволяетсовместно вывести на рисунок указанные характеристики без выводакомплексно-сопряженных характеристик Wл(-jw) и />, но не позволяет по точкеих пересечения определить частоту и амплитуду периодических режимов. При помощивторой одновременно выводятся все четыре характеристики, но имеется возможностьопределения частоты и амплитуды по точке пересечения: команда zoom контекстногоменю, вызываемого правой клавишей мыши, позволяет увеличить нужную областьрисунка, после чего нужно поместить указатель мыши на требуемую характеристикуи нажать на ее левую клавишу – на графике появятся отметка и информационноеокно, которые можно переместить мышью в точку пересечения. Для случая системы сидеальным трехпозиционным реле предусмотрено раздельное построениехарактеристики /> до и после точкиэкстремума при помощи двух команд ltiview.
После завершения графического расчета производится вызов и запускмодели нелинейной системы (GB_mod.mdl). По окончании моделирования строитсявременной процесс y(t) на выходе линейной части, определяются частота иамплитуда автоколебаний (их значения можно увидеть в командном окне и насозданном рисунке).
На этапе анализа спектрального состава периодического режима навыходе линейной части производится вызов и запуск модели (R_Fourie.mdl),определяющей амплитуды гармоник сигнала y(t), записанного в рабочую областьпамяти, и строится результирующая гистограмма «Номер гармоники – амплитудагармоники». В командное окно и окно с гистограммой выводится отношение амплитудпервой и третьей гармоник, что позволяет сделать заключение о выполнении /невыполнении гипотезы фильтра.
При составлении моделей в Simulink (GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl)используются элементы библиотек Simulink (Math, Linear, Nonlinear, Signals &Systems, Sinks и Sources), Simulink Extras (Additional Linear) и Power SystemBlockset (Extra Library\Measurements), доступные через Simulink Library Browser(рис. 3.3 – 3.6). В модели нелинейной системы GB_mod.mdl, показанной нарис. 3.3, предусмотрены переключатели конфигурации линейной и нелинейнойчастей, управление ими осуществляется соответственно через переменныеconfig_lin и config_nlin, значения которых задаются в m‑файле GB_prog.m.
Параметры моделирования должны быть указаны в окне Simulationparameters, доступном через меню Simulation\Simulation parameters окна, в котором открыт mdl‑файл (рис. 3.7,3.8).
Установку параметров различных функциональных блоков моделейGB_mod.mdl и R_Fourie.mdl поясняют рис. 3.9 – 3.15.
/>
Рис. 3.4. Организация трехпозиционного реле без гистерезиса
(файл GB_mod.mdl)
/>/>/>/>
/>
Рис. 3.5. Подсистема определения периода и амплитудыавтоколебаний (файл GB_mod.mdl)
/>
Рис. 3.6. Модель в Simulink, вычисляющая амплитуду гармоник всоставе периодического процесса на выходе линейной части (файл R_Fourie.mdl)
/>
Рис. 3.7. Параметры моделирования для файла GB_mod.mdl
/>
Рис. 3.8. Параметры моделирования для файла R_Fourie.mdl
/> />
а б
Рис. 3.9. Параметры блоков в составе трехпозиционного релебез гистерезиса (файл GB_mod.mdl): а – блока Relay1; б – блока Relay2
/> />
а б
Рис. 3.10. Параметры нелинейностей (файл GB_mod.mdl): а –люфта; б – двухпозиционного реле с гистерезисом
/> />
а б
Рис. 3.11. Параметры блоков линейной части (файл GB_mod.mdl):а – инерционного звена; б – интегрирующего звена
/>
Рис. 3.12. Параметры блока To Workspace (файл GB_mod.mdl)
/> />
а б
Рис. 3.13. Параметры блоков подсистемы определения периода иамплитуды автоколебаний (файл GB_mod.mdl): а – блока ограничения сигналаSaturation2; б – блока памяти Memory1
/>
Рис. 3.14. Параметры блока Fourier (файл R_Fourie.mdl)
/>
Рис. 3.15. Параметры блока From Workspace (файл R_Fourie.mdl)
Выполнение работы
Модернизируйте файл сценария (m‑файл)в соответствии со своим вариантом: установите значения переменных конфигурации,т.е. выберите передаточную функцию линейной части и первую из двух нелинейностейвашего варианта; установите заданные значения параметров ЛЧ и нелинейности.
Запустите m‑файл на исполнение.Зафиксируйте совместно воспроизведенные командой plot частотную характеристикулинейной части Wл(-jw) и характеристику нелинейности –1/Wн(jA). По точкам ихпересечения определите Ап и wп, используя LTI Viewer.
Оцените устойчивость найденныхпериодических режимов, задавая различные начальные условия (н.у.) по выходу ЛЧ(для каждого периодического режима достаточно двух значений из окрестности значенияАп – y(0)Ап). Следуетпровести несколько экспериментов, запуская m‑файл с разными значениямин.у. и фиксируя процессы во времени y(t).
Для устойчивого периодического режимазафиксируйте значения амплитуды и частоты автоколебаний, гистограмму с ихгармоническим составом и соотношение амплитуд первой и третьей гармоник, приэтом с помощью осциллографа «Гармоники», находящегося в модели R_Fourie.mdl,проконтролируйте достижение амплитудами гармоник своих установившихся значений,т.е. убедитесь в том, что выбранное время моделирования является достаточнымдля завершения переходных процессов в системе; в противном случае увеличьте егои повторите эксперимент.
Найдите критический коэффициент усиленияЛЧ: подберите такое значение параметра k, при котором точка пересеченияхарактеристик нелинейности и ЛЧ начинает исчезать. Сравните с теоретическирассчитанным значением.
Выберите вторую из двух нелинейностейвашего варианта, установив соответствующее значение конфигурационной переменнойconfig_nlin в m‑файле, и повторите действия из пп. 3.3.2 — 3.3.5. Содержание отчёта
Вариант задания, схемы моделирования,цель работы.
Материалы, подготовленные по пп. 3.2.2- 3.2.4.
Результаты моделирования (совмещенныехарактеристики нелинейности и линейной части, построенные на комплекснойплоскости, с указанием значений параметров периодических режимов, найденных поточкам пересечения; процессы во времени y(t) при различных вариантах начальныхусловий с указанием значений параметров установившихся периодических режимов;гистограммы гармонического состава установившихся периодических режимов).
Анализ результатов (нахождениесоответствия между результатами предварительной подготовки, графическогорасчета по методу гармонического баланса и моделирования нелинейной системы вотношении устойчивости / неустойчивости периодических режимов, в отношениизначения амплитуды и частоты автоколебаний, значения критического коэффициента).
Выводы (сделать заключение о выполнении /невыполнении гипотезы фильтра, о погрешностях определения значений параметровпериодических режимов по методу гармонического баланса).
Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатноеили комбинированное оформление. Контрольные вопросы
Метод гармонического баланса:назначение, условия применения, основное уравнение. Суть метода гармоническойлинеаризации и гипотезы фильтра. Метод Д-разбиений: основные положения. Определениекомплексного передаточного коэффициента нелинейного звена.
4. Синтездискретной системы с максимальным быстродействием
В работе необходимо с использованием методов модального синтезапровести проектирование цифрового алгоритма управления непрерывным объектом изусловий обеспечения максимального быстродействия и единичной статики покомандному сигналу.
Методы модального синтеза основаны на обеспечении желаемогорасположения собственных чисел матрицы динамики системы. Из теории известно,что в линейных импульсных системах можно обеспечить окончание переходныхпроцессов за минимальное время, равное произведению порядка дифференциальныхуравнений объекта на период квантования по времени. Для этого все собственныечисла матрицы динамики системы должны быть нулевыми. Если не все координатывектора состояния объекта являются измеримыми, то в алгоритм управления необходимоввести наблюдатель с целью получить оценки неизмеримых координат векторасостояния. Собственные числа наблюдателя в рассматриваемой задаче такжецелесообразно задать равными нулю. Управляющий сигнал, который будет подан навход объекта управления, вычисляется как произведение оценки вектора состоянияобъекта на матрицу обратной связи, полученную в результате модального синтеза.
Целями работы являются:
ü закрепление знаний потеории модального синтеза;
ü ознакомление свозможностями пакета MATLAB в части модального синтеза;
ü анализ процессов приналичии и при отсутствии наблюдателя;
ü анализ грубости(чувствительности) системы по отношению к параметрам линейной модели объекта;
ü анализ быстродействияпри наличии ограничений сигнала управления.
Подготовительнаячасть работы
По данным табл. 4.1 и в соответствии спредложенным преподавателем вариантом и значениями параметров проанализироватьсвойства объекта.
Таблица 4.1 Варианты передаточнойфункции объектаНомер варианта
Wob(p) Параметры Номер варианта
Wob(p) Параметры 1
/> 6
/>
T1=0.2;
T2=0.1;
ξ = 0.1 2
/>
T1=0.1 7
/>
Т1=2;
T2=1;
T3=1 3
/>
T1=2; ξ=0.1 8
/>
T1=0.2;
ξ=0.1 4
/>
T1=2;
T2=1 9
/>
T1=2;
T2=1 5
/>
T1=5 10
/>
T1=2;
ξ=0.1
Изучите текст программы (файл SSOpt_d.m) и структуру моделейSSLOpt_dSim.mdl (система с обратной связью по вектору состояния) иSSLKOpt_dSim.mdl (система с наблюдателем).
Содержание файла SSOpt_d.m:
%Синтез дискретной системы с максимальным быстродействием
%–
clc
close_system ('SSLOpt_dSim', 1); %Закрытие mdl‑файла
close_system ('SSLKOpt_dSim', 1); %Закрытие mdl‑файла
clear all
close all
set (0, 'ShowHiddenHandles', 'on')
delete (get(0,'Children'))
%Параметры моделированиЯ
hMO = 0.01; %Шаг моделированиЯ объекта, с
T0 = 0.35; %Шаг работы цифровой части, с
T_end = 8% 2.5; %ВремЯ окончаниЯ моделированиЯ, с
top_lim_u = 5000; %заданное ограничение управлениЯ сверху
low_lim_u = -5000; %заданное ограничение управлениЯ снизу
%ОбъЯвление комплексной переменной p
p = zpk('p');
%Передаточная функция объекта
% (непрерывной части системы)
%Параметры передаточной функции непрерывной части
T1 = 0.2; T2 = 0.1; T3 = 1; ksi = 0.1;
%Варианты передаточной функции непрерывной части
disp ('ПередаточнаЯ функциЯ непрерывной части')
Wn_1 = 1/p^2;
Wn_2 = 1/((T1*p+1)^2);
Wn_3 = 1/(T1^2*p^2+2*ksi*T1*p+1);
Wn_4 = (T1*p+1)/(p*(T2*p+1));
Wn_5 = 1/(p*(T1*p‑1));
Wn_6 =1/(p*(T1*p+1)^3*(T2^2*p^2+2*ksi*T2*p+1));
Wn_7 = (T1*p+1)/(p*(T2*p‑1)*(T3*p+1));
Wn_8 = 1/(p*(T1^2*p^2+2*ksi*T1*p+1));
Wn_9 = 1/((T1^2*p^2+1)*(T2*p+1));
Wn_10 = 1/(p*(T1^2*p^2–2*ksi*T1*p+1));
%Выбор варианта передаточной функции
Wn = Wn_10
%:
%Как получить различную информацию об объекте
%(напоминание о видах операторов, используемых для этого)
disp ('Нули, полюсы и К передаточной функции непрерывногообъекта')
[zn_ob, pn_ob, kn_ob] = zpkdata (Wn, 'v')
disp ('Коэффициенты полиномов числителЯ R и знаменателЯ Qпередаточной функции')
[num_n_ob, den_n_ob] = tfdata (Wn, 'v')
disp ('Матрицы непрерывного объекта')
[An_ob, Bn_ob, Cn_ob, Dn_ob] =ssdata(Wn)
n_ob = size (An_ob);%n_ob(1) – порЯдок непрер. объекта
%:
%Переход к дискретному объекту
sys_n_ob = ss(Wn); %Переход к вект.-матр. описанию объекта
sys_d_ob = c2d (sys_n_ob, T0); %Переход к дискр. объекту ввект.-матр. форме
[Ad_ob, Bd_ob, Cd_ob, Dd_ob] = ssdata (sys_d_ob) %Матрицыдискретного объекта
%Переходные функции непрерывного и дискретизированного объекта
ltiview ('step', sys_n_ob, 'r-', sys_d_ob,'b-');
grid on
%:
%Синтез управлениЯ длЯ дискретной системы
disp ('Желаемые полюсы замкнутой дискретной системы')
Pd = zeros (1, n_ob(1))%Нулевой вектор-строка
disp ('Матрица оптимальной обратной свЯзи дискретной системы')
Ld = acker (Ad_ob, Bd_ob, Pd)
%Ld = place (Ad_ob, Bd_ob, Pd) – не работает при кратных полюсахзамкнутой системы
%:
%Матрицы замкнутой дискретной системы
%Матрица динамики
Ad_z = Ad_ob-Bd_ob*Ld;
%Матрицы B, C, D
Bd_z = Bd_ob;
Cd_z = Cd_ob;
Dd_z = Dd_ob;
%:
%Проверка полюсов замкнутой системы
sys_d_z = ss (Ad_z, Bd_z, Cd_z, Dd_z);%Описание замкн. дискр. сист-мыв вект.-матр. форме
disp ('Фактические полюсы замкнутой дискретной системы (сравнить сжелаемыми)')
poles_sys_d_z = eig (sys_d_z)
%:
%^Вычисление коэфф-та при командном сигнале, обеспечивающегоединичную статику
%Векторы коэффициентов полиномов числителЯ и знаменателЯдискретной передаточной
%функции замкнутой системы
[num_d_z, den_d_z] = tfdata (sys_d_z, 'v');
disp ('Коэффициент при командном сигнале, обеспечивающий единичнуюстатику')
%Величина, обратнаЯ сумме коэффициентов числителЯ дискретной ПФзамкнутой системы
Kv = 1/sum (num_d_z)
%:
%Моделирование в Simulink системы с обратной свЯзью
%по вектору состоЯниЯ
%Для того, чтобы провести моделирование, необходимо иметь доступ квектору состояния объекта. Поэтому в файле SSLOpt_dSim.mdl при задании объектав векторноматричной форме (блок State-Space) нужно вместо матрицы Cn_ob указатьединичную
%матрицу Сх, а в качестве матрицы Dn_ob – нулевой вектор-столбецDx соответств-щих
%размерностей
Cx = eye (n_ob(1)); %ЕдиничнаЯ матрица
Dx = zeros (n_ob(1), 1); %Нулевой вектор-столбец
open_system ('SSLOpt_dSim.mdl'); %Вызов mdl‑файла
sim ('SSLOpt_dSim'); %ЗапускмоделированиЯ
%:
disp ('Желаемые собственные числа дискретного наблюдателЯ')
P_obs_d = zeros (1, n_ob(1))
%Матрица невЯзки дискретного наблюдателЯ
Все команды Matlab,использованные при составлении данной программы, описаны в приложении.
При составлении моделей в Simulink (SSLOpt_dSim.mdl и SSLKOpt_dSim.mdl)используются элементы из таких разделов библиотеки Simulink, как Math, Linear, Discrete, Nonlinear, Function & Tables, Signals &Systems, Sinks и Sources. Схемы моделирования и настройки элементов моделейпредставлены на рис. 4.1 – 4.8. Параметры моделирования нужно указать вокне «Simulation parameters», доступном через меню Simulation\Simulationparameters окна, в котором открыт mdl‑файл (рис. 4.9).
/>/>
/>/>
/>
Рис. 4.3. Настройки блока «Фиксатор нулевого порядка»
/>
Рис. 4.4. Настройки блока «Ограничитель входного сигнала»
/>
Рис. 4.5. Настройки блока «Коэффициент усиления командногосигнала»
/>
Рис. 4.6. Настройки блока «Матрица коэффициентов обратнойсвязи»
/>
Рис. 4.7. Настройки блока «Объект»
/>
Рис. 4.8. Настройки блока «Наблюдатель»
/>
Рис. 4.9. Параметры моделирования
Составьте план экспериментов всоответствии с целями лабораторной работы (см. п. 4.1).
Выполнение работы
Выберите передаточную функцию объекта изначения её параметров в соответствии с вашим вариантом.
Установите необходимые параметрымоделирования: шаг моделирования объекта, такт работы системы управления (первоначальнооколо 0.4 c), время моделирования; снимите ограничения на уровень управляющегосигнала.
Ознакомьтесь с работой программногокомплекса. Обратите внимание на данные, появляющиеся в командном окне во времярешения.
Проанализируйте влияние наблюдателя напроцессы, происходящие в системе, выясните роль начальных условий по векторусостояния наблюдателя. Зафиксируйте переходные процессы в системе без наблюдателяи с наблюдателем.
Исследуйте влияние периода квантования T0на требуемый диапазон изменения управляющего сигнала в системе с наблюдателем.Результаты фиксируйте в таблице.
Введите ограничение на величинууправляющего сигнала и выберите оптимальный период квантования Т0. Зафиксируйтепереходные функции системы с наблюдателем при оптимальном и неоптимальном значенияхТ0.
Вследствие того, чтопараметры реального объекта могут изменяться с течением времени, важно знать,как это сказывается на основных показателях качества процессов управления(времени регулирования, перерегулировании). На примере системы с наблюдателемпроведите анализ «грубости» (чувствительности) синтезированного алгоритмауправления по отношению к параметрам объекта. Для этого необходимо в m‑файле после осуществления синтеза системы управлениянепосредственно перед запуском моделирования в Simulinkпересчитать матрицы объекта в соответствии с изменившимся значением какого-либопараметра и зафиксировать поведение системы в таких условиях. Количествозначений для каждого параметра должно быть не менее пяти. Результатыэксперимента следует оформить в виде таблиц и построить соответствующиеграфики.
Во время лабораторной работы необходимо вести протокол, в которомследует фиксировать все промежуточные и конечные результаты. Основныерезультаты согласовывать с преподавателем по мере их получения, соответствующиекомментарии отражать в протоколе. Содержание отчёта
Цель работы, вариант задания, структурапрограммы, схемы моделирования.
План проведения лабораторной работы.
Значения матрицы обратной связи и матрицнаблюдателя, полученные при выполнении п. 4.3.3.
Графические зависимости, характеризующиесистему с наблюдателем и без наблюдателя, полученные при выполнении п. 4.3.4.
Результаты выполнения п. 4.3.5 ввиде таблицы и соответствующая графическая зависимость.
Результаты выполнения п. 4.3.6 –графики переходных функций системы при введении ограничений на величинууправляющего сигнала. Обоснование выбора периода квантования по времени T0.
Результаты выполнения п. 4.3.7 –таблицы и графические зависимости, характеризующие «грубость» синтезированныхалгоритмов. Контрольные вопросы
Перечислить операторы пакета Matlab, необходимые длямодального синтеза и синтеза наблюдателя.
Сформулировать основные отличия и общиечерты синтеза непрерывных и дискретных систем управления.
Из каких соображений выбирается периодквантования по времени в дискретной системе?
Структура наблюдателя Люенбергера.
Что такое матрица невязки наблюдателя?
Как вычисляется коэффициент усиления покомандному сигналу, обеспечивающий единичную статику в дискретной системе?
Как вычислить размерности матриц A, B, C,D объекта и наблюдателя?
Как обеспечить максимальноебыстродействие при синтезе дискретной системы управления и чему оно будетравно?
Список литературы
1. Бесекерский В.А. Теориясистем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов.М.: Наука, 1975. 768 с.
2. Теорияавтоматического управления / под ред. А.А. Воронова. М.: Высшая школа,1986. Ч. 2. 504 с.
3. Теорияавтоматического управления / под ред. А.В. Нетушила. М.: Высшая школа,1972. Ч. 2. 430 с.
4. Попов Е.П. Теориянелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов.М.: Наука, 1988. 256 с.
5. Цыпкин Я.З. Основытеории автоматических систем / Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1977. 560 с.
6. Сборникзадач по теории автоматического регулирования и управления. 5‑е изд.,перераб. и доп. / под ред. В.А. Бесекерского. М.: Наука, 1978. 512 с.
7. Задачникпо теории автоматического управления. 2‑е изд., перераб. и доп. / подред. А.С. Шаталова. М.: Энергия, 1979. 545 с.
8. Ануфриев И.Е. СамоучительMatlab 5.3/6.x / И.Е. Ануфриев. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 736 с.
9. Дьяконов В.Matlab: учебный курс / В. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001. 560 с.
10. Дьяконов В.Simulink 4. Специальный справочник / В. Дьяконов. СПб.: Питер, 2002. 528 с.