НОУ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА»
кафедраматематики и естественных наук
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА ПО ИНФОРМАТИКЕ
ТЕМА:
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ ЭВМ
Выполнил: студент группы 1- МТ71з
ШАЛИМОВ АЛЕКСЕЙ ЭДУАРДОВИЧ
«10 » мая 2008 года.
Проверил:
МАКАРОВА МАРИЯ АЛЕКСАНДРОВНА
ВОЛГОГРАД 2008
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Представлениеинформации в компьютере
2. Системысчисления
3. Переводчисла из одной системы счисление в другую
4. Арифметическиеоперации в позиционных системах счисления
Заключение
Списоклитературы
Введение
Качественноновое обслуживание информационных процессов, пронизывающих различные сферычеловеческой деятельности тесным образом связано с использованием современнойэлектронно-вычислительной техники.
Терминкомпьютер, так прочно вошедший в русский язык, в переводе означает «вычислитель»,т.е. устройство для осуществления вычислений.
Потребностьв автоматизации вычислений или, как сейчас говорят — обработки данных, возникладавно. Уже более полутора тысяч лет назад для облегчения вычислений сталииспользовать счеты.
Нотолько в 1642 году Блез Паскаль изобрел устройство для механического сложениячисел, а в 1673 году Г. В. Лейбниц сконструировал арифмометр, позволявшиймеханическим способом выполнять четыре арифметических действия, И хотя, начинаяс XIX века, арифмометры получили широкоераспространение, у них был один существенный недостаток: расчеты производилисьочень медленно. Причина проста — выбор выполняемых действий и записьрезультатов при осуществлении расчетов производилась человеком, скорость работыкоторого весьма ограничена.
Дляустранения этого недостатка английский математик Ч. Бэббидж попытался построитьуниверсальное вычислительное устройство, выполняющее вычисления без участиячеловека. Для этого оно должно было уметь исполнять программы, вводимые спомощью перфокарт (прямоугольных пластин из плотной бумаги с информацией,наносимой при помощи отверстий). Бэббидж не смог довести до конца работу посозданию своей Аналитической машины: ее устройство оказалось слишком сложнымдля технического оснащения промышленности первой половины XIXвека. Однако идеи, заложенные в основу этого устройства, позволили американцуГ. Эйкену в 1943 году построить на одном из предприятий фирмы IBMмашину, функционирующую на электромеханических роле и получившую название«Марк-1».
Кэтому времени потребность в автоматизации обработки данных (в первую очередь,для военных нужд — баллистики, криптографии и т.д.) стала настолько ощутимой,что над созданием подобных машин одновременно работало несколько групписследователей в разных странах мира. Начиная с 1943 года, группа специалистовпод руководством Д. Мочли и П. Экерта в США занималась конструированием болеесовременной вычислительной машины на основе электронных ламп, которая могла быхранить выполняемую программу в своей памяти. Для ускорения работы в 1945 годук этому проекту был привлечен знаменитый математик Джон фон Нейман. Врезультате его участия был подготовлен доклад, содержавший целый ряд принципов,на основе которых и должна была функционировать разрабатываемая машина.
Первыйкомпьютер, в котором в полной мере реализовались принципы фон Неймана былпостроен в 1949 году английским исследователем М. Уилксом. С той поры прошлоболее 50 лет, и тем не менее, большинство современных компьютеров в той илиином степени соответствуют принципам, изложенным фон Нейманом.
Всвоей работе Д. Фон Нейман описал, как должен быть устроен компьютер для того,чтобы он был универсальным и эффективным устройством обработки информации(рис.1). В состав такого компьютера должны входить:
♦арифметико-логическое устройство, выполняющее арифметические и логическиеоперации;
♦устройствоуправления, организующее процесс выполнения программ и синхронизирующее работуостальных устройств компьютера;
♦запоминающееустройство (память), предназначенное для хранения выполняемых программ иобрабатываемых данных;
♦внешниеустройства, предназначенные для ввода и вывода информации.
1Представление информации в компьютере
Компьютерможет обрабатывать только информацию, представленную в числовой форме. Всяостальная информация (например, звук, видео, графические изображения и т.д.)перед обработкой на компьютере должна быть преобразована в числовую форму. Так,чтобы привести к цифровому виду (оцифровать) музыкальный звук, можно черезнебольшие промежутки времени измерять интенсивность звука на определенныхчастотах, представляя результаты каждого измерения в числовой форме. Затем, спомощью специальной компьютерной программы осуществляются необходимыепреобразования полученных данных: наложение звуков от различных источников другна друга (эффект оркестра), изменение тональности отдельных звуков и т.п. Послечего, окончательный результат преобразуется обратно в звуковую форму.
2.Системы счисления
Системасчисления — этоспособ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Двоичная система счисления. В этой системе всего двецифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д.Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — числодвоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяетзакодировать любое натуральное число — представить его в видепоследовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не толькочисла, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи.Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуетсятехнически.
Десятичнаясистема счисления. Пришлав Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но иместо, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системесчисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самаяправая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков,следующая — число сотен и т.д.
Восьмеричная система счисления. В этой системесчисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшемразряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 вследующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное)есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему,например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ейдвоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для переводамногозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его натриады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричнойцифрой.
Шестнадцатеричная система счисления. Запись числа ввосьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее онаполучается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, авот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A,B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат простоединицу. Та же цифра 1 в следующем — 16 (десятичное), в следующем — 256(десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15(десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратнопроизводится аналогочно тому, как это делается для восьмеричной системы.
Существуютпозиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системахвес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит отее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII(тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.
В позиционныхсистемах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения(позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятыхдолей единицы.
Сама жезапись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700 + 50 + 7+ 0,7 = 7 * 102 + 5 * 101 + 7 * 100+ 7 * 10-1= 757,7.
Любаяпозиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основаниепозиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов,используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можнопринять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно,возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная,четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием qозначает сокращенную запись выражения
an-1qn-1 + an-2 qn-2+… + a1 q1+ a0q0+ a-1 q-1 +… + a-m q-m,
где ai– цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов,соответственно.
В каждойсистеме счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0,2 больше 1 и т.д.
Влюбой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы(слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числаполучаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системысчисления.
Системысчисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из нихостальных чисел.
Единицейинформации в компьютере является один бит (bit),т.е. двоичный разряд, который может принимать значение 0 или 1. Бит — этофундаментальная единица, определяющая количество информации, подвергаемоеобработке или переносимое из одного места в другое. Поскольку биты записываютсянулями и единицами, их последовательные совокупности позволяют кодироватьдвоичные числа (binarynumbers) — значение в двоичнойсистеме счисления.
Вболее привычной для человека десятичной системе счисления (по основанию 10) дляпредставления чисел используется десять символов: 0, 1, 2, 3, 4,5,6,7,8и 9.Чтобы составить число, значение которого в десятичной системе счисления больше9 (например, 27), комбинируют две цифры: при этом позиции символов имеютопределенный смысл. Прогрессия значений, связанная с позицией цифры,возрастает, как показано на рис. 2., пропорционально степени основания.
/>
Рис.2. Пример представления числа в десятичной системе счисления
Десятичноечисло, состоящее хотя бы из двух цифр, является суммой различных степенейоснования, умноженных на соответствующую цифру. Так, число 10 представляетсобой сумму из одного десятка (101) и нуля единиц (100),а число 423 — сумму из четырех сотен (102), двух десятков (101)и трех единиц (100).
Рассмотренныйметод представления чисел достаточно универсален и используется в другихсистемах счисления, в которых основание отлично от десяти. Например, в системес основанием 8 задействовано восемь символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, азначимость каждой позиции возрастает пропорционально степени числа 8, как показанона рис.3.
/>
Рис.3. Пример предоставления числа в восьмеричной системе счисления.
Какуже отмечалось, компьютер способен обрабатывать информацию в двоичной системесчисления. В ней используются только два символа 0 и 1, а смещение символа наодну позицию влево увеличивает значение числа пропорционально степени основания2. На рис. 4 показано восьмибитовое (1 байт) представление числа 58 в двоичнойсистеме счисления.
/>
Рис.4. Пример представления числа в двоичной системе счисления.
3.Перевод числа из одной системы счисление в другую
Из всехсистем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализациив компьютерах двоичная система счисления. Эта система имеет ряд преимуществперед другими системами:
· дляее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями(есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, сдесятью, — как в десятичной;
· представлениеинформации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
· возможноприменение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразованийинформации;
· двоичнаяарифметика намного проще десятичной.
Недостатокдвоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.Являясь удобной для компьютеров, для человека двоичная система неудобна из-заее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чиселиз десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобыпрофессионально использовать компьютер, следует научиться понимать словомашины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
Числа в этихсистемах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно втри (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем вдвоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертаястепени числа 2).
Перевод восьмеричныхи шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждуюцифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой(четверкой цифр).
То есть,чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную,его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) илитетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующейвосьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.Как перевести целое число из десятичной системы в любуюдругую позиционную систему счисления?
При переводецелого десятичного числа в систему с основанием q его необходимопоследовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший илиравный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательностьостатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.
Пример:Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную ишестнадцатеричную:
Ответ: 7510= 1 001 0112 = 1138 = 4B16.
Как пеpевестипpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?
Пpи переводеправильной десятичной дpоби в систему счисления с основанием q необходимосначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведенийпоследовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую частьпроизведения. Число в новой системе счисления записывается какпоследовательность полученных целых частей произведения. Умножение производитсядо тех поp, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит,что сделан точный пеpевод. В противном случае перевод осуществляется дозаданной точности. Достаточно того количества цифp в pезультате, котоpоепоместится в ячейку.
Пример:Перевести число 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:
Ответ: 0,3510= 0,010112 = 0,2638 = 0,5916 .Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной)системы в десятичную?
При переводечисла из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надоэто число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
4. Арифметическиеоперации в позиционных системах счисления
Рассмотримосновные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — этосложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимыи ко всем другим позиционным системам счисления.
При сложениицифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то онпереносится влево.
Пример: Сложимчисла 15 и 6 в шестнадцатеричной системе счисления: F16 + 61615+ 6 = 2110 = 101012 = 258;
Ответ: = 1516.
Проверка.Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
101012=24 + 22 + 20= 16+4+1=21,
258= 2*81 + 5*80= 16 + 5 = 21,
1516= 1*161 + 5*160= 16+5 = 21.Вычитание
Пример: Вычтемединицу из чисел 102, 108 и 1016
Вычтемединицу из чисел 1002, 1008 и 10016.
Вычтем число59,75 из числа 201,25.
Ответ: 201,2510– 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48= 8D,816.
Проверка:Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,12= 27 + 23 + 22 + 20+ 2–1= 141,5;
215,48= 2*82 + 1*81 + 5*80+ 4*8–1 =141,5;
8D,816= 8*161 + D*160+ 8*16–1 = 141,5.Умножение
Выполняяумножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можноиспользовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этомрезультаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать изсоответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.
Ввиду чрезвычайнойпростоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь ксдвигам множимого и сложениям.
Пример:Перемножим числа 5 и 6.
Ответ: 5*6 =3010 = 111102 = 368.
Проверка:Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
111102= 24 + 23 + 22 + 21 = 30; 368= 3•81 + 6•80= 30.
Пример: Перемножимчисла 115 и 51.
Ответ: 115*51= 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка:Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012= 212 + 210 + 29 + 27 + 26+ 25 + 23 + 20= 5865;
133518= 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80= 5865.Деление
Деление влюбой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как иделение углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняетсяособенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем илиединицей.
Пример:Разделим число 30 на число 6.
Ответ: 30: 6= 510 = 1012 = 58.
Пример:Разделим число 5865 на число 115.
Восьмеричная:133518 :1638
Ответ: 5865:115 = 5110 = 1100112 = 638.
Проверка:Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
1100112= 25 + 24 + 21 + 20= 51; 638= 6*81 + 3*80= 51.
Заключение
В структуруавтоматизированной информационной системы входят несколько подсистем. Одной изтаких подсистем является математическое и программное обеспечение, то естьсовокупность математических методов, моделей, алгоритмов и программ дляреализации целей и задач информационной системы, а также нормальногофункционирования комплекса технических средств.
Фундаментомнауки о вычислительных машинах является конструктивная математика, в основекоторой лежит математическая логика и теория алгоритмов с их однозначностью воценке суждений и процедур вывода. Для описания элементов и узлов ЭВМ с самогоначала использовалась математическая логика, а для описания компьютерныхпрограмм — теория алгоритмов.
Математическаялогика — это дисциплина, изучающая технику математических доказательств.Отличие математических суждений от обычных разговорных высказываний состоит втом, что математические суждения всегда предполагают однозначную интерпретацию,в то время как наши обычные высказывания зачастую допускают многозначнуютрактовку.
Работа ЭВМкак автоматических устройств основана исключительно на математически строгихправилах выполнения команд, программ и интерпретации данных. Тем самым работакомпьютеров допускает строгую однозначную проверку правильности своей работы вплане заложенных в них процедур и алгоритмов обработки информации.
Споявлением самых первых компьютерных программ, имитирующих интеллектуальнуюдеятельность людей, возникло понятие«искусственный интеллект» ивсе компьютерные программы, демонстрирующиеинтеллектуальноеповедение, основаны на использовании определенного математического аппарата,опирающегося на законы математической логики и соответственно, имеющегоарифметические основы. Без понимания этих законов и основ невозможно пониманиепринципов работы вычислительных машин вообще и систем искусственного интеллектав частности.
Списоклитературы
1. Громов Ю. Ю., О. Г. Иванова, А. В.Лагутин. Информатика: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та,2002.
2. Каймин В.А. Информатика:Учебник. — М.: ИНФРА-М, 2000.
3. Сергеева И.И., Мазулевская А.А.,Тарасова Н.В. Информатика: учебник. – М.: ИД «Форум»: ИНФРА – М, 2007.