Міністерствоосвіти і науки України
Національнийуніверситет львівська політехніка
ІнститутКомп’ютерних наук та інформаційних технологій
Кафедраавтоматизованих систем управління
Лабораторнаробота №1
здисципліни: Математичніметоди представлення знань
на тему:Абсолютна тавідносна похибкаЛьвів– 2011
Абсолютна тавідносна похибка
Мета роботи: вивчитиі засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.
Порядок роботи:
1. Створити проект для виконанняіндивідуального завдання.
2. Оформити звіт для захистулабораторної роботи за зразком:
· назвароботи;
· метароботи;
· порядокроботи;
· короткітеоретичні відомості;
· алгоритм побудовирозв’язку задачі;
· текстивідповідних модулів проекту;
аналіз отриманихрезультатів та висновки. Короткі теоретичні відомості
Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносноюпохибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.
Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десятковихзнаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову
δ ≤ />/>, (1)
де ат – перша значуща цифра числа а.
Доведення. Нехай а = αm ·10 m +αm — 1 ·10m — 1 +… + αm – n +1 ·10m – n + 1
є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками.Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо
∆= | А – а |≤ />· 10m – n + 1.
Звідси
— />· 10m – n + 1 ≤ А – а ≤ />· 10m – n + 1.
Тому
А ≥ а — />· 10m – n + 1 ≥ αm ·10 m — />· 10m – n + 1
А ≥ />· 10m/>. (2)
Права частина отриманої нерівності досягає найменшогозначення при п = 1, тому
А ≥ />· 10m/>≥ />· 10m (2аm — 1).
Оскільки 2аm — 1 = ат + (ат – 1 ) ≥ аm, то
А ≥ /> аm · 10m.
δ = />,
або
δ ≤ />.
Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а зп точними десятковими знаками можна прийняти
δa = /> (3)
де аm — перша значуща цифра числа а .
Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеногододатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практичноможна прийняти
δa = />.
Справді, якщо п>2, то числом /> у нерівності (4.1) можназнехтувати. Тоді
А ≥ />· 10m ·2аm = аm · 10m.
Тому
δ = />.
Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десятковихзнаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа неперевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущоюцифрою (рахуючи зліва направо), тобто
/>
Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числа а = 3,14, щозамінює точне число А = π?
Оскільки п = 3 і ат = 3, то на підставі наслідку 2
δa =/>% .
Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти />, щоб відноснапохибка була не більшою за 0,1% ?
Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставінаслідку 1 має виконуватися нерівність:
/>
Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 .
Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщовідома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою
δ = /> (4)
де ∆ — абсолютна похибка наближеного числа а. Із цієїформули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставіозначення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .
Приклад 3. Число а = 7654 має відносну похибку δ = 0,01.Скільки в ньому точних цифр?
Оскільки
∆ = δ a = 76,54 · 103,
то число а має лише одну точну цифру.
Похибки арифметичних операцій
1. Похибки суми.
Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількохнаближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.
Доведення. Нехай x1, x2, …, хп – задані наближені числа. Розглянемо їхалгебраїчну суму
и = ± х1 ± х2 ±… ± хп .
Тоді похибка цієї алгебраїчної суми Дм буде складатися залгебраїчної суми похибок доданків, тобто
∆и = ± ∆х1 ±∆ х2 ±… ±∆ хп .
Звідси
|∆и| ≤ |∆х1| + |∆х2| +… +|∆хп|. (5)
Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної сумидекількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цихчисел, тобто
∆и = ∆х1 +∆ х2 +… +∆ хп .
Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількохнаближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничнихвідносних похибок цих чисел.
Доведення. Нехай
и = + х1 + х2 +… + хп ,
де для визначеності вважатимемо, що xi > 0 (i = 1, 2,..., п). Позначимо
через Аi (і = 1, 2,..., п ) точні значення доданків xi, ачерез А – їх суму, тобто А = А1 + + А2 +… + Ап. Тоді
δu=/>
Оскільки
відносний похибка наближений число
/>, то />= Аі />.
Тому
/>.
Нехай
max />= />. 1 ≤ i ≤ n
Тоді
/>
тобто
/> />= max /> 1 ≤ i ≤ n
2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:
и = х1-х2
Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,
∆и = ∆х1 +∆ х2, δu=/>, (6)
де А – точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формуливипливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде доситьвелика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близькихчисел.
Зауваження. При подальшому розгляді похибок арифметичних операцій, атакож при розгляді похибок функцій (§ 6) припускатимемо, що похибки значноменші за абсолютною величиною від самих наближених величин, тож ними можназнехтувати в сумах, котрі містять одночасно наближену величину і її похибку якдоданки; і завжди можна обмежитися членами, лінійними відносно похибок,нехтуючи членами більш високого порядку. Це означає, що наступні питання,пов'язані з похибками, розглядатимемо дещо грубо, проте елементарно. Аджестрогий підхід під час розгляду цих питань не дає бажаних наочних результатів.
3. Похибки добутку. Нехай
Аі=хі+∆хі (і = 1,2,...,n),
де для простоти вважатимемо, що хі > 0 (і -1, 2,..., п ),А = А1 А2 … Аn, u = х1х2… хn. Тоді
А = (х1 + ∆ х1 ) (х2 + ∆ х2)… (хп + ∆хп)=
= х1х2 … хn + х2х3 … хn ∆ х1 + х1 х3… хn ∆ х2 +… +
+ х1х2 … хn-1 + ∆хп +… + ∆x1∆x2…∆xn.
Враховуючи зауваження, можемо прийняти, що
А = u +x1 x2 … хп + ∆х1+ х1 х3 … хп + ∆х2 +…+ x1x2 … хn-1 + ∆хп .
Звідси
| ∆u | = |А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ + x1 x2 … хn-1+ ∆хп. (2)
Зокрема, якщо п =2, то
| ∆u | ≤x2| ∆x1| + x1| ∆x2| .
За граничнуабсолютну похибку добутку можна взяти
∆u = x2x3 …xn ∆x1+ х1 х3… xn ∆x2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп.
Розділившинерівність (5.1) на u, одержимо
/>
Тоді за граничнувідносну похибку добутку можемо прийняти
/>.
4. Похибкичастки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2, де для простоти будемовважати, що x1 > 0, x2 > 0,/>, />.
Тоді
/> i
/>.
Звідси
/> />,
aбo
/>.
Розділивши нерівність на u, одержимо
/>
Врахувавши зауваження, замінимо /> на відносну похибку /> діленого, /> - на відноснупохибку /> дільника,/> - навідносну похибку /> частки. Отримаємо
/> . (8)
За граничну відносну похибку частки можна прийняти
/>.
5. Похибкистепеня. Нехай А = (х + ∆ х)т, и = хт, де т – натуральне число, х >0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо
|∆u|
де δ – відносна похибка степеня; δ1 – відноснапохибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеняможемо прийняти
∆u= mxm — 1∆x, δu= mδx. (9)
Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, щооперації додавання та віднімання (при великій різниці між числами) непогіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків.
Рекомендована література
1. ЦегеликГ.Г. Чисельні методи: Підручник. – Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І. Франка,2004. – 408 с.
2. КоссакО., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч. посіб. – Львів:Бак, 2003. – 168 с.
3. АнджейчакІ.А., Федю Є.М., Анохін В.Є. і ін. Практикум з обчислювальної математики.Основні числові методи. Частина І. – Навч. посіб. Львів: Вид-во ДУ «Львівськаполітехніка», 2000. – 100 с.
4. ДудикевичА.Т., Левицькa С.М., Шахно С.М. Практична реалізація методів розв’язуваннянелінійних рівнянь і систем: Навч.-метод. посібн. – Львів: ВЦ ЛНУ ім…І.Франка, 2007. – 78 с.