Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет
Механіко-математичний факультет
Кафедра обчислювальної механіки і міцності конструкційКурсова робота
з чисельних методiвна тему:Інтеграли зі змінними границями
Виконавець студент групи МД-01-1 Ромащук Р. В.
Керівник старший викладач Гарт Е.Л.
Дніпропетровськ
2003 р.
Ця курсова робота мiстить всобi такi теоретичнiпитання, як « Визначений інтегралзі змінною верхньої межею. Властивості визначеного інтегралу зі змінноюверхньої межею. Чисельні методи знаходження визначеного інтегралу зі змінноюверхньої межею», розв’язок задопомогою обчислювальної машини задачi для знаходження визначеного інтеграла зі змінними границямиінтегрування, а також наведенi висновки, на основi отриманих результатiв.
З М I С Т
Постановка задачi………………………………………………………………………........4
Вступ…………………………………………………………………………………………....5
1. Постановка задачічисельного інтегрування.............……............................6
2. Квадратурні формули………...........................................................................6
2.1. Формулапрямокутників.......................................................................6
2.2. Формулатрапецій..................................................................................7
2.3. Формула парабол(Сімпсона)...............................................................9
3. Чисельні методи знаходження визначеного
інтеграла зізмінною верхньоюмежею.........................................................10
4. Описобчислювального алгоритму………………………………………….10
5. Обговорювання результатів…………………………………………………11
Висновки…………………………………………………………………………12
Список посилань………………………………………………………………...13
Додатки:………………………………………………………………………….14
А Опис вихiднихданих та результатiв розрахунку………………...14
В Схема обчислювального алгоритму……………………………….15
С Лiстiнг програми…………………………………………………....18
Постановка задачі
За допомогою квадратурних формулобчислити визначений інтеграл зі мінною границею
/> (1)
Побудувати сітку, і скласти таблицю значень інтеграла на цій сітціfn=f(x)
За квадратурною формулою високої точності. Тоді
/> xn£x£xn+1
В С Т У П
В практичних розрахунках, у т.ч. взадачах механіки, нерідко виникає необхідність обчислення визначених інтегралів
/>
де під інтегральна функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція r(x) неперервна на інтервалі (a,b).
До чисельного знаходження інтеграла звертаються тоді, коли його абонеможливо виразити через елементарні функції, або підінтегральна функція заданатаблично, а також коли внаслідок інтегрування приходять до незручного длявикористання виразу. Формули чисельного знаходження визначених інтегралівназиваються квадратурними формулами. Побудова квадратурних формул ґрунтуєтьсяна заміні складної підінтегральної функції деякою більш простою, інтеграл відякої легше обчислити. Виникаюча при цьому похибка називається похибкоюквадратурної формули. Най простіші квадратурні формули можуть бути отримані ізпростих геометричних міркувань.
1. Постановка задачі чисельного інтегрування
Нехай потрібно знайти визначений інтеграл
/> (1.1)
де функція f(x) неперервна відрізку [a,b], а вагова функція r(x) неперервна на інтервалі (a,b). Тоді f(x) наближають такою функцією j(x;C) від якої інтеграл легко взяти в елементарних функціях. Завдякилінійності такої апроксимації відносно параметрів ci функцію можна записати так:
/> (1.2)
де r(x) – залишковий член апроксимації.Підставляємо (1.2) в (1.1), отримаємо загальну формулу чисельного інтегрування– квадратурну формулу:
/>
/>; />
де хi - вузли, сi – ваги, R – залишковий член. Інтеграл приблизно заміняється сумою, схожою наінтегральну суму, причому вузли та коефіцієнти цієї суми не залежать від f(x).
2. Квадратурні формули.
2.1. Формула прямокутників.
Припустимо, що fÎC2[-h/2,h/2], h>0.
/> (2.1.1)
де f0=f(0), тобто площа криволінійноїтрапеції, обмеженої зверху графіком функції f(x), апроксимується площеюпрямокутника, висота якого дорівнює значенню f(x) в середній точці трапеції(мал. 2.1.1).
/>
мал. 2.1.1. Формула прямокутників
Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули(2.1.1). Нехай
/> (2.1.2)
/> Тому що F(0)=0,F/(0)=f,F//(0)=f/,F///(x)=f//,
то відповідно до формули Тейлора ззалишковим членом у формі Лагранжа маємо
/>/> (2.1.3)
деx —, x+ -деякі точки, -h/x-
Функція F(x) є первісної для f(x). Тому для інтеграла, що стоїть в лівійчастині наближеної рівності (2.1.1), з формули Ньютона-Лейбница з розрахунком(2.1.3) випливає наступне співвідношення
/>
Ззвідси одержуємо формулу прямокутників іззалишковим членом:
/> (2.1.4)
2.2. Формула трапецій.
Нехай fÎC2[,h], h>0
/> (2.2.1)
де f=f(0), f1=f(h) тобто інтеграл /> приблизно заміняєтьсяплощею заштрихованої трапеції, показаної на малюнку (мал. 2.2.1).
/>
мал. 2.2.1. Формула трапецій.
Знайдемо залишковий член, тобто похибку формули(2.2.1). Виразимо f1та F1=F(h) де F — функція (2.1.2), по формулі Тейлора ззалишковим членом в інтегральній формі (*):
/>(*)
/> (2.2.2)
/>(2.2.3)
Згідно (2.2.1) маємо
/> (2.2.4)
Відокремивши в правій частині (2.2.3) доданок hf/2 і замінивши його вираженням (2.2.4), зурахуванням того, що
/>
знаходимо
/>
Перетворимо тепер другий доданок у правій частині,використовуючи узагальнену теорему про середнє. Тому що (h-t)t³, tÎ[0,t] то за теоремою
/>
де xÎ[a,b] — деяка точка. Підставляючиотримане в (*), приходимо до формули трапецій із залишковим членом :
/> (2.2.5)
2.3. Формула Сімпсона .
Припустимо, що fÎC4[-h,h]. Тоді інтеграл
/>
наближеного заміняємо площею заштрихованої криволінійноїтрапеції, обмеженою зверху параболою, що проходить через точки (-h,f-1), (0,f), (h,f1), де fi=f(ih) (мал. 2.3.1)
/>
мал. 2.3.1 Формула парабол (Сімпсона)
Зазначена парабола задається рівнянням
/>
у цьому неважко переконатися, поклавши x=-h,x=0,x=h (її можна також одержати, побудувавши інтерполяційний багаточлен другогоступеня і приводячи подібні ). Звідси знаходь
/>
Таким чином, формула Сімпсона,називають також формулою парабол, має вид
/> (2.3.1)
Покладемо F±1=F(±h), де F функція (2.1.2). Оскільки F(0)=0, F(k)(x)=
f(k-1)(x), 1£k£5то згідно формули Тейлора з залишковим членом в інтегральній формімаємо
/>
Звідси одержуємо
/> (2.3.2)
тому що інші члени взаємно знищуються.
Оскільки /> , tÎ[0,h] то застосовуючи до інтеграла (2.3.2) узагальнену теорему просереднє, знаходимо
/>
/> (2.3.3)
де hÎ[0,h], xÎ[-h,h] — деякі точки. Приймаючи до уваги, що
/>
з (2.3.2), (2.3.3) приходимо до формули
/> (2.3.4)
тобто до формули Сімпсона з залишковим членом.
3. Чисельні методи знаходження визначеного
Інтеграла зі змінною верхньою межею
У деяких випадках необхідно обчислити такі інтеграли
/>
Можна, звичайно, розглядати його для кожного значення верхньоїграниці х як інтеграл зі сталими границями і обчислювати за однією зквадратурних формул, що невигідно у випадку великої кількості значень x. Краще вибрати деяку сітку і скласти таблицю значень інтеграла націй сітці Fn=F(x) за квадратурної формули високоїточності. Тоді
/> /> (3.1)
причому останній інтеграл можна одчислювати за простимиквадратурними формулами.
Окрім того, маючи таблицю F(xn), можна знаходити F(x) інтерполяцією за цією таблицею.Природно, маючи і похідну інтеграла F¢(x)=r(x)f(x). Краще скористатись інтерполяційнимполіномом Ерміта.
4. Описобчислювального алгоритму
При реалізаціі алгоритму обчислення визначеного інтеграла зі змінними границями інтегрування використовуються процедурита функцiї, для того щоб скоротити витрати машинного часу приобчислюваннi, та для компактностiпрограмми. Программа для знаходження написана на мовi Delphi5, стан пограмми – вiдлажена.
5. Обговорювання результатів
Таблиця 1
Формула (3.1) Формула Сімпсона Формула трапецій Дійсне значення інтеграла a=0; b=1;
-0.7974398040
Різниця 0.0000012883
-0.7974386790
Різниця 0.0000001633
-0.7993252434
Різниця 0.00188672780 -0.7974385156 a=0; b=2; 3.9190337956 Різниця 0.0000062805 3.9190353338 Різниця 0.0000047422 3.90875628130 Різниця 0.01028379486 3.9190400761 a=0; b=3; 10.5498688094 Різниця 0.00002744251 10.5498688094 Різниця 0.00002744251 10.5247085565 Різниця 0.02518769537 10.5498962519 a=0; b=4; 17.8842287345 Різниця 0.0000804723 17.8842201707 Різниця 0.00008903613 17.8382724576 Різниця 0.0460367491 17.8843092068 a=0; b=5; 25.5043003647 Різниця 0.0001835185 25.5042688642 Різниця 0.00021501907 25.4318420115 Різниця 0.0726418717 25.5044838833 a=0; b=6;
33.2576007639 Різниця
0.00035637138 33.2575244054 Різниця 0.00043272988 33.1529684530 Різниця 0.1049886822 33.2579571352
Таблиця 1 була отримана при наступних вхідних даних:
Кількість вузлів при побудові таблиці значень інтегралу (1) =20
Кількість вузлів при застосуванні формули трапецій =20
Кількість вузлів при застосуванні формули Сімпсона =20Висновки
Таким чином з таблиці 1 видно, що чим більший проміжок ми беремо тимкращу точність отримаємо, навіть краще за формулу Сімпсона, але загальнапохибка (відносно дійсного значення) також збільшується. Формулу (1) доцільновикористовувати, якщо потрібно обчислити інтеграл на відносно великому проміжкута якщо треба обчислити відразу декілька інтегралів.
Список посилань
1. Каліткін Н.Н.‘Чисельні методи’ – М.: Наука, 1978. – 512с.
2. Балашова С.Д. ‘Текстылекций по курсу “ Численные методы”’. – Днепропетровск: Из – во ДГУ, 1989. –206 с
3. Мусiяка В.Г. Основи чисельних методiв механiки. – Днiпропетровськ: Вид – во ДДУ, 1993. – 156 с.
4. Методические рекомендациипо курсу “ Методы вычислений в инженерных расчётах”/ Составитель В.Г. Мусияка.– Днепропетровск: Из – во ДГУ, 1992. – 40 с.
5. Фіхтегольц Г.М. ‘Основиматематичного аналізу’– М.: Наука, 1968. – 440с.
Д О Д А Т К И
А Опис вихiдних даних та результатiв розрахунку
Вихiднi данi
Кількість вузлів при побудові таблиці значень інтегралу (1) nGrid — integer;
Кількість вузлів при застосуванні формули трапецій nTrap — integer;
Кількість вузлів при застосуванні формули Сімпсона nSim — integer;
Границі інтегрування a і b – real;
Наслiдки виконання програми друкуються у виглядi:
/>
Вихідні дані це функції типа real.
FullIntegral(L,R);
integralSimpsona(L,R);
integralTrapeciay(L,R);
first(L,R);