Развитие нанотехнологии инициировало широкое исследование новых классов нанообъектов, в частности квантовых точек, в которых осуществляется пространственное ограничение носителей заряда в трех измерениях. Квантовые точки как квазинульмерные системы важны не только как возможная элементная база для наноэлектроники, но и как модельные объекты для фундаментальных исследований. Электронный спектр изолированных КТ представляет собой набор дискретных уровней размерного квантования, и в этом смысле они могут рассматриваться как гигантские искусственные атомы с контролируемо изменяемыми параметрами, такими как глубина и характер удерживающего потенциала, число частиц и характерные размеры области их локализации.
Вид удерживающего потенциала определяется способом получения КТ. Для его представления наиболее часто используются модель «жестких стенок» и модель параболического удерживающего потенциала.
Соответствующая ортонормированная система одночастичных волновых функций имеет вид
(1.7.12)
где m-магнитное квантовое число; -присоединенные функции Лежандра первого рода; Г(x) - гамма-функция Эйлера; - обобщенный многочлен Лагерра; r,Θ,φ- сферические координаты от центра ямы; α - параметр крутизны удерживающего потенциала U(r,Θ,φ)=αr2. Так как каждое значение может быть получено несколькими комбинациями значений n и l, стационарные состояния сферического осциллятора, начиная с третьего, оказываются g(N)-кратно вырожденными, причем
g(N)=0,5(N+1)(N+2) (1.7.13)
Например, уровень энергии будет шестикратно вырожден. В одном из этих шести состояний угловой момент (а следовательно, и орбитальное квантовое число l) равен нулю (s-состояние), а остальные пять состояний относятся к d-состояниям, которые различаются проекциями углового момента.
Необходимо отметить, что в случае сферического осциллятора вырождение каждого из p-, d-, f - и т.д. состояний является результатом сферической симметрии потенциального поля, а вырождение, благодаря которому s-состояние имеет энергию, совпадающую с энергией d-состояния (при N = 2), является «случайным». Оно обусловлено не симметрией задачи, а квадратичной зависимостью потенциальной энергии от радиуса. Если зависимость потенциальной энергии от радиуса будет отличаться от квадратичной (т.е. от U(r,Θ,φ)=αr2), например, членом βr2k, то вырождение, связанное со сферической симметрией, сохранится, а случайное - будет отсутствовать.