Очевидно, что перенос точки приложения силы вдоль ее линии действия не может изменить главного вектора системы, так как при этой операции вектор каждой силы остается неизменным. Главный момент также не изменится, так как момент силы не зависит от положения точки приложения силы на ее линии действия.
Рассмотрим теперь вторую операцию. Пусть в точке А приложены две силы и (рис.16) Заменим их одной силой , найденной по правилу параллелограмма:
Найдем момент силы относительно точки О.
Таким образом, применение этой элементарной операции приводит к замене в выражениях главного вектора и главного момента двух слагаемых их геометрической суммой. Очевидно, что главный вектор и главный момент при этом не изменяются.
Предварительные замечания.
Пусть к твердому телу приложена система сил. Изменим направления всех сил системы на противоположные, сохраняя точки их приложения. Полученную систему сил будем называть противоположной данной.
Система сил, составленная из данной системы и противоположной ей , является уравновешенной:
Возьмем новую систему ¥ . Тогда
.
Теорема 1. Для того, чтобы две системы сил были эквиваленты, необходимо и достаточно, чтобы были равны их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра.
Доказательство необходимости.
Даны две эквивалентные системы сил: ¥ . Главный вектор и главный момент системы обозначим: , . Главный вектор и главный момент системы обозначим: , .
Докажем, что
Составим новую систему сил . Главный вектор этой системы равен: Тогда,
Главный момент этой системы
Следовательно,
Доказательство достаточности.
Даны две системы сил и , для которых равны их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра:
Докажем, что ¥ .
Составим систему и определим главный вектор и главный момент этой системы.
Система сил, главный вектор и главный момент которой равны нулю, находится в равновесии, т.е. ¥ 0.
Следовательно, ¥.
Теорема 2 (Теорема Вариньона).Если система сил приводится к равнодействующей, то векторный момент этой равнодействующей относительно произвольного центра равен геометрической сумме векторных моментов сил системы относительно этого же центра.
Доказательство: Пусть система.
По теореме об эквивалентности двух систем главные моменты этих систем относительно произвольного центра равны. Главный момент заданной системы .
Главный момент равнодействующей относительно того же центра обозначим . Тогда , или .
Проекция этого векторного равенства на ось s, проходящую через центр О: ,
Но проекция момента относительно точки на ось, проходящую через эту точку, равна моменту относительно этой оси.
.
Момент равнодействующей системы сил относительно какой-либо оси равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этой же оси.
Теорема 3. (Теорема Пуансо). Любую систему сил, приложенных к твердому телу, можно заменить одной силой, приложенной в произвольно выбранном центре и равной главному вектору данной системы сил, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту данной системы сил относительно этого центра.
Доказательство. Пусть дана система сил , главный вектор которой равен , а главный момент равен . Составим теперь новую систему сил , состоящую из силы , приложенной в точке О, и пары сил , и пусть =, а момент пары =. Составим также вспомогательную систему сил , состоящую из системы , силы и пары сил . Определим для этой системы главный вектор и главный момент относительно точки О.
,
(силаприложена в точке О, и ее момент относительно этой равен нулю).
Так как главный вектор и главный момент вспомогательной системы равны нулю, то эта система сил находится в равновесии, т.е. ¥ 0. Тогда , при этом =, а момент пары =.
Таким образом, любую систему сил можно заменить одной силой, равной главному вектору и приложенной в произвольном центре О, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту относительно этого центра
Точка, в которой приложена сила , называется центром приведения, а сама операция замены данной системы сил одной силой и одной парой сил, называется приведением системы сил к центру.
Частные случаи приведения системы сил к центру*.
1. Пусть для системы главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: =0, ¹ 0. Очевидно, что такая система сил приводится к паре сил с моментом .
2. Пусть для системы главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: ¹ 0, = 0. Такая система приводится к равнодействующей, равной и приложенной в центре приведения О.
3. Докажем, что система сил , для которой ¹ 0 , ¹ 0 и ^(рис. 32) приводится к равнодействующей.
Заменим систему силой , приложенной в точке О и парой сил с моментом . Если ¹ 0 , ¹ 0 и ^, то сила и пара сил располагаются в одной плоскости.
Заменим пару сил парой сил , не изменяя момента: . Повернем пару сил в своей плоскости так, чтобы одна из ее силоказалась приложенной в точке О и направленной противоположно силе. Вторую силуприложим в точке А, находящейся на перпендикуляре к силе на расстоянии h, равном плечу пары :
.
Так как силы и , приложенные в точке О уравновешиваются, то полученная система трех сил приводится к одной силе (равнодействующей), приложенной в точке А, при этом ОА =h.
Следовательно, система сил , для которой ¹ 0 , ¹0 и ^, приводится к равнодействующей (рис.33), равной главному вектору и приложенной в точке А, отстоящей от центра приведения на расстоянии ОА =h..
4. Если для данной системы сил (рис.34) ¹ 0 , ¹ 0 и главный вектор параллелен главному моменту , то система приводится к силе и паре сил (), плоскость которой перпендикулярна силе .
Совокупность такой силы и пары сил называется динамическим винтом, а прямая, вдоль которой направлена сила, - осью винта, при этом ось винта проходит через центр приведения точку О.
5. Если для системы сил векторы ¹ 0 , ¹ 0 и не перпендикулярны и не параллельны друг другу, то такая система сил приводится к динамическому винту, но ось винта в этом случае не будет проходить через центр приведения.
Лекция №4