В 1930 г. Польским математиком Г. Штейнгаузом был разработан оригинальный способ , с помощью которого можно определить длину одной кривой ,а также общую длину некоторой совокупности кривых без измерения отдельных кривых. Процесс измерения состоит в следующем. Прозрачная палетка с равноотстоящими линиями – строками произвольно накладывается на изображение кривых и подсчитывается число n1 пересечений строк с измеряемыми кривыми.
После этого направление строк изменяется на ,где N- целое число (в данном случае N=4) и подсчитывается число пересечений n2 и т.д. – всего N подсчётов.
Длина кривых вычисляется по формуле :
Где a- расстояние между строками, которое может быть найдено через измерение палеткой (как линейкой) отрезка линии с известной длиной на плане или карте.
Относительная средняя квадратическая ошибка измерений по способу Штейнгауза может быть рассчитана по следующей приближённой формуле:
- средняя кривых;
-число свободных концов кривых.
Измерения площадей контуров.
Обзор способов измерений.
Необходимость измерения площадей возникла в связи с учётом и разделом земельных угодий. Первым по времени использовался способ , называемый аналитическим. Суть его состоит в вычислении площадей геометрических фигур по результатам измерения их линейных параметров.
В 1661 г. Итальянец Риччиоли описал способ, получивший название графоаналитического. В этом способе измеряемая территория неправильной формы заменяется эквивалентными ей по площади сочетанием геометрических фигур, площади которых определяются аналитическим способом. В дальнейшем графоаналитический способ совершенствуется применительно к географическим картам: измеряемая территория на основе глазомерной оценки заменяется равновеликой по площади сферической трапецией или сочетанием таких трапеций в соответствии с имеющейся на карте картографической сеткой. Площади трапеций вычисляются по широтам и долготам ограничивающих их параллелей и меридианов.
Чтобы исключить ошибки глазомерной оценки при замене произвольного контура сочетанием трапеций стали применять геометрический способ, который применялся в землемерном деле и состоял в измерении площадей с помощью палеток - клетчаток. Эти палетки представляли собой сетки равновеликих квадратов на прозрачной основе. Подсчитывалось общее число квадратов, а доли оценивались на глаз. Позже стали использоваться и другие палетки, состоящие из правильных шестиугольников, линейные и точечные.
Совершенно новые основания в измерении площадей внесло изображение планиметра. Сам принцип измерения освобождал исполнителя от утомительного подсчёта мелких квадратиков палетки, от необходимости оценки на глаз долей этих квадратиков. В настоящее время известен ряд планиметров общего и специального назначения. Для измерения площадей на планах и картах применяются полярные компенсационные планиметры.
Погрешность при измерении площадей планиметром зависит от величины, формы периметра измеряемого участка, от масштаба карты и качества бумаги, от положения инструмента относительно измеряемого контура.
Растровый метод измерения площадей.
Измерение площадей растровым методом состоит в подсчёте равновеликих по площади ячеек некоторой регулярной сетки в пределах измеряемого контура.
Такой подсчёт можно выполнить, например, с помощью палетки-клетчатки, положенной на измеряемую площадь.
S=a2·n
A -сторона квадрата, выраженная в масштабе карты;
n-число квадратов, попавших в пределы контура (части квадратов оцениваются на глаз).
При работе с палеткой, состоящей из системы параллельных линий, подсчитывается с помощью измерителя или линейки длина отрезков, отсекаемых контуром измеряемого участка.
Площадь пропорциональна их суммарной длине:
S=d·
d- расстояние между линиями палетки.
-сумма длин отрезков.
Обе величины выражаются в масштабе карты.
Палетка, состоящая из точек, расположенных по квадратной сетке, представляет собой лишь видоизменённый вариант квадратной палетки, т.к. каждая точка является центром квадрата. Подсчёт площади ведётся по той же формуле, что и для квадратной палетки, но a-расстояние между точками, а n- их число. Если точка попадает на контур измеряемого участка, то она суммируется с весом 0.5, иначе говоря, две точки, лежащие на контуре, считаются за одну.
Точки могут быть расположены не по квадратной сетке, а по сетке шестиугольников. Такая палетка предпочтительнее, т.к. шестиугольники обычно лучше вписываются в неправильный контур измеряемой площади. Палетка шестиугольников легко может быть построена на миллиметровой бумаге, а затем перенесена на прозрачную кальку или на пластик.
R-расстояние между точками в строке;
d- расстояние между строками.
, -сторона шестиугольника.
Из AOB : , следовательно
Точность измерения.
Точность измерений квадратной точечной палеткой оценивается среднеквадратической ошибкой M
N - площадь контура в делениях палетки;
-коэффициент изрезанности фигуры, определяемый по формуле
-периметр;
S - площадь.
Коэффициент KH-безразмерный. Наименьшее его значение, равное 1, имеет место для окружности.