Попробуем построить обобщенную формулу для вероятности суммарного события (А.5) на ситуацию, когда отдельные события А и В могут оказаться совместными, т.е. произойти одновременно. В этом случае p(A v B) ≠ p(A) + p(B). Действительно: пусть по-прежнему событие А выполняется при т1 из п равновероятных исходов опыта, а событие В - при m2 из тех же п возможных исходов. Однако из-за того, что возможно совместное наступление А и В, исходы m1 и т2 окажутся не полностью различными, т.е. среди них могут быть одни и те же. Тогда суммарное количество благоприятных исходов т ≤ т1 + т2 и, следовательно, p(A v B) ≤ р(А) + р(В).
Пусть среди т1 и т2 имеются т' общих исходов; очевидно, это те случаи, когда А и В наступают одновременно. Следовательно, вероятность совместного события
а общее количество различных благоприятных исходов оказывается равным т = т1 + т2 - т'. Тогда вероятность
Окончательно:
Таким образом, при определении вероятности суммы двух событий (A v B) в общем случае требуется находить и вероятность их произведения (А ^ В). Это несложно сделать, если события А и В независимы - в этом случае можно воспользоваться формулой (А.9), подстановка которой в (А. 12) дает:
Легко видеть, что (А.5) оказывается частным случаем (А. 12) при условии несовместности А и B - тогда р(А ^ В) = 0.