3
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a=x=b, и имеет плотность 1) =(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно коорди-натных осей Ox и Oy равны
моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычис-ляются по формулам
а координаты центра масс и -- по формулам
где l-- масса дуги, т. е.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0=x=1.
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1.
< Имеем: Следовательно,
?
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
< Имеем:
Отсюда получаем:
?
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости ду-ги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности
<Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вок-руг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем
Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4--7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражает-ся формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
< Так как путь, пройденный телом со скоростью (t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
то имеем:
?
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в беско-нечность?
<4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на от-резке [а, Ь], выражается интегралом
| ! | Как написать конспект Как правильно подойти к написанию чтобы быстро и информативно все зафиксировать. |