Перпендикуляр

Деятельность учителя

Деятельность ученика

- Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась?

- Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве?

- Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

- В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии.

- Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

- Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»?

- А какие задачи решали?

- Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь?

- А что значит привести знания в систему?

- Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока?

- Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему.

-Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями.

- Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы.

- Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе.

- Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения.

- Перпендикулярность прямых и плоскостей.

- Перпендикулярность каких объектов мы изучили?

- Будем работать с таблицей.

< Открывает заголовок таблицы 1>

- Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными?

- Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок>

- Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали?

- Сформулируйте ее. < Открывает рисунок>

- Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения.

< Открывает рисунок>

- В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их.

<Открывает соответствующие рисунки>

- В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней.

А как вы думаете почему?

-Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными?

-Какие факты можно отнести в эту часть?

- Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их - заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность - мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7.

-Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …».

<Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев>

- Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей.

- Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰ .

- Они могут пересекаться и скрещиваться.

- Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей.

<Формулируют>

- Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

- Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>.

- Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>.

- Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>.

- Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости.

- Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰ .

-Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если

одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна;

одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости;

одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой.

<Ученики формулируют следующие эвристики:

Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если

прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;

прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости;

данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой.

Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. >

-Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства.

- Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй - перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд - пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут.

- Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик>

-Хорошо. Послушаем теперь второй ряд.

-Третий ряд, пожалуйста.

<Работают>

< Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали>

- DOAB (DOABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности, перпендикулярно АВ)

- DOAC, DOBC (аналогично)

- DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).

-DOABC(по условию).

-ABCOD,COADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

-DABABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

-DOCABC (по признаку перпендикулярности плоскостей)

-DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).

- Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними.

Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»>

<Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице>

-Что называется расстоянием от точки до прямой?

-Какие еще расстояния можете назвать?

- Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний.

- То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице.

- Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»>

- Опишите это понятие.

<Открывает соответствующий рисунок>

- Какие еще углы вы знаете?

- Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников.

- Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой.

- От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости.

- Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой.

- Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

- Между параллельными плоскостями - расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой.

- Между скрещивающимися прямыми- расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой.

- Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник.

- Угол между прямыми.

- Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними.

- Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

- И угол между плоскостями - это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении.

- Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление.

- Начнем с первого задания.

- Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай.

-Второй ряд, пожалуйста.

-И последний угол?

-Дорешаете дома.

-Следующее задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку.

-Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.

Эту задачу будем решать на новом рисунке.

-Итак, начнем.

-Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его.

- Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС?

- Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости?

- То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует?

- А через какую точку пройдет проекция наклонной?

- Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать?

- А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС?

- Как найти DК?

- Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске.

- Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7.

- Назовите их и докажите.

-Как их найти?

- Так как ОDАВС, то АО - проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО - угол между DА и АВС.

- Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ.

-Угол между DВ и АВС - это DВО.

-Угол между DС и АВС - это DСО.

- Так как DО - перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО - искомое расстояние.

- Мы доказывали, что СОDАВ, значит СО-расстояние от С до DАВ.

-АВDОС, то АО-расстояние от А до DОС.

Так как DО перпендикулярно АВ, то DО - расстояние между D и прямой АВ.

-АВС.

- Наклонной.

- Она должна быть перпендикулярной к проекции.

- Через точку О, так как она проекция точки D.

- Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М-середина ВС, тогда АМ - медиана правильного ?АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОКВС, и ОК-проекция DК на АВС. При этом DКВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК-расстояние от точки D до прямой ВС.

- Произвольно.

- Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК - средняя линия ?АМВ.

- Аналогично, причем DL равно DК.

- Они уже построены.

- DКО - линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, DLО - линейный угол двугранного угла при ребре АС.

- Например, DКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО.

- Это все задания, которые мы планировали решить на уроке.

- А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.

- Какие типы задач нами были рассмотрены?

-Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии?

-на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями.

-позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами.

- Что вы теперь умеете делать?

- Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления.

- Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями.

Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе.

От точки до прямой

Между параллельными прямыми

От точки до плоскости

Между парал-лельными прямой и плоскостью

Между параллельными плоскостями

Между скрещивающимися прямыми

AM б

AM б

AM в

AM в

Решение треугольников

Между прямыми

Между наклонной к плоскости и плоскостью

Между плоскостями

0 < ц ЎЬ 90

0 < ц < 90

0 < ц ЎЬ 90

Решение треугольников

Перпендикулярные

прямые

Перпендикулярные прямая и плоскость

Перпендикулярные

плоскости