Соотношение между решётчатой функцией и её разностями определяет уравнение в конечных разностях, или разностное уравнение. Линейное разностное уравнение можно представить в виде
(5.8)
где f[n] – заданная функция, y[n] – искомая функция.
Если в уравнении (5.8) заменить разности решётчатой функции их значениями в соответствии с соотношением (5.6), то разностное уравнение запишется в виде
(5.9)
Коэффициенты ai и bi уравнений (5.8) и (5.9) связаны следующими соотношениями:
(5.10)
Аналогично дифференциальным уравнениям в зависимости от того, равна либо не равна нулю правая часть разностного уравнения, оно называется однородным либо неоднородным. Разностное уравнение, содержащее y[n] и y[n+m], называется уравнением порядка m. Например, уравнение (5.9) при am≠ 0 и a0 ≠ 0 является неоднородным разностным уравнением порядка m.
Для решения уравнения (5.8), то есть для нахождения значений искомой дискретной функции в отдельные моменты времени, должна быть задана функция f[n], а также должны быть известны начальные условия, то есть начальные значения искомой функции и всех её разностей до (m-1)-й включительно.
Методы решения разностных и дифференциальных уравнений сходны. При решении разностных уравнений может быть применён классический метод решения, когда используется подстановка в разностное уравнение предполагаемого решения
В результате такой подстановки получается характеристическое уравнение, зная корни которого, составляют общее решение. Постоянные суммирования ci, входящие в общее решение (их количество равно порядку разностного уравнения m), определяются через значения функции в первые m циклов.
В инженерной практике для решения разностных уравнений широко применяется операторный метод, основанный на использовании дискретного преобразования Лапласа и позволяющий значительно упростить решение.